集合關(guān)系特征對(duì)小學(xué)生分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征的影響

張 睆，辛自強(qiáng)，陳英和，胡衛(wèi)平

（1．山西師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，山西 臨汾 041004；2．中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 社會(huì)發(fā)展學(xué)院 心理學(xué)系，北京 100081；3．北京師范大學(xué) 發(fā)展心理研究所，北京 100875；4．陜西師范大學(xué) 現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710062）

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集合關(guān)系特征對(duì)小學(xué)生分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征的影響

張 睆1，4，辛自強(qiáng)2，陳英和3，胡衛(wèi)平4

（1．山西師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，山西 臨汾 041004；2．中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 社會(huì)發(fā)展學(xué)院 心理學(xué)系，北京 100081；3．北京師范大學(xué) 發(fā)展心理研究所，北京 100875；4．陜西師范大學(xué) 現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710062）

摘要：數(shù)學(xué)應(yīng)用題往往包含了一定的事實(shí)及其關(guān)系，稱為集合關(guān)系．傳統(tǒng)的問題表征模型強(qiáng)調(diào)了集合關(guān)系的語義含義對(duì)應(yīng)用題表征的影響，而關(guān)系復(fù)雜性模型則強(qiáng)調(diào)了集合關(guān)系的等級(jí)復(fù)雜性對(duì)應(yīng)用題表征的影響．但二者的相互關(guān)系如何，目前尚不清楚．通過自編的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題任務(wù)，以76名小學(xué)六年級(jí)學(xué)生為被試，初步探討了乘法語義含義（組合、比較、轉(zhuǎn)換）和等級(jí)復(fù)雜性對(duì)于分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征的影響．結(jié)果表明：（1）乘法語義含義和等級(jí)復(fù)雜性都會(huì)影響應(yīng)用題表征的難度，且交互作用不顯著；（2）3種乘法語義含義中，比較含義更難于表征．

關(guān)鍵詞：集合關(guān)系特征；語義含義；關(guān)系復(fù)雜性；乘法應(yīng)用題表征

1 引 言

“學(xué)以致用”是數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)，而數(shù)學(xué)應(yīng)用題則是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的重要橋梁[1]．所謂數(shù)學(xué)應(yīng)用題，是用自然語言陳述，并通過執(zhí)行數(shù)學(xué)運(yùn)算才能解決的現(xiàn)實(shí)問題情境．這些現(xiàn)實(shí)問題情境往往由特定事實(shí)及其關(guān)系構(gòu)成，并能被表述為數(shù)量及其運(yùn)算，這是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的重要特點(diǎn)．因此，數(shù)學(xué)應(yīng)用題被一些學(xué)者稱為關(guān)系應(yīng)用題[2]，這些事實(shí)及其關(guān)系也被稱為應(yīng)用題中的集合關(guān)系[3]．

成功解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題，關(guān)鍵是正確表征應(yīng)用題中的集合關(guān)系[4]．從應(yīng)用題表征過程來看，解題者對(duì)集合關(guān)系的成功表征需要經(jīng)歷3個(gè)環(huán)節(jié)，首先是理解書面文本的詞句關(guān)系，然后將詞句關(guān)系轉(zhuǎn)化為內(nèi)在心理模型中的事實(shí)關(guān)系，最后轉(zhuǎn)化為變量間數(shù)理邏輯關(guān)系或運(yùn)算關(guān)系[3，5]．在這一過程中，集合關(guān)系的內(nèi)容和形式等特征必然會(huì)影響到問題表征過程的順利進(jìn)行．

在內(nèi)容特征上，研究者們普遍強(qiáng)調(diào)了集合關(guān)系的語義含義對(duì)應(yīng)用題表征的影響[6～7]．所謂集合關(guān)系的語義含義，是指集合間運(yùn)算關(guān)系在現(xiàn)實(shí)問題情境中所對(duì)應(yīng)的事實(shí)關(guān)系[8]．兒童只有理解了這種對(duì)應(yīng)，才能將特定的事實(shí)關(guān)系正確轉(zhuǎn)化為特定的數(shù)學(xué)運(yùn)算，即正確表征了應(yīng)用題[9]．同一種數(shù)學(xué)運(yùn)算往往可以對(duì)應(yīng)多種語義含義，且對(duì)于兒童來說，這些語義含義的理解難度不同．例如，兩個(gè)集合間的加減法運(yùn)算在不同問題情境中可以表示為變換、合并、比較3種語義含義，變換表示一個(gè)集合自身的量的增加，合并表示兩個(gè)集合的量的總和，比較表示兩個(gè)集合間的量的差異．在這3種語義含義中，比較含義更難于被小學(xué)兒童正確對(duì)應(yīng)為單步加減法運(yùn)算[10]．

與加減法運(yùn)算相比，集合間乘除法運(yùn)算的語義含義更為復(fù)雜．這主要由于加法運(yùn)算中的量須性質(zhì)相同，例如距離只能與距離相加，且運(yùn)算結(jié)果還是距離；而乘法運(yùn)算中的量的性質(zhì)可能不同[11]．一般來說，乘法運(yùn)算中的量有兩類，一類是測(cè)度量，如繩子的長(zhǎng)度，一類是關(guān)系量，表示兩個(gè)測(cè)度量的相對(duì)大小，例如密度．其中，關(guān)系量還可以進(jìn)一步區(qū)分為單位量和倍數(shù)兩類，單位量是兩個(gè)不同單位的量的倍比，例如速度和密度，而倍數(shù)是兩個(gè)相同測(cè)度的量的倍比，例如倍數(shù)或幾分之幾．在此基礎(chǔ)上，Hardiman等人劃分出4類乘法語義含義，分別是計(jì)量、比較、組合和轉(zhuǎn)換[12]．所謂計(jì)量（compute），是指一個(gè)單位量與測(cè)度量相乘，其中被乘數(shù)是單位量，乘數(shù)是測(cè)度量，積是另一個(gè)測(cè)度量．該含義表示將多個(gè)單位量累加在一起．例如“蘋果每斤3元，如果買5斤，需要付錢多少元？”其中，每斤3元是單位量，而5斤是測(cè)度量，乘法運(yùn)算表示將5個(gè)“3元”累加在一起．比較（compare）指一個(gè)測(cè)度量和倍數(shù)相乘，其中被乘數(shù)是測(cè)度量，乘數(shù)是倍數(shù)，積是同一個(gè)測(cè)度量，該含義表示兩個(gè)測(cè)度量的倍比關(guān)系．例如，李言有3個(gè)蘋果，姚凱是他的5倍，姚凱有多少個(gè)蘋果，乘法運(yùn)算表示李言和姚凱的蘋果數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系．組合（combine）指一個(gè)測(cè)度量與另一個(gè)測(cè)度量相乘，該含義表示一個(gè)測(cè)度量在另一個(gè)測(cè)度量上的積累．例如，李言有3件上衣，4條褲子，他可以有多少種搭配方法．轉(zhuǎn)換（convert）指兩個(gè)單位量相乘，乘積也為一個(gè)單位量．該含義表示單位的轉(zhuǎn)換，例如，姚凱每分鐘走50米，兩步1米，他每分鐘走多少步．其中，“米/分鐘”乘以“步/米”，就轉(zhuǎn)換為“步/分鐘”．

在結(jié)構(gòu)特征上，研究者強(qiáng)調(diào)了應(yīng)用題所包含的集合關(guān)系的復(fù)雜程度對(duì)問題表征難易的影響．在辛自強(qiáng)提出的關(guān)系復(fù)雜性模型中，這種集合關(guān)系的復(fù)雜程度被稱為關(guān)系復(fù)雜性，具體包括等級(jí)復(fù)雜性和水平復(fù)雜性兩個(gè)維度[13]．其中等級(jí)復(fù)雜性是指集合關(guān)系的嵌套層級(jí)數(shù)量，當(dāng)關(guān)系中某個(gè)集合的性質(zhì)，由另外一個(gè)關(guān)系所決定時(shí)，就可以認(rèn)為這兩個(gè)關(guān)系構(gòu)成嵌套，用辛自強(qiáng)的話說：“所謂‘等級(jí)’是強(qiáng)調(diào)理解低一級(jí)關(guān)系的輸出是理解高一級(jí)關(guān)系的輸入，高一級(jí)關(guān)系的理解必須以低一級(jí)關(guān)系的理解為前提，二者有迭代和嵌套關(guān)系．而等級(jí)復(fù)雜性反映的就是這種關(guān)系的迭代和嵌套程度．”[13]而水平復(fù)雜性是指同一層級(jí)中關(guān)系的多少，當(dāng)理解一個(gè)關(guān)系不以理解另一個(gè)關(guān)系為前提時(shí)，這兩個(gè)關(guān)系就處于同一個(gè)層次水平之上．

如何分析應(yīng)用題中關(guān)系復(fù)雜性的大小呢？須首先確定應(yīng)用題的關(guān)系層級(jí)（即等級(jí)復(fù)雜性），然后確定每個(gè)層級(jí)上關(guān)系的數(shù)量（即水平復(fù)雜性），最后綜合用上述兩個(gè)指標(biāo)表示該應(yīng)用題的關(guān)系復(fù)雜性．例如，在加減法應(yīng)用題中，最簡(jiǎn)單的關(guān)系是3個(gè)集合之間的部分整體關(guān)系或者差比關(guān)系．即a+b=c （關(guān)系1）．如果其中a、b已知，求c，那么問題等級(jí)復(fù)雜性為1，水平復(fù)雜性也為1．如果其中b也未知，但是b由d、e兩個(gè)已知集合加和而成，即b=e+d（關(guān)系2），這時(shí)可以理解為關(guān)系2嵌套到關(guān)系1之中，整個(gè)問題的等級(jí)復(fù)雜性就變?yōu)?，每個(gè)等級(jí)的水平復(fù)雜性依然為1．

關(guān)系復(fù)雜性模型認(rèn)為，應(yīng)用題的關(guān)系復(fù)雜性，特別是等級(jí)復(fù)雜性越高，就越難于被正確表征．大量研究也證明了這一點(diǎn)[14～16]．例如，辛自強(qiáng)等曾以小學(xué)四、五、六年級(jí)共6個(gè)班的172名學(xué)生為被試，用長(zhǎng)方形面積問題作為實(shí)驗(yàn)材料，考察了問題的關(guān)系復(fù)雜性和兒童表征能力之間的關(guān)系．發(fā)現(xiàn)同一組學(xué)生在不同等級(jí)復(fù)雜性任務(wù)上的表征水平存在明顯差異，等級(jí)復(fù)雜性越高，學(xué)生就越難以成功表征問題[16]．

雖然以往研究分別從內(nèi)容和結(jié)構(gòu)兩個(gè)方面探討了集合關(guān)系特征對(duì)于問題表征的影響．但是這些研究?jī)H僅關(guān)注了其中的單個(gè)特征，并沒有同時(shí)對(duì)二者的作用進(jìn)行考察．譬如說，以往對(duì)于語義含義的研究，采用的研究材料往往是單步加減法或者乘除法應(yīng)用題，不涉及更為復(fù)雜的集合層次關(guān)系．而對(duì)于關(guān)系復(fù)雜性的研究，往往采用復(fù)雜程度不同的特定語義類型問題，例如長(zhǎng)方形面積問題，而并不涉及多種類型的語義含義．那么，這兩類因素對(duì)于應(yīng)用題表征的影響，是否存在交互作用？這仍需進(jìn)一步研究加以探討．研究這一交互作用，有助于探討個(gè)體對(duì)語義含義的表征和等級(jí)復(fù)雜性的表征，是相互獨(dú)立的認(rèn)知過程，還是存在相互依存的認(rèn)知過程，進(jìn)而在應(yīng)用題表征階段模型背景下，推斷兩種表征過程所發(fā)生的認(rèn)知階段．

另一方面，已有的乘法語義含義分析主要針對(duì)整數(shù)乘法而言，而沒有考慮到分?jǐn)?shù)乘法關(guān)系的特殊性．事實(shí)上，整數(shù)與分?jǐn)?shù)在量的性質(zhì)上存在諸多差異[17]．譬如整數(shù)大小是可以通過計(jì)數(shù)“數(shù)”出來的，而分?jǐn)?shù)的大小卻是“數(shù)”不出來的；整數(shù)有固定的單位“1”，而分?jǐn)?shù)則沒有大小固定的單位；整數(shù)相乘可以使原有數(shù)值變大，而分?jǐn)?shù)相乘則既可能變大也可能變小．因此，當(dāng)乘法關(guān)系中的某個(gè)量是分?jǐn)?shù)而非整數(shù)時(shí)，某些乘法語義含義將可能更難于理解．例如在乘法的比較含義中，“a是b的三分之二”往往難于“a是b的2倍”．因而，在分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題中，不同的乘法語義含義究竟難易如何？尚需研究加以探討．

基于以上分析，以分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題作為實(shí)驗(yàn)任務(wù)，考察集合關(guān)系的語義和結(jié)構(gòu)特征對(duì)于應(yīng)用題表征的影響．在語義含義上，參照以往的乘法語義分類模型來確定分?jǐn)?shù)乘法的語義含義．由于乘法語義含義中的組合問題涉及到數(shù)學(xué)中的排列組合問題情境，小學(xué)分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題不包含這一類型．因此，主要考察3種分?jǐn)?shù)乘法語義含義：計(jì)量、比較和變換．

在結(jié)構(gòu)特征上，將依照關(guān)系復(fù)雜性模型來確定應(yīng)用題的不同等級(jí)復(fù)雜性水平（一級(jí)、二級(jí)）．以往研究表明，相對(duì)于水平復(fù)雜性來說，等級(jí)復(fù)雜性往往對(duì)問題表征的影響較大[15～16]．但這些研究在考察等級(jí)復(fù)雜性的效應(yīng)時(shí)，并沒有對(duì)相關(guān)的語義含義進(jìn)行控制，具體來說，由于二級(jí)復(fù)雜性任務(wù)包含了兩個(gè)層級(jí)的集合關(guān)系，而兩個(gè)層級(jí)的集合關(guān)系必然具有各自的語義含義．因此二級(jí)復(fù)雜性任務(wù)和一級(jí)復(fù)雜性任務(wù)的差別，不僅僅體現(xiàn)在前者多了一個(gè)層級(jí)的集合關(guān)系上，也體現(xiàn)在這個(gè)集合關(guān)系的語義含義上，這可能對(duì)不同等級(jí)復(fù)雜性之間的比較帶來混淆．為了控制這一可能的混淆，在設(shè)計(jì)二級(jí)復(fù)雜性的任務(wù)時(shí)，將其中的一級(jí)關(guān)系設(shè)計(jì)為不同乘法語義含義，而將二級(jí)關(guān)系設(shè)計(jì)為同樣的加法語義含義——組合關(guān)系．對(duì)于六年級(jí)兒童來說，加法關(guān)系的組合語義含義對(duì)他們應(yīng)用題表征的影響已經(jīng)微乎其微[7]，從而可以控制二級(jí)水平的多層級(jí)關(guān)系語義含義對(duì)于文字題解決的影響．

2 研究方法

2.1 被 試

從山西省太原市郊區(qū)某普通小學(xué)中整班選取6年級(jí)學(xué)生76名，其中男生38名，女生38名．平均年齡147.6個(gè)月．該學(xué)校使用人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，在接受應(yīng)用題測(cè)驗(yàn)前，所有兒童均已學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算．

2.2 研究設(shè)計(jì)與材料

采用2×3×2的混合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)．其中，被試內(nèi)變量為集合關(guān)系的語義含義（計(jì)量、比較、轉(zhuǎn)換）和等級(jí)復(fù)雜性（一級(jí)、二級(jí)），共6種水平；被試間變量為性別（男、女）．

研究材料為自編的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題，包括一級(jí)和二級(jí)復(fù)雜性題目各3道，這3道題目的語義含義分別為計(jì)量、比較、轉(zhuǎn)換，因此總共包含6道分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題．其中的二級(jí)復(fù)雜性問題，是在一級(jí)復(fù)雜性問題之上嵌套一個(gè)加法的組合語義關(guān)系．例如，一級(jí)復(fù)雜性的乘法比較問題為“甲農(nóng)民原有蘋果90斤，如果賣掉了原來的2/3，問賣掉蘋果多少斤”．在嵌套了一個(gè)加法的組合關(guān)系之后，變?yōu)椤凹邹r(nóng)民原有一堆蘋果，賣掉了其中的90斤，剩下的蘋果是賣掉的2/3，問原來有蘋果多少斤”，該題關(guān)系復(fù)雜性為二級(jí)，其中，一級(jí)關(guān)系為乘法的比較含義，二級(jí)關(guān)系為加法的組合含義．

控制以下3方面無關(guān)因素的干擾．第一，為了防止由易到難的項(xiàng)目編排產(chǎn)生練習(xí)效應(yīng)，從而降低了二級(jí)復(fù)雜性的表征難度，因此將3個(gè)二級(jí)任務(wù)放在測(cè)驗(yàn)的前面，3個(gè)一級(jí)任務(wù)放在測(cè)驗(yàn)的后面．第二，為了保證兒童對(duì)于任務(wù)情境的熟悉水平，避免兒童由于缺乏事實(shí)性知識(shí)而難于正確表征問題，因此，設(shè)計(jì)了對(duì)于該校學(xué)生都非常熟悉的問題情境．鑒于該校學(xué)生大都來自農(nóng)村家庭，且當(dāng)?shù)卮迕穸喾N植或出售蘋果，因此采用了農(nóng)民種植和出售蘋果的問題情境．第三，為了防止被試受到題目中數(shù)字的暗示而采取某種運(yùn)算方法，在題目中采用的數(shù)字為90、60和2/3，這樣在多種可能的運(yùn)算組合中，都可以得到整數(shù)結(jié)果．

2.3 研究程序

2011年3月底施測(cè)，采用團(tuán)體測(cè)驗(yàn)形式，由受過訓(xùn)練的3名心理學(xué)研究生擔(dān)任主試，同時(shí)在3個(gè)班施測(cè)．在測(cè)試中，主試要求學(xué)生仔細(xì)思考后，先寫出他是怎么想的，再列出式子，而不用計(jì)算結(jié)果．測(cè)試時(shí)間為40分鐘，最后共收回有效試卷76份．主試根據(jù)被試列式及算理是否正確計(jì)分，如果被試列式正確，且算理說明無誤，則判定為正確表征了該問題，計(jì)1分，否則判定為錯(cuò)誤，計(jì)0分．

其中，“算理說明無誤”指：兒童能正確說明為何要這樣列式．例如：對(duì)于應(yīng)用題“甲農(nóng)民原有一堆蘋果，賣掉了其中的90斤，剩下的蘋果是賣掉的2/3，問原來有蘋果多少斤”，兒童算理說明及列式為“先算出剩下的是幾斤，再加上賣出的90斤，就得到原有蘋果多少斤．列式90×2/3+90．”特別注意的是，如果兒童列式正確且能正確解釋算理，但是得數(shù)錯(cuò)誤．說明兒童的錯(cuò)誤出現(xiàn)在運(yùn)算過程，即他們可以正確表征問題中的集合關(guān)系，但是運(yùn)算能力不足．因此判定他們正確表征了該問題，計(jì)1分．

3 研究結(jié)果

以被試在每道題上的表征正確率作為衡量?jī)和瘜?duì)該題表征水平的指標(biāo)．6年級(jí)兒童在各類型任務(wù)上的表征正確率以及標(biāo)準(zhǔn)差見表1．

表1 不同集合關(guān)系特征下的表征正確率

對(duì)表1中的結(jié)果進(jìn)行3因素混合測(cè)量方差分析表明，等級(jí)復(fù)雜性主效應(yīng)顯著，F(xiàn)(1, 75) = 4.26，p < 0.05，效應(yīng)值η2= 0.05，語義含義主效應(yīng)顯著，F(xiàn)(2, 150) = 9.63，p < 0.001，效應(yīng)值η2= 0.11，二者交互作用不顯著，F(xiàn)(2, 150) = 0.48，p > 0.05，見圖1．作為被試間變量的性別主效應(yīng)不顯著，F(xiàn)(1, 74) = 3.62，p = 0.06，性別變量與其它變量的交互作用均不顯著．因此，在下文中將不再討論性別差異．

圖1 不同等級(jí)復(fù)雜性問題在不同語義含義下的表征難度

對(duì)兒童在3種不同語義含義應(yīng)用題上的表征正確率進(jìn)行事后多重比較，結(jié)果表明，兒童在計(jì)量和轉(zhuǎn)換任務(wù)上的表征正確率無顯著差異，MD = 0.026，p = 0.29．計(jì)量任務(wù)的表征正確率顯著高于比較任務(wù)，MD = 0.118，p < 0.001．轉(zhuǎn)換任務(wù)的表征正確率也顯著高于比較任務(wù)，MD = 0.092，p = 0.002．這說明兒童對(duì)于乘法比較任務(wù)的表征要難于其它兩種任務(wù)．

4 討 論

文章探討了在分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題解決中，任務(wù)的集合關(guān)系特征對(duì)于應(yīng)用題表征的影響．研究發(fā)現(xiàn)：（1）集合關(guān)系的語義含義對(duì)應(yīng)用題表征有影響，其中比較含義的表征要難于計(jì)量和轉(zhuǎn)換含義；（2）等級(jí)復(fù)雜性對(duì)應(yīng)用題表征有影響，二級(jí)復(fù)雜性任務(wù)比一級(jí)復(fù)雜性任務(wù)更難于表征；（3）語義含義的影響略大于等級(jí)復(fù)雜性的影響，二者交互作用不顯著．

在分?jǐn)?shù)乘法的3種含義中，比較含義的表征相對(duì)較難．這可能是由于在分?jǐn)?shù)乘法情境下，與其它兩種含義相比，比較含義更難表示為“累加”過程．而事實(shí)上，小學(xué)兒童往往將乘法運(yùn)算理解為某個(gè)量的“累加”，因此比較含義更難被兒童理解．例如在研究中，計(jì)量任務(wù)“蘋果的價(jià)格為每斤2/3元，如果甲農(nóng)民現(xiàn)在有90斤蘋果，可以賣多少元”．其中單位量“每斤2/3元”表示1個(gè)單位為2/3元，數(shù)量“90斤”表示有90個(gè)這樣的單位，則目標(biāo)量“多少元”表示將90個(gè)單位量累加在一起，即單位量與數(shù)量之乘積．同樣，對(duì)于轉(zhuǎn)換任務(wù)“農(nóng)民每天可收蘋果90斤，如果每斤蘋果售價(jià)為2/3元，請(qǐng)問農(nóng)民每天可收入多少元”，單位量為“2/3元”．每天的收入則可以視為90個(gè)“2/3元”的累加．而在分?jǐn)?shù)乘法的比較含義中，分?jǐn)?shù)不是一個(gè)“測(cè)度量”，也并非可以累加的“倍數(shù)”，因而乘積難以直接表示為量的累加，例如“甲農(nóng)民原有蘋果90斤，如果賣掉了原來的2/3，問賣掉蘋果多少斤”，就無法被理解為將“90斤”累加2/3次，而應(yīng)理解為賣掉蘋果量與原來蘋果量的比值為2/3．

因此，在分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師需要區(qū)分乘法不同類型的語義含義，并結(jié)合分?jǐn)?shù)概念的測(cè)量和比值含義[18～19]，對(duì)分?jǐn)?shù)乘法的意義予以講解．對(duì)于計(jì)量和轉(zhuǎn)換含義的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題，由于分?jǐn)?shù)可以看作一個(gè)測(cè)度量（這時(shí)分?jǐn)?shù)往往帶有某種量綱），而整數(shù)可以視為倍數(shù)，因而教師可以將其轉(zhuǎn)化為對(duì)單個(gè)分?jǐn)?shù)的n倍累加，以幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)應(yīng)該和哪個(gè)量相乘．但是對(duì)于比較含義來說，分?jǐn)?shù)完全是一個(gè)倍數(shù)，且這個(gè)倍數(shù)無法表示為累加，而僅僅是一個(gè)比值（這時(shí)分?jǐn)?shù)后邊沒有任何量綱）．則教師需要從“比”的含義入手，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)表示哪兩個(gè)量的相對(duì)大小，誰是比較量，誰是被比較量．

在此研究中，分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的等級(jí)復(fù)雜性也會(huì)影響到問題的表征難度．這與以往在加法和乘法應(yīng)用題上的研究結(jié)果相一致[15]．這說明在多種類型的應(yīng)用題中，任務(wù)的集合關(guān)系復(fù)雜程度都會(huì)影響到問題表征的難易．值得注意的是，與以往乘法應(yīng)用題研究采用的長(zhǎng)方形面積任務(wù)不同，這里所采用的任務(wù)中，與一級(jí)復(fù)雜性任務(wù)相比，二級(jí)復(fù)雜性任務(wù)僅僅增加了一個(gè)語義含義為組合的加法關(guān)系，而且這一語義含義對(duì)于6年級(jí)兒童來說非常容易理解．這說明，只要在應(yīng)用題的等級(jí)復(fù)雜性上增加一級(jí)關(guān)系，即使增加的這一級(jí)關(guān)系在語義上非常容易理解，也會(huì)提高整個(gè)問題的表征難度．

從二者的交互作用來看，研究結(jié)果表明，語義含義和結(jié)構(gòu)復(fù)雜性之間交互作用不顯著．這說明兩類集合關(guān)系特征對(duì)于表征難度的影響可能是相互獨(dú)立的，或者說不同語義含義的集合關(guān)系的表征難度差異，與該關(guān)系的等級(jí)復(fù)雜程度無關(guān)．這可能意味著，個(gè)體對(duì)兩類集合關(guān)系特征的表征分別涉及兩個(gè)相互獨(dú)立的表征機(jī)制．具體來說，對(duì)于語義含義的表征，可能主要是將特定內(nèi)容的集合關(guān)系轉(zhuǎn)化為特定邏輯—數(shù)學(xué)關(guān)系的過程，其知識(shí)條件為個(gè)體是否掌握特定事實(shí)關(guān)系與特定邏輯—數(shù)學(xué)關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)．而等級(jí)復(fù)雜性的表征，可能需要將多個(gè)集合關(guān)系整合在一起，其知識(shí)條件為個(gè)體是否具備整合這些關(guān)系所需的應(yīng)用題圖式．

有趣的是，在研究中，當(dāng)在任務(wù)中同時(shí)考慮了任務(wù)中所包含集合關(guān)系的語義含義和結(jié)構(gòu)特征的時(shí)候，語義屬性對(duì)于問題難度的貢獻(xiàn)要略大于結(jié)構(gòu)屬性．這一結(jié)果似乎可以說明，在影響應(yīng)用題難度的諸多任務(wù)特征中，內(nèi)容的重要性可能略高于形式的重要性．事實(shí)上，從新皮亞杰主義者所進(jìn)行的諸多研究中也可以看到這一點(diǎn)．決定兒童是否能理解和解決問題的，往往不是任務(wù)的邏輯結(jié)構(gòu)本身，而是問題所涉及的情境對(duì)于兒童來說是否熟悉和易于理解．

［參 考 文 獻(xiàn)］

[1] 章飛，鮑建生．加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué) 全面提高學(xué)生素質(zhì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1998，7（4）：60-63．

[2] 周新林，張梅玲．分析數(shù)集和構(gòu)圖求解關(guān)系應(yīng)用題的效果[J]．心理科學(xué)，2000，（5）：611．

[3] 辛自強(qiáng)．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題解決研究的理論進(jìn)展——兼論表征復(fù)雜性模型[J]．寧波大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2004，（5）：13-18.

[4] Kintsch W, Greeno J G.Understanding and Solving Word Arithmetic Problems [J].Psychological Review, 1985, 92(1): 109-129.

[5] Mattarella-Micke A, Beilock S L.Situating Math Word Problems: The Story Matters [J].Psychonomic Bulletin & Review, 2010, 17(1): 106-111.

[6] 郭兆明，宋寶和，張慶林．中國(guó)心理學(xué)界數(shù)學(xué)教學(xué)心理研究的十年進(jìn)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（2）：12-16．

[7] 章巍．代數(shù)應(yīng)用問題的文字表述對(duì)解題影響的研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（2）：73-78.

[8] Bassok, M.Semantic Alignments in Mathematical Word Problems [A].In: Gentner D, Holyoak K J, Kokinov B N.The Analogical Mind: Perspectives from Cognitive science [C].Cambridge, MA: MIT Press, 2001.

[9] Sharp J, Adams B.Children’s Constructions of Knowledge for Fraction Division after Solving Realistic Problems [J].The Journal of Educational Research, 2002, 95(6): 333-347.

[10] 周新林，張梅玲．加減文字題解決研究概述[J]．心理科學(xué)進(jìn)展，2003，（6）：642-650．

[11] Nesher, P.Solving Multiplication Word Problems [A].In: Leinhardt G, Putnam R, Hattrup R.Analysis of Arithmetic for Mathematics Teaching [C].Hillsdale,NJ: Lawrence Erlbaum, 1992.

[12] Hardiman P T, Mestre J P.Understanding Multiplicative Contexts Involving Fractions [J].Journal of Educational Psychology, 1989, 81(4): 547-557.

[13] 辛自強(qiáng)．關(guān)系—表征復(fù)雜性模型[J]．心理發(fā)展與教育，2007，（3）：122-128．

[14] 辛自強(qiáng)．關(guān)系—表征復(fù)雜性模型的檢驗(yàn)[J]．心理學(xué)報(bào)，2003，（4）：504-513．

[15] 辛自強(qiáng)，張莉．基于關(guān)系—表征復(fù)雜性模型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題表征能力測(cè)驗(yàn)[J]．心理發(fā)展與教育，2009，（1）：34-40，53.

[16] Xin Z.Fourth-Through Sixth-Grade Students’ Representations of Area-of-Rectangle Problems: Influences of Relational Complexity and Cognitive Holding Power [J].The Journal of Psychology: Interdisciplinary and Applied, 2008, 142(6): 581-600.

[17] Stafylidou S, Vosniadou S.The Development of Students’ Understanding of the Numerical Value of Fractions [J].Learning and Instruction, 2004, 14(5): 503-518.

[18] 張睆，辛自強(qiáng)．分?jǐn)?shù)概念的個(gè)體建構(gòu)——起點(diǎn)與機(jī)制及影響因素[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（1）：27-32．

[19] 蒲淑萍．“中國(guó) 美國(guó) 新加坡”小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“分?jǐn)?shù)定義”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（4）：21-24，70．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Influence of Set-Relation Attributes on Children’s Multiplicative Word Problem Solving

ZHANG Huan1, 4, XIN Zi-qiang2, CHEN Ying-he3, HU Wei-ping4
(1.School of Teacher Education, Shanxi Normal University, Shanxi Linfen 041004, China; 2.Department of Psychology, School of Social Development, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China; 3.Institute of Developmental Psychology, Beijing Normal University, Beijing 100875, China; 4.Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710062, China)

Abstract:Students often have difficulty in solving multiplicative word problems.Previous problem representation models emphasized the effect of task’s semantic structure of set-relation on the difficulty of an arithmetic word problem, whereas the relational-representational complexity model suggested that the difficulty of an arithmetic word problem is determined partly by the relational complexity of set-relation in the problem.Based on a sample of 72 six graders, the present study explored the role of set-relation attributes in children’s word problem solving.The results revealed that: (1) both the semantic structure and the hierarchical complexity of the set-relation contained in the word problem had effect on children's performance on the word problems, and their interaction is not significant.(2) Among all three kinds of semantic structures of tasks, the compare task is hardest.

Key words:set-relation attribute; semantic structure; relational complexity; word problem solving

作者簡(jiǎn)介：張睆（1979—），男，山西陽泉人，講師，碩士，主要從事認(rèn)知發(fā)展與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究．

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目——分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展及其空間表征特點(diǎn)研究（30970909）；國(guó)家社科基金重大項(xiàng)目——中國(guó)兒童青少年思維發(fā)展數(shù)據(jù)庫(kù)建設(shè)及其發(fā)展模式的分析研究（14ZDB160）；山西師范大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目——教育心理學(xué)課程的教考分離與題庫(kù)建設(shè)研究（SD2013JGXM-38）

收稿日期：2015–09–22

中圖分類號(hào)：G420

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004–9894（2016）01–0043–04