高中生三角公式理解的實(shí)證研究——以上海為例

何憶捷，彭 剛，熊 斌

（1．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200241；2．上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200241）

?

高中生三角公式理解的實(shí)證研究——以上海為例

何憶捷1，2，彭 剛1，熊 斌1，2

（1．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200241；2．上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200241）

摘要：近幾十年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者就理解的分類及層次提出了各種理論與觀點(diǎn)．以工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解這3種理解層次為視角，研究上海高中學(xué)生對(duì)三角公式的理解情況．基于調(diào)查與測(cè)試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的工具性理解質(zhì)量總體較好，但在關(guān)系性理解的多個(gè)方面均顯出不足．研究者同時(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)有助于考察創(chuàng)新性理解的任務(wù)系列，并借此初步揭示了學(xué)生的一些表現(xiàn)特征．研究亦發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于高一學(xué)生，高三學(xué)生在關(guān)系性理解與創(chuàng)新性理解的某些方面更具優(yōu)勢(shì)，同時(shí)他們對(duì)公式的理解表現(xiàn)出更多工具性的特點(diǎn)．

關(guān)鍵詞：三角公式；工具性理解；關(guān)系性理解；創(chuàng)新性理解；遷移性理解

“數(shù)學(xué)理解”是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)所關(guān)注的一項(xiàng)重要論題．英國(guó)數(shù)學(xué)心理學(xué)家R.Skemp于文[1]中提出兩種理解類型——關(guān)系性理解與工具性理解，并論述了兩種理解各自的意義和價(jià)值，這是對(duì)“數(shù)學(xué)理解”認(rèn)識(shí)上的一次重大突破．此后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者就理解的分類及層次提出了各種理論與觀點(diǎn)．近期，文[2]提出了數(shù)學(xué)理解的3個(gè)層次：工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解，并對(duì)每個(gè)層次的理解作了特征描述及具體分類．這里在文[2]所提出的3個(gè)理解層次的基礎(chǔ)上，研究上海高中學(xué)生對(duì)三角公式的理解情況．

1 數(shù)學(xué)理解的水平層次

概括地說(shuō)，工具性理解是一種直接的，便于取得短期效果的理解，而關(guān)系性理解是一種著眼于長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的“全盤理解”．關(guān)于這兩種理解模式的較為詳細(xì)的探討可參見文[3]和文[4]．

文[5]將學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知理解從低到高劃分為操作性理解、關(guān)系性理解、遷移性理解3個(gè)水平，其中，遷移性理解是指“個(gè)體在關(guān)系性理解的基礎(chǔ)上，能夠?qū)?shù)學(xué)思想、方法以及所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到別的場(chǎng)合．表現(xiàn)為：能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，能夠?qū)⑺鶎W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到陌生情景中”．文[2]則提出了數(shù)學(xué)理解的3個(gè)層次：工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解．其中，工具性理解包括識(shí)記性、描述性、確認(rèn)性、功能性以及平臺(tái)式理解等；關(guān)系性理解包括證明性、論說(shuō)性、反思性、結(jié)構(gòu)性理解等；而創(chuàng)新性理解則在一定意義上超出了關(guān)系性理解的范疇，包含了拓展性理解、復(fù)雜問(wèn)題解決的理解、推廣式理解、數(shù)學(xué)文化與美學(xué)層面的理解等方面．

從表現(xiàn)形式及思維水平上看，文[5]中操作性理解的內(nèi)涵與工具性理解相當(dāng)，而遷移性理解則可以被涵蓋到創(chuàng)新性理解中．

另一方面，文[2]對(duì)創(chuàng)新性理解的基本特征進(jìn)行了一定的闡述，認(rèn)為創(chuàng)新性理解是“知其然并且知其‘新’的‘然’和‘所以然’”．這里認(rèn)同這種觀點(diǎn)．但是，由于數(shù)學(xué)理解主要是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的認(rèn)識(shí)，因而這里所考慮的創(chuàng)新性理解不包括文[2]中所提到的“文化、美學(xué)的欣賞”．

此外，結(jié)合文[2]對(duì)3種理解的特征、分類以及相應(yīng)案例（如Usinkin對(duì)分?jǐn)?shù)乘法的幾何解釋，等等）的闡述，研究者將關(guān)系性理解與創(chuàng)新性理解的主要區(qū)別歸結(jié)于“這種理解是否跳出了原有的相對(duì)獨(dú)立的邏輯體系”，同時(shí)，創(chuàng)新性理解的層次也由跳出原有邏輯體系的程度而決定．事實(shí)上，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在創(chuàng)新性理解方面曾做過(guò)大量的工作．比如張景中院士所提出的教育數(shù)學(xué)（相應(yīng)的著作有《一線串通的初等數(shù)學(xué)》、《直來(lái)直去的微積分》等），實(shí)質(zhì)上是從新的角度對(duì)已有數(shù)學(xué)理論進(jìn)行梳理，便屬于創(chuàng)新性理解的范疇．在國(guó)外，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家F.克萊因的名著《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》更是創(chuàng)新性理解的經(jīng)典之作．

總體而言，雖然創(chuàng)新性理解并不意味著產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)理論，但這種理解有助于學(xué)生多角度地思考原有的數(shù)學(xué)理論，并將它們置于新的認(rèn)知圖景之中，從而可以豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力．因此，“創(chuàng)新性理解”在數(shù)學(xué)教育研究與教學(xué)實(shí)踐中都不容忽視．

2 三角公式的理解層次

文[2]關(guān)于數(shù)學(xué)理解的3個(gè)層次屬于理論層面的探討，這里以高中三角公式的相關(guān)內(nèi)容為載體，進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)證研究．

在中國(guó)高中數(shù)學(xué)課程中，以三角函數(shù)（上海教材中為“三角比”）的公式最為繁多．這些公式既可視為解題的工具，又自成體系，揭示了數(shù)學(xué)的內(nèi)在關(guān)系．結(jié)合上述關(guān)于理解層次的理論以及高中學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，對(duì)高中生理解三角公式的3個(gè)層次描述如下：

（1）工具性理解：能迅速地默寫出公式、辨認(rèn)出常見的變形、做簡(jiǎn)單的恒等變換與求值等．

（2）關(guān)系性理解：能對(duì)某一公式作出證明，能弄清各組公式之間的關(guān)系及主次地位，能對(duì)公式的某些表面特征作出數(shù)學(xué)上的解釋，對(duì)具體問(wèn)題能識(shí)別其模式并選用適當(dāng)?shù)墓角蠼獾龋?/p>

（3）創(chuàng)新性理解：能解決相對(duì)陌生的復(fù)雜的問(wèn)題，能將已有的知識(shí)與方法遷移到新情境下（例如在某種類似于三角比的定義之下進(jìn)行公式系統(tǒng)的探究），能從向量、復(fù)數(shù)等視角對(duì)三角公式給出新的理解，等等．

3 研究目的與研究問(wèn)題

文章的目的是研究高中學(xué)生對(duì)三角公式的理解情況．具體研究問(wèn)題如下：

研究問(wèn)題1：高中學(xué)生在三角公式的工具性理解、關(guān)系性理解與創(chuàng)新性理解上有哪些主要表現(xiàn)？

研究問(wèn)題2：高一學(xué)生經(jīng)歷課程學(xué)習(xí)之后與高三學(xué)生高考復(fù)習(xí)階段所表現(xiàn)出的對(duì)三角公式的理解是否存在差異？

4 研究方法

4.1 被試基本情況簡(jiǎn)介

調(diào)查與測(cè)試對(duì)象是上海市某重點(diǎn)中學(xué)的高一與高三學(xué)生．近年來(lái)該校教學(xué)模式基本穩(wěn)定且有一定代表性，學(xué)生所學(xué)的是上海教育出版社的數(shù)學(xué)教材[6]．在調(diào)查與測(cè)試階段，高一學(xué)生剛完成三角比的學(xué)習(xí)，而高三學(xué)生正處于高考總復(fù)習(xí)階段（已學(xué)習(xí)所有后續(xù)知識(shí)，包括三角方程、平面向量、“積化和差”與“和差化積”公式等）．

隨機(jī)選取兩個(gè)高一班級(jí)與兩個(gè)高三班級(jí)（選讀理科）參與研究．兩個(gè)年級(jí)的試卷結(jié)構(gòu)基本相同，均涉及工具性、關(guān)系性與創(chuàng)新性理解3個(gè)方面．高三被試需多做與創(chuàng)新性理解有關(guān)的3個(gè)附加題（涉及高一被試尚未學(xué)到的內(nèi)容）．因答題時(shí)間所限（一節(jié)課，即40分鐘左右），研究者對(duì)高三被試的題量作了削減，具體按A、B兩卷制處理，達(dá)到交叉覆蓋，以便保留與高一測(cè)試結(jié)果的對(duì)比功能．

經(jīng)數(shù)據(jù)整理，共計(jì)有效被試人數(shù)如表1所示．

表1 被試人員構(gòu)成情況

4.2 研究工具的整體設(shè)計(jì)

研究工具為一份調(diào)查與測(cè)試混合卷．

在工具性理解方面，主要設(shè)計(jì)為填空題形式，覆蓋若干類型的三角公式，由于有時(shí)間限制，被試一般需要快速反應(yīng)答題，即主要顯示工具性理解的質(zhì)量．

在關(guān)系性理解方面，研究結(jié)合文[2]所指出的關(guān)系性理解的各個(gè)側(cè)面進(jìn)行針對(duì)性的問(wèn)題設(shè)計(jì)，包括要求被試對(duì)公式進(jìn)行證明（證明性理解），對(duì)比兩個(gè)公式的形式并作出合理解釋（論說(shuō)性理解），指出心目中最重要的公式并說(shuō)明理由（結(jié)構(gòu)性理解）．

在創(chuàng)新性理解方面，綜合文[2]與文[5]的闡述，并鑒于高中生知識(shí)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)思維的大致發(fā)展水平，研究主要考察被試在遷移性理解方面的表現(xiàn)．研究者為被試創(chuàng)設(shè)了一個(gè)新公式系統(tǒng)的探究平臺(tái)，初步考察被試能否在理解原公式系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)思想、方法及所學(xué)知識(shí)遷移到相對(duì)陌生的情境中，對(duì)新公式系統(tǒng)進(jìn)行平行的探究．

4.3 創(chuàng)新性理解的任務(wù)設(shè)計(jì)

研究者模仿教材中三角比的定義方式，向被試提供兩種“另類三角比”，并通過(guò)以下一系列任務(wù)引導(dǎo)被試探究新的公式系統(tǒng)（4、5、6為高三附加題）：

（1）試說(shuō)明三角比A()α與B()α的定義與終邊上點(diǎn)P的選取方式無(wú)關(guān)；

（2）試推導(dǎo)A()α與B()α之間的一個(gè)等量關(guān)系；

（3）盡可能多地寫出關(guān)于A()α或B()α的誘導(dǎo)公式（至少兩條）；

（4）證明A()α的積化和差公式：

上述各探究任務(wù)涉及到新定義三角比A(α)與B(α)的多方面性質(zhì)：第1題的本質(zhì)在于解釋定義的合理性，第2題研究同角三角比關(guān)系，第3題研究關(guān)聯(lián)角之間的“另類三角比”關(guān)系，第4題要求證明“另類三角比”所參與的一個(gè)積化和差公式，第5、6題分別是解三角方程與三角不等式的綜合性問(wèn)題．

對(duì)于普通高中生而言，完成這些探究任務(wù)需要跳出課本內(nèi)的相對(duì)熟知的三角公式體系，因而在一定意義上超出了關(guān)系性理解的范疇，進(jìn)入創(chuàng)新性理解的層次．但需要指出的是，受時(shí)間等因素所限，這次測(cè)試僅僅是對(duì)被試完成上述任務(wù)時(shí)所表現(xiàn)出的遷移性理解進(jìn)行初步考察，所涉及的創(chuàng)新性理解的內(nèi)涵是較為有限的．實(shí)際上，還可以進(jìn)一步讓被試詳細(xì)闡述完成上述任務(wù)后對(duì)三角公式有何新的理解，也可以讓他們充分發(fā)揮創(chuàng)造力，獨(dú)立建構(gòu)一個(gè)包含A()α與B()α的公式系統(tǒng)，如此將使一些優(yōu)秀的被試更有機(jī)會(huì)展示其理解中的創(chuàng)新成分，對(duì)創(chuàng)新性理解的狀況有更充分的反映．

5 試題作答情況及分析

5.1 工具性理解試題作答情況及分析

研究選取課本中的三角比定義式、誘導(dǎo)公式、萬(wàn)能置換公式作為工具性理解測(cè)試素材，編寫簡(jiǎn)單的填空測(cè)試題．測(cè)試結(jié)果如表2所示．

表2 工具性理解測(cè)試情況

總體上看，學(xué)生公式記憶與直接運(yùn)用準(zhǔn)確率高，且高一與高三學(xué)生的準(zhǔn)確率相差不大，大致反映出高中學(xué)生對(duì)三角公式的工具性理解質(zhì)量較高，且高一與高三水平基本相當(dāng)．

5.2 關(guān)系性理解問(wèn)題作答情況及分析

5.2.1 證明性理解問(wèn)題作答情況及分析

研究選取課本中的和角公式、半角正弦公式作為證明性理解測(cè)試題目．各公式推導(dǎo)過(guò)程正確率如表3所示（允許用公式系統(tǒng)中較后出現(xiàn)的公式作為推導(dǎo)依據(jù)）．

表3 公式推導(dǎo)過(guò)程正確率統(tǒng)計(jì)

從測(cè)試結(jié)果看，被試相當(dāng)好地掌握了半角正弦公式的推導(dǎo)，但在和角公式的推導(dǎo)方面較為薄弱．值得注意的是，有5名高三被試用積化和差公式推導(dǎo)兩角差的余弦公式，這與公式系統(tǒng)的源流本末倒置，因此說(shuō)明他們?cè)诠较到y(tǒng)的“結(jié)構(gòu)性理解”上是存在一定偏差的．

進(jìn)一步分析則發(fā)現(xiàn)，高三學(xué)生的公式推導(dǎo)策略更為豐富．以兩角差的余弦公式

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

為例，高一學(xué)生所作的正確推導(dǎo)基本遵循上海教材中的標(biāo)準(zhǔn)方法，即構(gòu)造單位圓、利用距離相等建立等式（如圖1），高三學(xué)生的正確推導(dǎo)方式則豐富多樣（見表4）；而在推導(dǎo)過(guò)程有誤者中，高三學(xué)生的推導(dǎo)出發(fā)點(diǎn)亦更為多元化．造成這一現(xiàn)象的可能原因是，高三學(xué)生更熟悉整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系，且向量數(shù)量積與余弦定理在高考復(fù)習(xí)中有過(guò)頻繁的操練．相對(duì)而言，高一學(xué)生尚不具備運(yùn)用表4中方法2、4的知識(shí)基礎(chǔ)．

圖1 兩角差余弦公式的推導(dǎo)（課本方法）

表4 兩角差余弦公式推導(dǎo)策略的分布情況

5.2.2 論說(shuō)性理解問(wèn)題作答情況及分析

如表5所示，被試的答題情況大致可分為6類，其中前3類解釋屬于有意義的解釋．圖2、3、4分別為被試的3種典型的解釋方式．

表5 論說(shuō)性理解問(wèn)題作答情況

圖2 第1類解釋方式的典型

圖3 第3類解釋方式的典型

圖4 第4類解釋方式的典型

半角正切公式的正負(fù)號(hào)現(xiàn)象是公式理解的難點(diǎn)．從測(cè)試結(jié)果看，真正能解釋到本質(zhì)的被試尚不足15%，在這一點(diǎn)上，兩個(gè)年級(jí)被試的表現(xiàn)均比較薄弱．作出前3類解釋的被試為半數(shù)左右，因其中較多高三被試放棄作答，故難以推斷兩個(gè)年級(jí)理解水平的差異．

5.2.3 結(jié)構(gòu)性理解問(wèn)題作答情況及分析

研究調(diào)查被試心目中的重要三角公式，以及被試以何種依據(jù)衡量公式的重要性．調(diào)查結(jié)果如表6、7所示：

表6 被試所選的認(rèn)為是重要的三角公式

表7 被試衡量某個(gè)公式重要性的依據(jù)

如果將三角公式體系比作一棵樹，那么三角比的定義處于根基位置，和角公式處于主干位置，而表6中的前4類公式僅為該主干的分枝，從三角公式體系考慮，這些公式的重要性無(wú)疑不及三角比定義式與和角公式．然而被試選擇這些公式的頻率相當(dāng)高，甚至有被試認(rèn)為，二倍角公式可以推出所有其他的公式，這反映出有一定比例的學(xué)生對(duì)三角公式的結(jié)構(gòu)性理解有所偏差．分析原因，可能是考試題中二倍角等公式出現(xiàn)的頻率最高，學(xué)生在解題訓(xùn)練中不知不覺地形成某種理解，認(rèn)為這些公式在數(shù)學(xué)上才是最重要的．

從表7中亦可發(fā)現(xiàn)，在衡量公式重要性時(shí)，學(xué)生相當(dāng)關(guān)注實(shí)用性方面（尤其是高三學(xué)生），這反映出工具性理解的特征（相比之下，表7中所列的第2、第3種理由更多地反映關(guān)系性理解的特征）．

5.3 創(chuàng)新性理解任務(wù)系列作答情況及分析

任務(wù)1要求被試將課本中的思想方法遷移到新的情境，說(shuō)明A(α)與B(α)的定義與終邊上點(diǎn)P的選取方式無(wú)關(guān)．被試的幾種較有代表性的解釋方式如下．

圖5 直接研究定義的典型解釋

圖6 歸結(jié)為正余弦定義的合理性的典型解釋1

圖7 歸結(jié)為正余弦定義的合理性的典型解釋2

圖5中的解釋抓住了定義合理性的本質(zhì)（僅未考慮斜率不存在的情況，這種疏漏在被試的答題中頻繁出現(xiàn)）；圖6中的解釋是將新定義的合理性歸結(jié)為正、余弦定義的合理性，且解釋完整無(wú)誤；圖7所給的解釋雖與圖6十分相似，但并未解釋到位．更有許多被試僅寫出A(α)與B(α)的表達(dá)式而不作進(jìn)一步的解釋，即未觸及定義合理性的本質(zhì)，這一現(xiàn)象在高三被試中尤其明顯（他們或許認(rèn)為，既然已化作常見三角比，就沒什么好解釋的了）．總體而言，作出清晰解釋的被試相當(dāng)少，具體情況如表8所示．

表8 被試對(duì)定義合理性作解釋的表現(xiàn)

任務(wù)2、3的作答情況如表9、表10所示．

表9 被試推導(dǎo)同角三角比關(guān)系的表現(xiàn)

未作答或幾乎未作答 　10 (14.1%) 　5 (7.7%)

表10 被試寫出“誘導(dǎo)公式”的表現(xiàn)

從表9、表10反映出，相當(dāng)多的高一被試所寫的公式不符合形式要求．他們雖能熟練辨認(rèn)原公式系統(tǒng)中的同角三角比關(guān)系與誘導(dǎo)公式，但未能實(shí)現(xiàn)遷移，在新公式系統(tǒng)中寫出正確形式的公式．這可能與他們的遷移能力有關(guān)，也可能是由于他們未充分關(guān)注并深入理解每組公式的形式及意義，故不明確應(yīng)寫出何種形式的公式．相比之下，高三被試的表現(xiàn)明顯優(yōu)于高一被試，但亦出現(xiàn)一些形式錯(cuò)誤的現(xiàn)象．

值得注意的是，表9反映近半數(shù)高三被試直接寫出了正確結(jié)果，這意味著推理過(guò)程在他們頭腦中迅速完成了．這也許是因?yàn)楦呷龔?fù)習(xí)中經(jīng)常強(qiáng)調(diào)sinαcosα與sinα±cosα之間的等量關(guān)系，因此他們一旦完成概念轉(zhuǎn)化，就能直接在頭腦中搜索到一個(gè)熟悉的結(jié)論，而這種熟練多少妨礙了他們表述的完整性．

任務(wù)4要求高三被試證明一條關(guān)于A()α的積化和差公式．如表11所示，高三被試在此任務(wù)中反映出良好的公式掌握水平與遷移水平（只是在表述完整性方面仍有不足）．

表現(xiàn) 　　完成情況正確完成 　38 (58.5%)大體正確，但表述不完整 　17 (26.2%)未完成或有誤 　5 (7.7%)未作答 　5 (7.7%)

表12 高三被試求解綜合性問(wèn)題的表現(xiàn)

整體而言，相比高一被試，高三被試對(duì)三角公式系統(tǒng)的熟悉程度更高，遷移更為順利．個(gè)別高三學(xué)生表現(xiàn)出很高的遷移性理解水平．

6 結(jié)論與建議

6.1 主要結(jié)論及教學(xué)啟示

綜合上述分析，研究者將上海高中生在三角公式理解方面的主要表現(xiàn)與年級(jí)差異歸納如表13所示．

表13 上海高中生理解三角公式的主要表現(xiàn)

值得指出的是，高三學(xué)生對(duì)公式的理解反映出更多工具性數(shù)學(xué)的特點(diǎn)（實(shí)用、迅速獲得正確答案），比如他們更關(guān)注公式的實(shí)用性．此外，他們?cè)趧?chuàng)新性理解任務(wù)1、2中的答題完整性不及高一被試，亦可能是他們的思維更加直接和迅速所致．工具性理解實(shí)用、迅速的特點(diǎn)恰恰有助于高三學(xué)生在高考中迅速準(zhǔn)確地答題，但這并不意味著他們關(guān)系性理解的質(zhì)量不如高一學(xué)生．事實(shí)上，隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程，他們?cè)谑煜ぶR(shí)體系、多角度理解公式等方面有更多的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，以提高他們的關(guān)系性圖式的質(zhì)量，這也能在年級(jí)差異的其他現(xiàn)象中得到一定程度的反映．

然而研究中仍反映出，上海高中生三角公式的關(guān)系性理解的質(zhì)量總體而言并不高，在證明性理解、論說(shuō)性理解、結(jié)構(gòu)性理解這3個(gè)方面均顯出不足，特別是對(duì)和角公式的證明性理解相對(duì)薄弱，在結(jié)構(gòu)性理解上亦有偏差．其實(shí)，被試在遷移性理解方面所表現(xiàn)出的“對(duì)公式形式及意義的理解不夠到位”，亦與結(jié)構(gòu)性理解的不足有關(guān)．更一般而言，創(chuàng)新性理解要求“知其然并知其‘新’的‘然’和‘所以然’”，這是建立在高質(zhì)量的關(guān)系性理解的基礎(chǔ)之上的．因此，在高中三角比教學(xué)中，需在關(guān)系性理解的上述幾個(gè)方面有所加強(qiáng)，比如可以適當(dāng)強(qiáng)調(diào)各組公式的形式（可借助反例變式）以及它們的數(shù)學(xué)意義，適當(dāng)加強(qiáng)和角公式的測(cè)評(píng)要求，多提供學(xué)生推導(dǎo)與論說(shuō)方面的訓(xùn)練機(jī)會(huì)等．當(dāng)然基本技能的訓(xùn)練仍值得保持，使學(xué)生具備迅速準(zhǔn)確答題所需的工具性理解．

6.2 對(duì)進(jìn)一步研究的建議

鑒于樣本、研究實(shí)施條件等方面的限制，研究所反映的現(xiàn)象有待檢驗(yàn)．對(duì)進(jìn)一步的研究則有如下建議．

（1）對(duì)全國(guó)范圍內(nèi)不同地域、學(xué)習(xí)不同版本教材的高中學(xué)生在三角公式理解方面的情況作研究，進(jìn)行年級(jí)差異、地域、教材等方面的比較．

（2）就創(chuàng)新性理解而言，可對(duì)4.3節(jié)中所設(shè)計(jì)的任務(wù)系列加以充分利用或改造，借助深入訪談，以獲得對(duì)被試創(chuàng)新性理解情況的更多認(rèn)識(shí)．此外，亦可與創(chuàng)造力的研究相結(jié)合．研究中不妨提供給被試充分的時(shí)間，讓他們發(fā)揮創(chuàng)造力，獨(dú)立地構(gòu)建新公式系統(tǒng)，那么被試所面臨的挑戰(zhàn)將大得多．正如文[2]所述，“創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)理解，是在提出新問(wèn)題，進(jìn)行新猜想，拓展新內(nèi)容的過(guò)程中完成的．學(xué)習(xí)者在新的層次、或者更寬大領(lǐng)域里進(jìn)行居高臨下的觀察，多角度地思考原有的概念和問(wèn)題，達(dá)到一種新的思維水平．”而研究者則可以借鑒創(chuàng)造力方面的理論來(lái)研究學(xué)習(xí)者的創(chuàng)新性理解．

（3）研究?jī)H涉及到三角公式工具性理解、關(guān)系性理解的部分內(nèi)涵，對(duì)創(chuàng)新性理解更是僅作了一些初探性的工作．因此，對(duì)于三角公式理解這一課題，在深度上和廣度上均有很大的研究空間．

［參 考 文 獻(xiàn)］

[1] Skemp R.Relational Understanding and Instrumental Understanding [J].Mathematics Teaching, 1976, (77): 20-26.

[2] 任偉芳，偶偉國(guó)，龔輝，等．“工具性理解”“關(guān)系性理解”和“創(chuàng)新性理解”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（4）：69-73.

[3] 鮑建生，周超．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M]．上海：上海教育出版社，2009．

[4] 馬復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型——從R·斯根普的工作談起[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，10（3）：50-53.

[5] 王光明．關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的調(diào)查和思考[J]．當(dāng)代教育科學(xué)，2005，（23）：62．

[6] 袁震東．?dāng)?shù)學(xué) 高中一年級(jí)第二學(xué)期（試用本）[M]．上海：上海教育出版社，2008．

[7] 張景中．一線串通的初等數(shù)學(xué)[M]．北京：科學(xué)出版社，2009．

[8] 張景中．不用極限的微積分[M]．北京：中國(guó)少年兒童出版社，2012．

[9] F·克萊因．高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（1-3卷）[M]．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008．

[10] 熊斌，田廷彥．國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克研究[M]．上海：上海教育出版社，2008．

[11] 陳月蘭．中日三角比內(nèi)容比較——以上海教育出版社和數(shù)研出版社出版的教科書為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（3）：57-62．

[12] 涂榮豹．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)遷移[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，15（4）：1-5．

[13] 黃燕玲，喻平．對(duì)數(shù)學(xué)理解的再認(rèn)識(shí)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（3）：40-43．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Empirical Study on Senior High School Students’ Understanding of Trigonometric Formulas in Shanghai

HE Yi-jie1, 2, PENG Gang1, XIONG Bin1, 2
(1.Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China; 2.Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China)

Abstract:In recent decades, scholars from home and abroad have put forward various theories and opinions about mathematical understanding.This paper examines Shanghai’s high school students’ understanding of trigonometric formulae from the perspective of instrumental understanding, relational understanding and innovative understanding.In terms of research and testing, the researchers discover that students generally perform well on the instrumental understanding level, but are lacking in many ways in their relational understanding.A series of tasks which is designed by the researchers reveals certain characteristics of these students’ innovative understanding.This research also shows that while Senior Three students perform better than Senior One students in some aspects of relational and innovative understanding, they also demonstrate a higher level of tendency towards the characteristics of instrumental understanding.

Key words:trigonometric formula; instrumental understanding; relational understanding; innovative understanding; transferred understanding

作者簡(jiǎn)介：何憶捷（1985—），男，上海人，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究．

基金項(xiàng)目：上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室課題（13dz2260400）

收稿日期：2015–09–08

中圖分類號(hào)：G420

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004–9894（2016）01–0051–06