基于整體把握的運算主線下的“分數指數冪”教學

李大永，章 紅

（1．海淀教師進修學校，北京 100195；2．首都師范大學附屬中學，北京 100048）

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基于整體把握的運算主線下的“分數指數冪”教學

李大永1，章 紅2

（1．海淀教師進修學校，北京 100195；2．首都師范大學附屬中學，北京 100048）

摘要：基于整體把握的運算主線下的數學教學，就是把數與運算放在數學學科知識的整體系統中來看，以數與運算的發展所蘊含的數學基本思想方法為主線，依托中學數學中數與運算的相關內容，依據學生的認知特點和課標學習要求來組織設計教學，旨在向學生滲透重要且基本的數學思想方法，使學生認識數學學科知識發展的規律與特點，促進學生樹立正確的數學觀念．

關鍵詞：整體；知識系統；運算；基本思想

最早看到對“整體把握”的闡述是在王尚志主編的《走進高中數學新課程》中，面對進入新課程后一線教學反映出的種種問題，提出了“整體把握實施教學”的方向，并提出了整體把握課程的函數主線、幾何主線、運算主線，后來王老師又進一步提出了算法主線、概率統計主線、應用主線．這使得教師在理解和把握數學課程內容時有了更為清晰的線索．

數學知識具有高度的系統化和結構化，但是作為數學教育的數學教學內容，課需要一節一節地上，學習要一點點積累，從認知學習的客觀規律上，又必須對數學內容進行分解，拆分成一個個零碎的知識塊．教師在教學處理上只有從整體把握的角度出發，“返璞歸真，尋求數學的本原，找到數學知識網的結點，就能綱舉目張，以一當百”[1]．弄清楚每堂課的教學內容在數學整體的知識系統中的地位與價值，理解該數學知識所蘊含的數學思想和觀念，這樣才不至于使數學教學變得支離破碎．

“運算”幾乎滲透到數學的每一個角落，運算是貫穿數學的基本脈絡，是貫穿數學課程的主線[2]，可以說，數與運算對于數學學科的重要性再怎么強調都不為過，它不僅是數學發展的重要起源，更是數學后續發展思想方法源泉和眾多數學分支發展的絕佳范例！“在現代數學教育中應積極倡導數學精神．數學精神的特殊性表現在：崇尚理性的思維方式；追求統一的體系結構；符合實踐的求真原則．”[3]追求數學知識統一的和諧一致性是貫穿在數學發展歷史中的核心精神之一，數學發展的一個基本思想就是在因襲．（作為認識發展的一般規律，擴張與因襲普遍地起著作用[4]）原有的某些性質和規則下，把基本的概念做某種推廣，使得能去掉例外情況而實現數學的簡潔、統一與和諧．這一數學精神和思想在數與運算的內容中體現得淋漓盡致！因此，作為中學數學內容占有相當比例的數與運算的內容理當承擔起這一重要的數學教學價值．

基于整體把握的運算主線下的數學教學，就是把數與運算放在數學學科知識的整體系統中來看，以數與運算的發展所蘊含的數學基本思想方法為主線，依托中學數學中數與運算的相關內容，依據學生的認知特點和課標學習要求來組織設計教學，旨在向學生滲透重要且基本的數學思想方法，使學生認識數學學科知識發展的規律與特點，促進學生樹立正確的數學觀念．下面以分數指數冪的教學為例闡述上述教學理念．

1 教學內容分析

1.1 概念的歷史分析

數學教育取向的數學史研究[5]可以獲取相關知識點（概念、公式、定理等）的教學啟示，因此借鑒歷史進行教學有利于構建自然的數學知識發生發展的過程．下面從指數概念的歷史來分析可以獲得哪些教學啟示．

提到指數，不能不看看對數，對數的產生源于人類對簡化運算的追求與創造，蘇格蘭的男爵John Napier（1550—1617）對簡化數字計算非常有興趣，他最早想到數可以用指數形式來表示，4可以用2的平方表示，8可以用2的立方表示，5、6、7可以表示為2的在2及3之間的某個分數的冪，一旦數都可以表示為指數形式，乘除法就可以通過指數加減來代替，因此，花了近二十年時間尋找各種數的指數表示的計算公式．從歷史上看，當時在天文方面的簡化計算的需求下，很多人都對對數進行了研究，德國的米海爾·史蒂夫在《整數算術》一書中刊載了一張數表：

…,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…

第一排是等差數列，第二排是等比數列，第一排數字的加、減、乘、除與第二排相應數字的乘、除、乘方、開方運算有一種對應關系．但這張表只能進行整數次冪的計算，為了使之趨于細密，對于插入中項的等差數列：

對應的等比數列應是

但是由于當時的指數概念尚未完善，史蒂夫無法認識分數指數，因而他沒能在自己的工作上獲得進一步的進展[6]．

從以上數學史材料可以看到，人們從整數指數冪與其指數的對應關系的角度，很自然地感知到有空隙需要填補，這一角度有助于學生自發認識到引入分數指數冪的必要性．

1.2 教材內容編排的比較與分析

1.3 知識系統中的概念分析

在擴張與因襲的視角下，分數指數冪是在整數指數冪上的進一步擴展，整數指數冪是在以乘方運算為基礎的正整數冪上的擴展，由正整數冪到負整數冪已經開始脫離“同因數累乘”的意義，負整數指數冪的意義賦予來源于正整數冪的形式化的運算性質的使用范圍的擴展——指數取正整數擴展到可以取任意整數（初中已完成）．而高中階段的分數指數冪是在這條擴展道路上的進一步前行，把形式化運算性質中指數的取值范圍擴展到任意有理數范圍，分數指數冪的意義仍可從類比負整數指數冪的意義獲取方法中得到．而此后的無理數指數冪盡管也是對指數取值范圍的擴展，但是其意義獲得主要來源于在有理數指數冪運算性質基礎上的有理數序列的無限逼近．

分數指數冪的引入，除了降低了冪的運算性質的諸多“忌諱”，還帶來了其它的益處，這也是數學發展的一般規律，就像過去因引入負數而實現了一對逆運算——加法與減法的統一、因引入分數而實現了一對逆運算——乘法和除法的統一一樣，實現了一對逆運算——乘方和開方的統一，也就是在有理數冪的形式表達下，乘方運算與開方運算實現了形式的統一．此外，分數指數冪給在以變化率為核心的實際問題（如：放射性元素的衰變）的形式化表達也帶來極大的方便．這恰恰反映了數學對方便簡潔、和諧一致的精神追求．

基于以上的分析，分數指數冪的教學要沿用初中擴充指數的途徑，以問題串的方式展開與學生的對話，從反思歸納梳理學生初中所學的數與運算的學習經驗入手，促使學生直觀感知到擴充指數的需求，進而鼓勵學生自主賦予分數指數冪的合理意義，在分數指數冪的深化理解過程中，采用考古時鐘——碳14的衰變的例子，從解讀衰變的量化表達來幫助學生建立數學與現實的聯系，同時達到深化分數指數冪的理解．最后進行必要的分數指數冪運算技能訓練．

2 教學問題診斷

從抽象的形式化數學概念的學習心理層面來看，學生需要依托具體的載體來理解抽象的形式化概念，而且需要把理解建立在學生非常熟悉的掌握牢固的知識基礎之上．

因此，在教學過程的設計中，突出考慮以下幾個方面：（1）要讓學生自然感覺到有引入分數指數冪的需要．在導入階段，結合以往的新數意義的發現經驗，教師要通過與學生的對話鼓勵學生去體驗“再現”發現并賦予分數指數冪意義的歷程；（2）因為“學生對數學的思考往往來自于個別范例和具體活動”[1]，所以要充分借助具體范例克服學生發現分數指數冪意義的困難；（3）引導學生比較分析分數指數冪與整數指數冪意義的區別與聯系；（4）使分數指數冪的理解建立在多維聯系之中，而且最終要形成一條牢固的分數指數冪意義賦予的線索；（5）利用圖示表征思維線索，如圖1．

圖1 思維線索

3 教學目標分析

分數指數冪概念教學的核心是理解分數指數冪的概念，而概念的理解離不開學習者真正進入到其形成的過程．

考慮到授課學生不是自己的學生，對學生的情況缺少深入了解，結合上述目標分析，冪的運算技能訓練和對式的結構化理解不作為這節課的教學目標，放到第二節課去落實．

這節課的教學目標確定為：（1）使學生感受到引入分數指數冪的價值和意義，充分認識到引入分數指數冪的必要性；（2）理解分數指數冪的含義，初步掌握分數指數冪的運算；（3）從分數指數冪意義的探求過程中了解數與運算發展的擴張與因襲的脈絡特點，認識符號所帶來的形式化的一致性的價值與意義，既為后續的“新數”的繼續學習打下基礎，也使學生體驗和享受數學創造的樂趣，樹立數學學習的信心．

4 教學過程設計

4.1 數與運算的認識與回顧

問題1 回顧9年的數學學習，大家對“數”與“運算”的認識經歷了怎樣的變化？

設計意圖：由熟悉的話題和學生展開談話，一方面消除與學生的生疏感，另一方面為今天的課題做準備．

問題2 從學習“數”與“運算”的經歷中，你認為新數（新的運算對象）產生的必要性是什么？

教師總結講解：首先是直觀感覺其存在，一方面來自于實際應用的需求；二是來自于運算邏輯，即運算的封閉性和基本運算規則的保持，其次是在原有運算對象中找不到．人類在實踐中感覺到負數和分數的存在，人類創造了它們擴大了數集，從而消除了減法和除法中的制約條件，使加減、乘除的互逆運算實現了和諧的一致性，這是數學發展的一個特點．觀察圖2，已經知道由n次方的乘方運算，但是開方運算，目前還僅知道開平方和開立方運算．

設計意圖：梳理已學運算，引導學生了解數學發展的擴張與因襲的特點，引出n次方根的概念．

圖2 思維方式

4.2 方根概念的推廣

問題3 方程x4=2，x5=7等是否有實數解？解的個數是怎樣的？如果讓你創造一個符號來表達，你認為什么符號是最合適的？

設計意圖：為一般化的n次方根的概念及理解提供具體化認知材料．

問題4 研究更一般的問題，滿足xn=a（n∈N, n＞1）的實數解是否存在？你能說清楚它的解的情況嗎？

設計意圖：在此問題的研究基礎上，形成n次方根、n次算術根的概念以及符號表達方式．

① 當na有意義時，

數學符號語言是涵義高度概括和濃縮的一種科學語言，所以要特別注意理解這些數學符號的內涵．上述的數學符號實際上既代表了一種運算，同時又代表了一種運算的結果，它又成為一個新形式的運算對象．

4.3 n次方根鞏固練習

4.4 回顧負整數指數冪

問題6 在初中，由乘方運算的意義獲得了正整數冪滿足的運算性質，正整數冪有哪些運算性質？你能解釋這些性質的意義嗎？其中的符號有何要求？

問題7 初中還把指數進行了擴充，使其可以取負整數，負整數指數冪意義是什么呢？你知道負整數指數冪是如何引入的嗎？你認為引入負整數指數冪帶來了怎樣的好處？

設計意圖：教師引導學生回顧負整數指數冪的發現及意義賦予過程，再識負整數指數冪的引入帶來的消除限制，帶來方便和一致，再次認識數學發展的擴張與因襲思想，為分數指數冪的引入在思想方法上給與鋪墊．

上述初中教材中5條性質中，（1）與（4）、（3）與（5）各自合二為一，使整數指數冪的運算性質簡化為3條．

4.5 分數指數冪的發現與意義賦予

問題8 整數指數冪的運算性質中的指數取整數的限制可否通過進一步擴展而取消呢？如果允許指數可以取分數該賦予其怎樣的意義呢？它能否給研究者帶來一致與便利嗎？

設計意圖：激起學生的探索欲望，引導學生展開擴展指數冪的探索，使學生發現把指數擴展到分數可以實現乘方運算和開方運算的統一，感受這兩種互逆運算的一致性給運算帶來了極大的方便性．同時這也解釋了前面引入n次方根后，為何并未深入研究n次方根作為運算對象進行運算的運算性質．

② 引導學生認識分數指數冪中規定底數a＞0的必要性；

4.6 現實中的分數指數冪

問題9 引入分數指數冪有何現實意義呢？你能舉個例子來說明嗎？

預案：學生很可能舉不出例子，教師可采用考古學的時鐘——碳14的例子，基于網頁資料（http://time.kepu.net.cn/ a02/1050.html）向學生提出問題，例如某植物死亡后，經過10年、573年、1 000年時，其碳14含量是死亡時碳14含量的多少倍？

設計意圖：① 該例子可以從現實模型角度深化學生對分數指數冪的理解，碳14時時刻刻都在按恒定規律衰減，參照半衰期的度量標準不夠小時，自然產生對更小參照度量標準的需求，這就是分數指數冪，這和分數的產生極其相似！② 使學生認識數學與現實的聯系，從數學發展史上看，新數得到普遍認可往往需要其在數學內部和數學與現實的聯系中都有其存在的意義，盡管有時這兩個方面的意義不是同步獲得的．

5 教學目標檢測設計

第一部分 分數指數冪理解與運算性質簡單應用1.化根式為分數指數冪

2.分數指數冪運算性質應用

第二部分 對課堂教學的感受與體會

1.你認為與分數指數冪的計算的練習相比，昨天課上對已學運算的梳理有無必要？為什么？

2.這節課較長的時間回顧梳理了以前所學過的運算，你認為_____（添“有”或“無”）幫助嗎？如果有，你認為對以前學過的運算獲得的新認識是：

3.指數由整數指數冪擴充到分數指數冪的過程，你認為有幾個線索可以感覺到分數指數冪存在的必要性？

4.除了知識的學習，你認為昨天的課對如何理解、學習數學有無啟示和幫助？

6 學生反饋分析

6.1 測評結果

說明：上課次日早讀完成的，時間約15分鐘，41份答卷．測評結果及體會如表1、表2所示．

表1 分數指數冪理解與運算性質簡單應用

表2 對課堂教學的感受與體會

6.2 測評結果分析

在實際教學中因前面用時超出預期，課上沒來得及通過練習反饋修正實現概念、規則理解精細化的環節，課后比較擔心學生在分數指數冪的運算操作上會存在較大問題，而從第一部分的測評結果來看，學生對分數指數冪的理解和運算性質的應用的表現還是比較出色的．這說明，使學生充分經歷了分數指數冪的發現與意義賦予過程，對促進學生理解分數指數冪的概念是具有一定效果的，但同時也說明，在練習中反饋修正實現概念、規則理解精細化環節還是必需的．學生對本課學習過程的認可程度可以從表2顯現出來，學生普遍感覺收獲比較大，不僅對運算有了諸多新的認識，也對數學發展的規律有了些許感悟，而且還表現出對學生的數學學習觀念也有所觸動，從以下兩個學生的問卷可以清晰地看到在本課引發的思考．

如果在數與運算的相關知識教學中，每堂課都能從基于整體把握數學的角度來審視教學內容，設計教學，學生一定會在數學知識和思想方法的理解方面，正確的數學的學習觀方面有更大的收獲！

［參 考 文 獻］

[1] 張奠宙，王振輝．關于數學的學術形態和教育形態——談“火熱的思考”與“冰冷的美麗”[J]．數學教育學報，2002，11（2）：1-4．

[2] 王尚志，高定量．普通高中數學課程分析與實施策略[M]．北京：北京師范大學出版社，2010．

[3] 王青建．論數學精神與數學教育[J]．數學教育學報，2004，13（2）：70．

[4] 張國棟，李建華．數學思想與數學教育[J]．北京教育學院學報，1998，（2）：10-12．

[5] 汪曉勤，張小明．HPM研究的內容與方法[J]．數學教育學報，2006，15（1）：16-18．

[6] 孫智昌．創造發明1 000例（數學卷）[M]．桂林：廣西師范大學出版社，2001．

[7] 張廣祥，李文林．形式符號運算的認識論價值[J]．數學教育學報，2007，16（4）：5-8．

[8] 何小亞，植美賢．高一學生對數運算技能水平測試量表的編制與研究[J]．數學教育學報，2011，20（5）：55-58．

票[責任編校：周學智]

Fractional Exponent Teaching Based on the Overview of Algebraic Operation Outline

LI Da-yong1, ZHANG Hong2
(1.Haidian Teachers Training College, Beijing 100195, China; 2.Capital Normal University High School, Beijing 100048, China)

Abstract:Teaching based on the overview of algebraic operation outline is one kind of instructional design which is the number and algebraic operation under the overview of the mathematics knowledge system; in other words, it is also under the outline of let them finding basic mathematical thought; the main content is the knowledge related to number algebraic operation in high school and the design is on the basis of the new curriculum standard and students’ cognitive characteristics; its aim is to penetrate the mathematical thinking method, let the students to find the rule and characters of the developing mathematical knowledge and improve students establishing mathematics idea.

Key words:overview; knowledge system; algebra operation; basic mathematical thought

作者簡介：李大永（1972—），男，北京人，中學高級教師，北京市中學數學學科帶頭人，主要從事數學課堂教學研究及教師培訓．

基金項目：全國教育科學規劃項目2011年數學教育專項重大招標課題——促進學生健康成長的高中數學課程整體設計研究（GIA117001）；北京市教育科學“十二五”規劃一般課題——基于數學思想方法的理解，提高課堂教學品質的研究與實踐（DBB13058）

收稿日期：2015–09–28

中圖分類號：G420

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）01–0061–06