“波利亞解題思想”在高中數學學困生轉化中的應用研究

一、問題的提出

新課程理念強調以人為本，希望每位學生都能夠獲得全面的、和諧的發(fā)展。事實上，目前普通高中存在著大量的數學學習困難生（以下簡稱數困生），數學學習困難很大程度影響了他們自身的成長和未來的發(fā)展。因此，從實踐層面探索轉化數困生的途徑有著非常重要的意義。

毫無疑問，學習數學的關鍵在于解題。筆者通過對數困生的觀察研究發(fā)現，解題能力差、毫無章法、無解題的策略意識是導致他們學習數學困難的最核心因素。怎樣解題？怎樣有思想的解題？對于解題理論的研究和教學首推美國當代數學教育家喬治·波利亞，他的研究工作給我們提供了理論和實踐兩個層面的指導。筆者利用波利亞解題思想在轉化數困生的實踐方面，作了一點有益的探索，以期能為轉化數困生提供一條新的途徑。

二、波利亞解題與教學思想簡介

1.波利亞的解題思想

波利亞的重要數學著作有《怎樣解題》《不等式》《數學的發(fā)現》《數學與猜想》等等，但他的解題思想集中體現在他的《怎樣解題》一書中，解題的流程如下圖所示：

為了更清楚地展現解題的思維過程，波利亞又把每個環(huán)節(jié)分成若干個小的問題，部分重要的問題分別如下：

（1）已知是什么？

（2）未知是什么？

（3）題目要求你干什么？

（4）可否畫一個圖形？

（5）可否引入符號，實現數學化？

（6）你能否一眼看出結果？

（7）是否見過形式上稍有不同的題目？

（8）你是否知道與此有關的題目，是否知道用得上的定義、定理公式？

（9）有一個與你現在的題目有關且你已解過的題目，你能利用它嗎？

（10）已知條件A，B，C……可否轉化？可否建立一個等式或不等式？

（11）你能否引入輔助元素？

（12）如果你不能解這個題，可先解一個有關的題，你能否想出一個較易下手的、較一般的、特殊的，類似的題？

（13）把你想好的解題過程具體地用術語、符號、圖形，式子表述出來。

（14）修正解題方向以及原來擬定的不恰當的方案。

（15）解題要求是：嚴密具有邏輯性。

（16）你能擬定其他解題方案嗎？

（17）你能在別的問題中利用它嗎？你能用它的結果嗎？你能用它的方法嗎？

（18）你能找到什么方法檢驗你的結果嗎？

由此可見，解題表主要由四個環(huán)節(jié)構成，其中弄清題意是關鍵，擬定計劃是核心，檢驗回顧是解題中不可缺少的重要條件。由此可見，波利亞特別強調解題前和解題后的工作，這與我們僅強調解題過程（執(zhí)行計劃）有很大的差異。

2.波利亞的解題教學思想

波利亞主張教師在解題教學過程中要教會學生思考和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，倡導“探索式”教學。從《怎樣解題》中可見波利亞還十分注重對學生“反思性思維能力”的培養(yǎng)，倡導解題過程中數學方法的教學，他主張對解題結論的應用，從而激發(fā)學生的想象力。波利亞強調在解題過程中調動學生的“主動性”，創(chuàng)造解題教學的“最近發(fā)展區(qū)”極為重要，他認為適當的題目可以培養(yǎng)學生良好的情感和態(tài)度，可以調動學生的非智力因素。

關于學生的解題訓練，波利亞反對數學教學中讓學生用大量的時間操練一些常規(guī)運算。他認為學生用大量的時間操練常規(guī)運算會扼殺學生的興趣，阻礙學生智力的發(fā)展，錯失教育良機。相反，如果用和學生的知識相稱的題目來激起學習的好奇心，并且用一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那么就能培養(yǎng)學生獨立思考問題的興趣，并教會學生某些方法。他認為在一個易受到外界影響的年齡段，這樣的經歷可能會培養(yǎng)出對智力思考的愛好，并對思想和性格留下終生的影響。

三、研究的方法及過程

為了研究的方便，經學校同意，筆者隨機選擇高三（5）班和高三（6）班的部分數困生作實驗研究，這是兩個選修“物理生物”的普通班級，學校同類型的平行班級還有（3）班、（4）班、（7）班、（8）班等。

1.數困生的界定

為了統(tǒng)計和研究的方便，我們把數困生界定為“多次數學考試得分不足理科班平均成績一半的學生。”這個界定的科學性盡管有待商榷，但這個標準確實很低，并且易于操作，以下的統(tǒng)計數據都遵照此標準。為了預防實驗班新的數困生的產生，在進行波利亞思想解題實驗時，根據9月份的市高三調研考試和之前的高二期末成績，把標準提高到“數學得分不足理科班成績的三分之二”，并排除個別特殊的學生，于是兩個班共有15人參加實驗。

2.師生的理論學習

目前波利亞的解題思想在國內中學的數學教學中，還沒有被教師廣泛的認可和接受，學生更是聞所未聞。為了確保實驗中能夠深刻領會，不曲解、不偏離波利亞的解題思想，筆者安排了兩個月的師生理論學習時間。2014年9月為自我學習階段，在這一個月內，筆者除了仔細研讀前期收集的波利亞的最主要的解題類著作《怎樣解題》《數學與猜想》外，還學習了別人研究波利亞解題思想的著作和論文，如劉云章教授的《數學鑰匙思維策略：波利亞著作選講》、柳成行的《喬治·波利亞的解題思維理論》等。2014年10月份，筆者主要利用課余時間如午自修和夜自修等時間，帶領數困生學習波利亞的解題思想，并結合解題的實例說明，讓每位數困生能夠牢記解題的四個環(huán)節(jié)和每個環(huán)節(jié)中思考的著眼點。

3.探索實踐方法

正式的實驗階段從2014年的11月始到2015年的5月底，除去寒假，正好為期半年。大體分為三個階段：教師引導階段、強化應用階段和自覺應用階段。endprint

從2014年11月始到12月末為教師引導階段。在前期對波利亞解題理論學習的基礎上，由教師利用課外的時間，對參加實驗的學生進行專門解題策略引導。在這個階段，主要是以老師講解例題，學生模仿為主，為使四個環(huán)節(jié)更具操作性、更加具體，對這四個環(huán)節(jié)作進一步細化，如下表所示：

2015年1月和2月為強化應用階段。由于這樣的解題過程需要大量的時間，所以對參加實驗的學生的數學作業(yè)區(qū)別對待，在完成必要教學任務的作業(yè)外，盡可能地減少作業(yè)量，追加典型的能夠用波利亞思想解題的作業(yè)，并單獨印制試卷，在每題的答題區(qū)，印制好每個環(huán)節(jié)需要思考的問題，并要求學生逐步填寫，而不僅僅是完成解題，每天晚上完成1到2個這樣的問題。

2015年的3月和4月為自覺應用階段。通過前兩個階段的訓練，大部分參與實驗的學生能夠自覺地按解題流程進行解題。值得一提的是在2015年5月的四大市第二次模擬考試中，參加實驗的同學在中等難度題（第9到16題）上平均得分與班級其他同學平均得分基本相當。有力地說明實驗確實起到了一定的效果。

四、數據的收集與分析

為了跟蹤檢驗實驗的有效性，我們選取了最接近實驗前的三次考試數困生人數，和開展實驗后的三次考試數困生人數（見表1）。除了2014年10月檢測之外，均為市級以上的考試，無論是試卷信度、考試組織還是閱卷都具有較強的權威性。

由于高三開始時按照高二的期末成績進行了均勻分班，所以數困生人數非常平均，均為5人。接下來9月和10月考試數困生人數有了一定的變化，從表中數據可見，開展實驗后實驗班的數困生數量明顯減少，我們使用SPSS15.0進行單因素方差分析（One-Way ANOVA），得到實驗前和實驗后的數困生平均人數差異的F值，見表2。

就實驗前因變量而言，F值不顯著（F=0.056，p>.05），就實驗后的因變量而言，F值顯著（F=18.059，p>.05）。這說明進行實驗后各班數困生人數發(fā)生了顯著的變化，我們的實驗是卓有成效的。

五、研究的結果及教學改進

這次實驗結果有力地說明了只要采用科學的、適當的途徑，是能夠實現數困生轉化的。因此，對已經形成的數困生采取有效的補救措施。改進課堂教學迫在眉睫，我們可以從以下幾個方面入手：

1.教給學生審題的方法，提高學生審題能力

認真審題是提高解題效率和保證解題有效性的關鍵，通過審題充分理清題目的條件和所求，邊讀題邊翻譯，將條件轉化成圖形語言或符號語言。弄清題目屬于哪種題型，有什么通法或找到問題的突破口，挖掘出與所求相關的信息或隱含條件，進行聯系和疏通，使問題迎刃而解。我們在教學中要給予學生足夠的審題時間，教會學生審題的方法，千萬不能越俎代庖。

2.解題力求找到問題的源頭

解題時學生對問題中的有些條件無從“翻譯”，或偏離方向越做越復雜，最終放棄，非常可惜。“問渠哪得清如許，為有源頭活水來。”學生進行審題后難于駕馭的問題，我們要積極引導，提供正確的步驟和方法，促使學生有效探究，力求找到問題的源頭，層層推進，及時疏通，在不斷嘗試中找到解題的切入口，這一系列思維過程無不伴隨著學生最基本的思考。

3.對學生的"不同意見 "要熱處理

我們在課堂上講解題目時，可能有學生會對解法持有“不同意見”，從而打亂了我們所謂的教學計劃。這時我們千萬不能做辛勤的園丁，拿著把大剪子急切地修剪著，導致學生的思維就如籠中鳥，生怕自己的答案不標準，卻也難于理解自己究竟錯在哪里。相反，我們要及時為學生的“不同意見”及時調整教學計劃，開啟綠色通道，可能這些學生的意見是有限制性和偏差的，我們不妨和學生一起用發(fā)展的理念討論要不要全盤接受，慢慢思考培養(yǎng)什么，舍棄什么，可以作什么改進，從不同的視角感悟我們可以留下些什么。

（施莉莉，吳江高級中學，215200）

責任編輯：顏瑩endprint