例談“設而不求”策略中“設”的技巧

孫延峰+柯躍海

【摘 要】“設而不求”是一種重要的解題策略。本文基于一個實際問題，挖掘了“設而不求”蘊含的精神、思想和方法，認為“設而不求”蘊含著數學中致力于發明發現的精神、嚴密化精神和思想的經濟化精神；蘊含著超越傳統思想、變中求不變思想和參數思想。在此基礎上，結合實例淺析了“設而不求”的“設”的技巧。

【關鍵詞】設而不求；策略；整體思想

在高中數學問題的解答中，合適思維方法往往是解題的突破口。若思維得法，解題就會一氣呵成。“設而不求”指利用題設條件，巧妙設元，通過整體替換再消元或減元，達到運算中以簡馭繁的目的的一種解題方法。它的實質是整體結構意義上的變式和整體思想的應用。“設而不求”解題法是高考解析幾何題常用到的方法之一，它通過設而不求的策略，可以使復雜的問題簡單化，解題準確、快捷。解析幾何問題“設而不求”的解題策略的常見方法有：設而不求整體化歸、利用韋達定理、代點相減法、利用曲線系方程整體消元法等。值得提醒的是：中點坐標公式、斜率公式和根與系數的關系是“設而不求，整體思想”的馬前卒。筆者以解析幾何中的一道實例，就“設而不求”策略中“設”的技巧做個淺析。

實例：求拋物線y2=8x中以為中點的弦所在的直線的方程。

策略分析：已知所求弦通過定點Q（4，1），所求弦線方程的關鍵是求出該弦線的斜率k，又注意到Q是所求弦線的中點，顯然弦線與拋物線的交點既和中點Q有關，又和拋物線關系密切，所以可以考慮求出交點從而確定斜率k。我們可以設交點坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），馬上可以列出四個方程，顯然可得解，注意到我們的目的是求于是有如下解法： 評析：解析幾何中的圓錐曲線是高考的重點、難點和熱點，而其中的計算是困難的。如何避免求交點，從而簡化計算，也就成了處理這類問題的難點與關鍵。這里用到的策略——設而不求，這實質是整體結構意義上的變式和整體思想的應用。

如果對A、B兩點坐標的設法改進一下，就有如下幾種解法：

評析：解法二和解法三恰當合理地引入了參數，使本題解題目標更明確，已知與所求的聯系明朗化，問題迎刃而解。

以上四種解法都是直接給出端點坐標，也可以間接給出端點坐標，于是又有以下兩種解法：

總之，在解決圓錐曲線的有關問題時，只要細心觀察、不拘于形式，采用適宜的“設法”，必將給我們解決實際問題帶來方便。

【參考文獻】

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