解圓錐曲線問題常用方法

張玉花

解圓錐曲線問題常用以下方法：

1.定義法

（1）橢圓有兩種定義.第一定義中，r1+r2=2a.第二定義中，r1=ed1，r2=ed2.

（2）雙曲線有兩種定義.第一定義中，|r1-r2|=2a，當r1>r2時，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應注意第二定義的應用，常常將焦半徑與“點到準線距離”互相轉化.

（3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明.

2.韋達定理法

因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用.

3.設而不求法

解析幾何的運算中，常設一些量而并不解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設而不求法”.設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產生的弦中點問題，常用“點差法”，即設弦的兩個端點A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中點為M（x0，y0），將點A、B坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產生弦中點與弦斜率的關系，這是一種常見的“設而不求”法.

4.數形結合法

解析幾何是代數與幾何的一種統一，常要將代數的運算推理與幾何的論證說明結合起來考慮問題，在解題時要充分利用代數運算的嚴密性與幾何論證的直觀性，尤其是將某些代數式子利用其結構特征，想象為某些圖形的幾何意義而構圖，用圖形的性質來說明代數性質.

5.參數法

（1）點參數

利用點在某曲線上設點（常設“主動點”），以此點為參數，依次求出其他相關量，再列式求解.如x軸上一動點P，常設P（t，0）；直線x-2y+1=0上一動點P.除設P（x1，y1）外，也可直接設P（2y1-1，y1）.

（2）斜率為參數

當直線過某一定點P（x0，y0）時，常設此直線為y-y0=k（x-x0），即以k為參數，再按命題要求依次列式求解等.

（3）角參數

當研究有關轉動的問題時，常設某一個角為參數，尤其是圓與橢圓上的動點問題.

6.代入法

這里所講的“代入法”，主要是指條件的不同順序的代入方法，如對于命題：“已知條件P1，P2求（或求證）目標Q”，方法1是將條件P1代入條件P2，方法2可將條件P2代入條件P1，方法3可將目標Q以待定的形式進行假設，代入P1，P2，這就是待定法.不同的代入方法常會影響解題的難易程度，因此要學會分析，選擇簡易的代入法.

（作者單位：河南省正陽縣第二高級中學 463600）