如何復習“數列”

江蘇省儀征市陳集中學 陳慶有 張順軍

如何復習“數列”

江蘇省儀征市陳集中學 陳慶有 張順軍

江蘇高考對數列的概念是A級要求，了解數列、數列的項、通項公式、前n項和等概念，一般不會單獨考查。等差數列、等比數列是兩種重要且特殊的數列，要求都是C級，熟練掌握等差數列、等比數列的概念、通項公式、前n項求和公式、性質等知識，理解其推導過程，并且能夠靈活應用。新課程以來9年高考均考查一條填空題，一條解答題，考查分值20分左右。主要以考查單一性知識為主，同時在解答題中經常與不等式綜合考查，構成壓軸題。如何復習好數列，下面談幾點拙見，以供參考。

一、數列問題考查分類

等差、等比數列的概念與性質，等差、等比數列基本量和性質的考查是高考熱點，經常以小題形式出現，在等差(比)數列中，a1，d(q)，n，an，Sn五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個。解這類問題時，一般是轉化為首項a1和公差d(公比q)這兩個基本量的有關運算；求數列的通項與求和，以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項公式，考查用等差、等比數列知識分析問題和探究創新的能力，通過分組、錯位相減等轉化為等差或等比數列的求和問題，考查等差、等比數列求和公式及轉化與化歸思想的應用；數列與函數、不等式的聯系，數列與函數、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力；數列的猜想與證明問題，以數表、數陣、圖形為背景與數列、周期性等知識相結合考查歸納推理和猜想能力；數列應用題一般是等比、等差數列問題，其中，等比數列涉及的范圍比較廣，如經濟上涉及利潤、成本、效益的增減，解決該類題的關鍵是建立一個數列模型{an}，利用該數列的通項公式、遞推公式或前n項和公式。

二、數列問題常見錯誤分析

概念不清致錯：例如已知2，a，b，c，4成等比數列，求b。b是2與4的等比中項，但當時，a2=2b=-4不可能，此時2，a，b，c，4不成等比數列，所以b=2；忽視等比數列中“q=1”的討論致錯：例如等比數列{an}的首項a1與公比q都是正數，它的前n項和Sn=80，前2n項和Sn=6560，數列前2n項中最大項為54，求a1與q。用等比數列的前n項和公式應討論q=1與q≠1；忽視特殊情況n=1的討論致錯：例如已知數列{an}的前n項和Sn=aqn（a≠0，q≠1，q為非零常數），則數列{an}為什么數列？容易忽略了an=Sn-Sn-1中隱含條件n≥2，應先討論n=1；不理解“Sn”符號中“n”的含義致錯：例如已知一個等差數列{an}的通項公式an=25-5n，求數列{|an|}的前n項和Sn，易誤把n≤5誤解為n=5，當n≥6時，沒理解好“Sn”表示“前n項和”。

在解數列問題時，只要我們深刻理解數列的概念，認真審題，思維嚴謹、周密，就會不犯錯誤或少犯錯誤。如果出現解題錯誤，只要我們弄清錯題的原因，并不斷總結，就會提高正確率。

三、數列復習方法總結

求數列的通項通常有兩種題型：一是根據所給的一列數，通過觀察分析求通項；二是根據遞推關系式求通項。數列的遞推關系是相鄰項之間的關系，高考對遞推關系的考查不多，填空題中出現復雜遞推關系時，可以用不完全歸納法研究；數列中的不等式問題是高考的難點熱點問題，對不等式的證明有比較法、放縮法，放縮通常有化歸等比數列和可裂項的形式；數列是特殊的函數，而函數又是高中數學的一條主線，所以數列這一部分是容易命制多個知識點交融的題，這應是命題的一個方向。

等差、等比數列性質很多，在高考中以等差中項和等比中項的考查為主，在應用時，要注意等式兩邊的項的序號之間的關系。在運用函數判斷數列的單調性時，要注意函數的自變量應為連續的，數列的自變量應為不連續的，所以函數性質不能夠完全等同于數列的性質；有些數列會出現前后幾項的大小不一，從某一項開始才符合遞增或遞減的特征，這時前幾項中每一項都必須研究；由一個數列構造生成的新數列，再判斷其是否是等差或等比數列時，如果已經有通項公式，則可以直接由通項公式的特征判斷，如果只有遞推關系，則需要用定義來證明；數列中恒等關系和有解問題主要是建立關于數列中基本量或相關參數的方程，再進一步論證該方程是否有整數解問題，其中對方程的研究是關鍵，一般可從奇偶數、約數、有理數、無理數等方面論證，也可以先利用參數范圍，代入相關的整數研究；數列中的子數列或衍生數列問題，需要弄清楚該項在原數列中的特征和在新數列中的特征，代入時要注意分辨清楚。

在解答題中主要是轉化為等差、等比數列的基本量來求解。數列求和問題，主要考查利用公式法求數列的前n項和，再論證和的性質，故不過多涉及求和的技巧以及項的變形。數列中an或Sn的最值問題與函數處理方法類似，首先研究數列an或Sn的特征，再進一步判斷數列的單調性，從而得到最值。要注意的細節是n只能取正整數。數列中大小比較與不等式中大小比較方法類似，同類型的多項式比較可以作差、作商或用基本不等式，不同類型的比較一般要構造函數來解決。數列中的參數取值范圍問題在處理時，首選還是參數分離，分離后根據新數列的單調性確定最值或范圍。

四、數列復習建議

在進行數列復習時，建議可以具體從以下幾個方面著手：運用基本量思想(方程思想)解決有關問題；注意等差、等比數列的性質的靈活運用；注意等差、等比數列的前n項和的特征在解題中的應用；注意深刻理解等差數列與等比數列的定義及其等價形式；根據遞推公式，通過尋找規律，運用歸納思想，寫出數列中的某一項或通項，主要需注意從等差、等比、周期等方面進行歸納；掌握數列通項an與前n項和Sn之間的關系；根據遞推關系，運用化歸思想，將其轉化為常見數列；掌握一些數列求和的方法：(1)分解成特殊數列的和；(2)裂項求和；(3)“錯位相減”法求和；（4）倒序相加法；（5）公式法。以等差、等比數列的基本問題為主，突出數列與函數、數列與方程、數列與不等式、數列與幾何等的綜合應用。