數學問題中的思維能力培養

湖北省武漢市新洲區潘塘中學 陶興和

數學問題中的思維能力培養

湖北省武漢市新洲區潘塘中學 陶興和

數學問題解決是指面臨一個具有新意的數學問題，企圖尋找有關概念、規律、方法等去解決這問題，從而達到目標的一種心理活動。數學問題的解決是一種創造性的腦力活動，需要各種心理活動的參與，但其中最重要的是思維。在數學教學中，通過對數學問題的解決可以達到使學生主動地從事實踐，觀察、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發展思維；學會學習，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力。本文介紹在數學問題解決中，如何培養學生的思維能力。

一、遵循解決數學問題的思維過程

思維在問題解決過程中起著關鍵的作用，只有遵循解決數學問題的一般思維過程，并能在每個階段靈活有效地進行思維，才能順利解決數學問題，發展思維能力。關于問題解決的過程，按現代教學論和心理學認為，數學問題解決是在數學思維與方法指導下，有目的地運用數學基礎知識和基本技能分析與解決數學問題的過程。在總結國內外研究的基礎上，針對數學學科的特點和中學生的年齡特征，提出了審題、轉換、實施、檢驗、反思五階段構想。

1.審題

審題就是理解題意，我們所面臨的數學問題本身就是“怎樣解這道題”的信息源，只不過題目中的積極暗示往往通過語言文字、公式符號以及它們之間的關系間接地告訴了我們。因此，開始研究題意時，應逐字逐句地思考問題敘述中每一個詞（每一個符號、術語）的意義，仔細做出直觀的圖形、表格或式子，使之直觀化、具體化，清晰地羅列出問題中的各個元素，弄清楚其中哪些元素是給定的已知條件，哪些是所求的未知結論，條件與結論間和哪些知識有關。盡力找出題中的重要元素，在圖上用直觀的符號標出已知元素和未知元素，做到了以上各項，就意味著你對整個問題的情景有了清晰的、明確的和具體的印象和理解。如果在此基礎上，我們可以確定解題的策略，那么只需將此決策付諸實施。如若不行，則需要嘗試著進一步全面、深刻地理解題意，比如在所作圖形、表格或式子中試著去改變題目中各元素的位置，并就此考慮能否對問題的敘述做不同的理解，由此再看題中的條件是否多余、互相矛盾，是否還缺少什么條件，這樣做有可能發現題目中很重要的內容。

2.轉換

轉換就是在審題的基礎上，思索已知與未知之間的轉化，這就需要善于運用聯想、類比、模擬和歸納分析綜合手段，把問題轉化為較熟悉的或簡單的問題，從而確定解題的策略。一般地說，在對問題有了完整的印象和理解的基礎上，我們可以從已知條件或未知結論的任何一方入手，架起溝通已知與未知之間聯系的橋梁，從而使問題得到解決。如果由未知的結論，容易想到某一個具有相同或相似結論，且早已解決的熟悉問題，就從結論入手，執果索因，找到通向己知條件的大道。如果從已知條件中可以推導出一些有用的東西，從中可以發現最接近結論的熟悉的解題方法，就直接從條件入手，將這些條件分解成一連串的子問題，依次解決這些子問題就可以構成原問題的解。如果上述辦法行不通，就從整體上考慮問題。如果能與一個類似的有關的熟悉問題聯系起來，就可以構造并解決類似的問題，從中找到解決原題的途徑，如若不然，可以適當地簡化問題的條件，考慮問題的特殊情形。通過特殊化問題的解決猜想出一般化問題的結論，再加以證明，從而使問題得到解決。或者將題目的條件或結論擴大到更容易入手的一般性問題，通過解的問題，從中找到解決原題的途徑。如若不然，可以適當地簡化問題的條件，考慮問題的特殊情形，通過特殊化問題的解決猜想出一般化問題的結論，再加以證明，從而使問題得到解決；或者將題目的條件或結論擴大到更容易入手的一般性問題，通過解決一般化問題的方法、技巧或結果，順利地解出原題。如果原問題實在難解，設法同時改變條件和結論，或者將條件與結論換個說法。

3.實施

實施是在找到解題方法以后把它付諸實施，也就是展開解題思路、構思解題步驟，實施具體的運算、推理的過程，是解決數學問題的中心環節，是訓練有條理地思考問題、表達想法的有效途徑。解題過程要規范，要做到正確、合理、完滿、清楚及簡捷。

4.檢驗

檢驗就是對整個解題過程加以檢査驗證。可采用“以粗為主、粗細結合”的方法來檢驗。“粗”指的是檢查題意是否誤解，已知數據、圖形是否出錯，條件是否全部用上，是否符合解題要求，解題過程是否合理，步驟是否完整，結果是否科學，即從整體上粗略檢查題解。“細”指的是檢查解題過程中的每一步推理是否合乎邏輯，每一步計算是否準確無誤，所用到的數學知識是否準確。此外，還可以根據題目自身的特點，變換角度檢驗，如用圖形檢驗、選點檢驗、取特殊值或特例檢驗、對比檢驗等。即通過不同的途徑、方法來核對結論的正確性，培養學生的辯證思維能力。

5.反思

反思就是對已完成的解題過程進行反思，是提高分析問題和解決問題的重要途徑，也是提高學生思維能力的有效手段。反思包括對解題過程一步步地進行檢查驗算，回顧解題策略，分析能否從不同角度、不向思路去解題。這樣，可以有效地訓練學生思維的深刻性、靈活性、批判性和獨創性，培養學生的思維能力和分析問題、解決問題的能力。

中學生解決數學問題的思維過程中的四個階段不是孤立的，而是相互聯系、相互作用、相互影響的，且每個階段都是在與主體的認知結構的相互作用中進行的。在數學問題解決過程中，要讓學生掌握思維的常規，并靈活、有效地進行思維，提高他們的思維能力、分析問題和解決問題的能力。

二、訓練解決數學問題的思維策略

數學的解題思維策略，從哲學的觀點來說是指主體在解答數學題時，宏觀上采取的方針、原則；從心理學觀點來說是指選擇、組合、改變或操作背景命題的一系列規則，以便填補問題的固有空隙；用方法論觀點來說，解題策略是最高層次的解題方法，是解題中帶有普遍意義的思想方法；從本質上來說，解題的策略是變換的，是未知向已知的轉換。下面介紹七種常用的思維策略。

1.化歸原則

化歸原則是指把一個我們面臨的新的陌生問題，通過恰當變換轉化為我們已經解決的熟悉問題。化歸原則是對解題有指導意義的重要原則，它在解題過程中有著廣泛的應用，比如把實際問題轉化為數學問題，未知轉化為已知，立體幾何題轉化為平面幾何題，高次轉化為低次，多元轉化為一元，超越運算轉化為代數運算，等等。化歸原則是解題的一個基本策略，數學中常用的消元法、換元法、參數法、構造法等解題方法，實質上都是這一策略的具體應用。

2.簡單原則

簡單原則是指設法將復雜繁難的問題轉化為結構簡單、易于解答的問題，本質上體現了解題中“進”與“退”的辯證思想。當“進”有困難時，不妨退下來，退到使我們能認識問題的地方先徹底搞清楚了，然后再前進。應用簡單原則多可將結構復雜的綜合題分解成若干個相依的簡單子問題，依次解決這些子問題（可得原問題的解，簡單原則是化歸原則的補充和發揮）。在解題過程中這兩種策略常常結合在一起進行，而僅是著眼點不同。

3.直觀原則

直觀原則是指將一個形式或內容比較抽象的數學問題，通過恰當聯想和猜想，轉化為相應的形象直觀、生動具體的問題，借助事物的形象直觀來揭示問題的本質屬性，找到原問題的解題思路。運用直觀原則解題，最關鍵的是要對題設條件做深入的分析，洞察其中的幾何特征，由此構造出相應的圖形，運用圖形直觀求得原問題的解。

4.化同原則

化同原則是將我們面臨的數學問題中條件與結論的差異矛盾，通過變換使兩者逐漸靠攏，清除差異，化異為同，使兩者達到矛盾的統一。應用化同原則的關鍵是要找到條件與結論的結合點，從而確定了同化的方向，最終實現矛盾的統一。

5.有序原則

有序原則是指當我們所面臨的數學問題中含有多個元素時，可以把它們按一定的順序排列，再依次進行變換，從中發現解題的規律，使問題得到解決。應用有序原則的解題策略，關鍵是將元素按一定規則依次排列，循序漸進地解決問題。

6.整體原則

整體原則是指當我們面臨的是一個從局部特征入手難以奏效或推理冗繁的問題時，要適時調整視角，將需要解決的問題看作一個整體，通過對問題的整體結構分析和改造，揭示整體與局部的內在聯系，找到解決問題的途徑和方法。運用整體原則這一解題策略，把微觀上的局部分析與宏觀上的整體控制辯證地統一起來，有助于拓寬視野，沖破局部細節的束縛，看清問題本質，獲取簡捷、巧妙的解法。

7.逆反原則

逆反原則是指用一分為二的觀點看待我們所面臨的問題，如果從問題的一個方面來思考而難以成功時，就從與之對立的另一方面來考慮問題，最終達到解決問題的目的，應用逆反原則的解題策略，常常從問題的一般性與特殊性、復雜性與簡單性、相等與不等、已知與未知、直接與間接等對立的兩個方面來思考問題，尋求解題的途徑。

不難看出，以上各種策略，在解決問題時，是相互滲透、相互聯系、相互補充的。為了更好地發揮策略的指導作用，須要悉心體察各種策略的基本思想與實施途徑中所用的數學方法與技巧的有機結合，應用于解題的實踐，并在實踐中不斷總結，提煉新的策略思想，不斷構建新的認知結構，不斷提高分析問題和解決問題的思維能力。