構造解析幾何法求函數的最值

楊彩蘋

【摘要】求函數的最大值與最小值方法靈活多樣，有配方法、換元法、方程法，還可以利用函數的單調性等。不僅如此，還可以換個角度，從數學知識間相互聯系出發，談如何運用解析幾何的知識與方法，來進行數與形的轉換，正所謂的代數思想幾何化，供助于圖形的直觀來探求函數的最值。

【關鍵詞】解析幾何 函數 最值

【中圖分類號】0182 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0163-02

一、利用斜率公式求函數的最值

例1：若x∈- ，0 0， 求函數f（x）= 的最大值

分析：此題常利用三角換元求解。然而仔細觀察表達式的結構特征，也可以考慮把它與斜率公式聯系起來，根據斜率的變化范圍直觀地確定函數的最值

解：令2y= 則x +y = （y≥0）

（如圖所示），而 =

其中， 表示坐標平面上點P（x，y）與點c0， 連線的斜率，由于點P（x，y）在半圓上，由圖分析可知kPC≥kBC≥-1，即kPC的最小值為-1.

∴函數f（x）max=2

例2：求函數y= 的最值

分析：由y= = 知y=kPA，

其中A（-1，0），px，

且點P在半圓y= （0≤x≤2）上，

由圖可知：ymin=0，ymax=

小結：一般地，若函數可化為y= 或y= 等形式，且x= y= ？圯f（x，y）=0或x= y=g（x）？圯f（x，y）=0它們在坐標平面內表示圖形均是我們所熟悉的簡單曲線，此時可心考慮利用直線的斜率公式幾何意義來求最值。

二、利用兩點間距離公式求函數的最值

例3.求函數y= + 的最小值

分析：此函數表達式的結構較為復雜，且化簡十分困難，又其單調區間和單調性不甚明確，求解最值有些困難，然而，仔細觀察表達式的結構，可以發現兩個根式內均可以配成完全平方式的形式。由此聯想解析幾何中的兩點間距離公式：

幾何意義是點P（x，0）分別到A（2，3）與B（5，1）的距離之和。（如圖所示）