用定積分求立體體積的一些教學思路

陳丹丹

摘 要 通過分析，在教學中可以將用定積分求旋轉體和平行截面為已知的立體的體積時都歸納為平行截面為已知的立體，使得知識點更加系統化、條理化。

關鍵詞 定積分求體積 教學思路

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

用定積分求旋轉體和平行截面為已知的立體的體積是高等數學教學的一個難點和重點，課本上是分成兩部分來展開的，一是給出旋轉體的體積計算方法；二是給出平行截面為已知的立體的體積計算方法，這樣使得學生也分成兩類記憶和分析，知識點形式上的增多會使得學生在遇到求體積的題目時無從下手。將用定積分求旋轉體和平行截面為已知的立體的體積時都歸納為平行截面為已知的立體，會使得知識點更加系統化、條理化。

1常用的《高等數學》課本上這部分知識體系的教學思路

（1）求由連續曲線y=f（x）、直線x=a、x=b、及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體V1的體積。

用元素法分析選取x為積分變量，在區間[a，b]上任意選取小區間[x，x+dx]，那么這一小區間上的窄曲邊梯形繞軸旋轉一周的薄片體積的近似值也即體積元素為：

dV1=€%i[f（x）]2dx

那么所求體積為：

V1=€%i[f（x）]2dx

類似得到由連續曲線x=€%o（y）、直線y=c、y=d及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周所成的旋轉體V2的體積：

V2=€%i[€%o（y）]2dx

（2）一立體是在軸上的點x=a，x=b且垂直于x軸的兩個平面之間，且過點垂直于軸的截面的面積為A（x），A（x）在區間[a，b]上連續，求此立體V3的體積。

用元素分析法選取為積分變量，在區間[a，b]上任意選取小區間[x，x+dx]，那么這一小區間上體積的近似值也即體積元素為：

dV3=A（x）dx

那么所求體積為：

V3=A（x）dx

這種知識體系結構是分成兩種類型的立體：旋轉體和平行截面為已知的立體，然后分別利用定積分的元素法把兩種類型立體體積計算方法給了出來，實際上抓住這兩種類型的立體的特點可以把這兩種立體歸納成一種類型的立體，然后再結合元素法求出立體的體積。

2新的教學思路

首先要給學生講解清楚這樣的思路：正如（2）中所描述的立體，如果垂直于某個軸的截面是已知的，再結合元素法，就可以用定積分把這個立體的體積表示出來，從這個角度出發再用元素法求出立體的體積，分析（1），（2）中的立體都是平行截面為知的立體：（1）中的旋轉體是過區間[a，b]里的點x垂直于x軸的截面A（x）是已知的，且有：

A（x）=€%if2（x）

旋轉體V2是過區間[c，d]里的點y垂直于y軸的截面A（y）是已知的，且有：

A（y）=€%i€%o2（y）

例1 求由曲線y=，直線y=2以及x=0所圍圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體的體積。

解 V是由曲線x=y2，直線y=2及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周所得的立體，過點y垂直于y軸的截面的面積為A（y），且

A（y）=€%i（y2）2

那么體積元素為dV=A（y）dy

則：V€%i（y2）2dy=€%i

3結論

先從平行截面面積出發這個思路去求立體的體積，把平行截面的面積求出來再利用元素法把體積求出來，那么在遇到求立體的體積的題目時，學生在思路上就會有一個大方向，然后再用元素法得出體積的定積分表示，進而求出體積值。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學（第三版）[M].同濟大學出版社，2014.