在數學課教學中發展學生的思維能力

韓黎明　劉君

發展學生的思維能力，始終是數學教研中一個極端重要的課題。研究它，既要有大量的教學實踐，也要以教育心理學這門科學為依據。為此，教師要在實際教學的基礎上，用教育心理學所闡述的科學原理，弄清“思維能力”的實質、意義，它的發生，發展和條件以達到自覺地采取措施，在實際教學中促進學生思維能力的發展。

一、思維的實質和意義

心理學指出：“思維是人腦對現實的概括的反映”。就是說，人們利用已有的感知材料，在頭腦中進行分析、綜合、抽象、概括，從而對事物的本質和內在規律達到一定的理解，并由此進行推理和解決。整個數學教學過程中所要求的思維水平（抽象程度、概括程度）隨著教材內容的加深，越來越高。并表現出“數學”這門科學的高度抽象性。

二、教材的直觀和概括

如何發展學生的思維能力？——不能離開教材的研究。

課堂教學的一項主要任務是讓學生高效率地掌握人類已有的知識。顯然，這種學習過程和數學家探索新知識的過程是不盡相同的。這種不相同首先表現在時間上，數學家為了生產新知識，為了認識某一客觀法則所需要的時間，和學生在教師、教材的指導下掌握前人經驗所花費的時間是無法相比的。

為了從思維發展趨勢上與前人經驗相一致，我們必須研究教材的直觀與教材的概括這兩個認識環節。

（一）教材的直觀內容

前面已說過，思維的實質在于概括，而概括必需有被概括的材料，否則思維不能發生和發展。因此，教師備課鉆研教材時，首先要重視研究教材的直觀內容。

從認識過程來說，直觀是在事物的作用下，學生頭腦中形成感性知識的過程。盡管直觀只能形成感性知識，但它是思維的起點，是由感性認識轉化到理性認識的開端。缺乏這個起點和開端，學生的學習就往往停留在空洞的概念和法則上。

語言直觀有許多優點，它不受時間、地點和設備的限制，是數學教師廣泛采用的直觀方法。但是，這種通過語言讓學生在頭腦中恢復和建立起來的事物形象，不管是記憶表象或想象表象，它所反映的現實的完整性、穩定性、鮮明性以及正確性等方面，經常不如知覺。

（二）教材的概括

概括是指由感性知識的改造到理性知識的形成的過程。是更正確、更完全地反映事物，從而把學生的認識引向深入的過程。這是數學教材的主要任務，也是我們鉆研教材的一個重點。對此，我認為宜注意以下幾點：

1.區分本質特征與共有特征

學生在概括過程中常將一類事物所共有的特征與本質特征相混淆，以致把共有特征當作本質特征。

一般地講，教材只能正面地對一類事物進行概括，而要求學生能真實地掌握其本質特征，又必須再從反面甚至從側面去研究它才行。以周期函數為例，教材總是從三角函數出發，概括出周期函數的本質特征是存在一個不為0的常數T，使得對定義域內的任意數下列等式x成立：

■

而教材往往就不從反面去研究它們。例如，另外一些函數，如■，■等是不是周期函數？為什么？為了讓學生真正地掌握函數的周期性，有時還要求我們能從側面去研究它。通過正面、反面和側面的研究，學生對周期函數這個概念的理解就必然深刻無疑了。

2.概括水平要不斷地提高

一般地講，要隨著學生年齡的增長和教材內容的深入，逐步提高學生的概括水平——教會學生從感性的概括（自發的、低級的）到掌握理性的概括（高級的）?！耙灰粚笔且粋€看來容易，而理解困難的問題，在單值對應的基礎上，我曾列舉若干“一一對應”的實例（概括材料）。讓學生自行概括。結果就有人把這種對應概括為：如果集A到集B是單值對應。反之，集B到集A也是單值對應，那么就說從集A到集B構成一一對應”。在此基礎上再系統的引進函數，基本初等函數，復合函數的概念，從而概括出初等函數的概念。并且運用以上概念逐步掌握分析函數構成的技能、技巧，為后續的學習奠定基礎。

三、選擇合適的教學方法

如何發展學生的思維能力？——不僅與教材的鉆研有關，與教法的選擇也有關。

（一）用啟發式，不用注入式

啟發式的特點是能不斷地激發學生的思維，或者說，能不斷地激發學生的學習興趣、學習要求（求知欲）與集中學生的注意力，為學生的智力活動創造條件。而注入式則相反。

啟發式在我國是由孔子首創的，他總結出八個字“不憤不啟，不悱不發”。憤——因為不滿足，想前進，悱——想說又不知道怎么說。這種“憤”和“悱”的境地很重要。教師上課就要創造條件，使學生經常處于“憤”和“悱”的境地。

（二）學生力所能及的事，引導學生自己去做

教師講課，關鍵的是把基本原理和方法交給學生（鑰匙交給學生），然后，可以試試讓學生自己去用（去開鎖），這對發展學生的思維能力，特別是探索問題的創新思維是十分有利。

舉例來說，講過函數的奇偶性以后，教師總要提出一些具體的函數讓學生檢驗它們的奇偶性。我認為，這還不夠。教師還要進一步為學生創造出一個適合學生自己去尋求知識的意境，使學生經常處于“憤”和“悱”的境地。

（三）培養學生良好的思維品質

要發展學生的思維能力，除了要善于給他們提出許多困難而又力所能及的問題，啟發他們用原有知識技能去分析和解決各種問題以外，還要在這個過程中重視培養學生思維的嚴密性、合理性、靈活性、創造性（包括獨立性）與認真思考等良好習慣和品質。

1.思維要嚴密，要準確，要合乎邏輯

這是學好數學的關鍵之一，它是由數學這門學科本身的特點決定的。學生思維不嚴密常?？梢栽谒麄兓卮饐栴}時發現。如，把“方程無解”說成“方程不能解”，或者說成“方程錯了，題目錯了”。這種不嚴密當然也表現出掌握知識中的缺陷。因此，那怕是細微之處，也要學生說出道理，不能養成“想當然”的習慣，要養成嚴謹的、實事求是的良好思維品質。

2.靈活性

思維的靈活性常表現在舉一反三，觸類旁通上（即廣泛遷移）。這種能力的培養與教師平時講課有關——要把基本知識講“活”，要把問題的來龍去脈講清楚，最忌囫圇吞棗。

3.創造性

最后衡量學生思維水平的是思維的創造性，教材上常用的數學方法是演繹法，我認為只這樣做是不夠的，教師還要經常采用一些歸納法與類比法，這對培養學生思維的創造性是必要的，數學家們當時研究一個數學問題時的思維過程往往先是歸納、類比、而后才是演繹，而這種真實的思維過程在寫書時（特別是寫教材時）總是被抽掉了。

此外，教學要民主，這也是發展學生思維能力的一個條件，限于篇幅，不再贅述。