淺析導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

吳宗德

【摘 要】 導(dǎo)數(shù)在高中新課標(biāo)中的下移，對高中函數(shù)的諸多問題的解決帶了福音，如可以用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)中的最值問題，單調(diào)問題，不等式問題，還可以與解析幾何相聯(lián)系。因此，在中學(xué)教學(xué)過程中，對導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)也就成了教學(xué)的重中之重，也是高考的必考點。

【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用；函數(shù)；中心對稱圖形；切線；旋轉(zhuǎn)

【中圖分類號】G633.22 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）07-0-01

導(dǎo)數(shù)在高中新課標(biāo)中的下放，對高中函數(shù)的諸多問題的解決帶來了福音，如：可以用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)中的最值問題，單調(diào)問題，不等式問題，還可以與解析幾何想聯(lián)系。因此，在中學(xué)教學(xué)過程中，對導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)也就成了教學(xué)過程中的重中之重，也是高考的必考點。而本文則以導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的其中的一個方面（解決簡單函數(shù)圖形的中心對稱問題）來說明導(dǎo)數(shù)的妙處。

一、情境場景

在新課標(biāo)的教學(xué)過程中，一個偶爾的機會遇到這樣一題：

已知函數(shù)其中為常數(shù)。

證明：函數(shù)的圖形為中心對稱圖形。

而遇到這道題的時候，剛好我們教學(xué)內(nèi)容也進行到導(dǎo)數(shù)這一章，于是我的第一反應(yīng)這道題應(yīng)該與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容有關(guān)（因為函數(shù)的最高次數(shù)已經(jīng)是3次了），可具體的相關(guān)情況感覺是一頭霧水。于是靜坐下來對此題進行了細心的分析，終于功夫不負有心人總算有所收獲，特此和大家一起來分享。

二、分析探討

首先我們從函數(shù)的形式上來分析：

第一、最高次數(shù)是三次，超出了我們高中階段對于一般函數(shù)圖形畫法掌握的要求，即使如此選擇多項式的合并提取等想關(guān)內(nèi)容也無法將高次變成低次的相關(guān)我們熟悉的形式，所以直接從三次圖形上或多項式的變形處理上來選擇明顯不合適。

第二、本函數(shù)表達式中出現(xiàn)了參數(shù)，從而這道題不在是一個單一某個函數(shù)的問題，而是指這一類函數(shù)的情況，具有通性。也因為參數(shù)的出現(xiàn)，急需一種通法解決更是合適的決定，要不以后同類問題上還是會留下后遺癥。

第三、我們從函數(shù)所要解決的問題情況來看：不是解決常規(guī)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性的問題，而是函數(shù)圖形的中心對稱問題。

那么分析到這個時候問題就出現(xiàn)了：為什么在一個高次函數(shù)問題中（而且是含參數(shù)的函數(shù)）設(shè)計一個中心對稱圖形的問題呢？做為一個高中階段的學(xué)生或教師自然會想到——導(dǎo)數(shù)。那么如何解決這個問題呢？我們還要注意這道題中所包含了那些內(nèi)容呢？

三、內(nèi)容分析

我們知道中心對稱圖形是指如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，這個圖形是中心對稱圖形。該點稱為對稱中心.而在新課標(biāo)下來說，只對于簡單函數(shù)畫法做必須掌握的要求外，其它相對較復(fù)雜函數(shù)的圖形根本不做要求。也因為如此，這個外加參數(shù)的函數(shù)圖形就更沒辦法去處理了。

而在高中教學(xué)過程中對處理這種簡單高次形式的問題，只能借助于導(dǎo)數(shù)去解決。

我們知道若函數(shù)圖形關(guān)于點對稱，由函數(shù)的中心對稱原理可得，在與處的切線必平行（關(guān)于對稱點旋轉(zhuǎn)后圖形必重合）

那么，對于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)來說，要是的圖形中心對稱，則只需函數(shù)關(guān)于軸對稱即可。

四、解決問題

通過上面的分析可得，要證明這個命題，則只需證明，存在使得成立即可，那么現(xiàn)在這個問題很容易解決了：

解：因為為一個一元二次函數(shù)，以為對稱軸的軸對稱函數(shù)，

所以滿足：，即存在。

那么函數(shù)必為中心對稱函數(shù)，

且以為對稱中心。

舉例：求以為對稱中心時函數(shù)中的的值_____。

解決辦法也是如此：

因為，所以對稱軸，則

到此為止，這個問題就便得到完整解決了，不難從中發(fā)現(xiàn)解決此類型的問題的關(guān)鍵是保證導(dǎo)函數(shù)為一個軸對稱函數(shù)即可。

細細品來，我感謝導(dǎo)數(shù)。如不是導(dǎo)數(shù)的存在，要想解決這個問題可不知要費多大的工夫，我也慶幸我自己因為遇到這一道題而使我認真去思考解決這類問題，從而為我在今后的教學(xué)工作中多了一個問題解決的方法，多了一份自信。

這也恰恰是導(dǎo)數(shù)魅力之所在。