關于矩陣乘法運算的教學探討

[摘 要] 通過解決實際問題引入矩陣乘法，利用反例引導學生進行對比和總結，再從幾何直觀的角度對矩陣乘法及其運算律做出解釋，激發學生的學習興趣，促進學生對矩陣乘法的理解，優化課堂教學效果。

[關 鍵 詞] 矩陣乘法；課堂教學；幾何直觀

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）01-0072-02

線性代數是高等院校工科專業的一門主要的數學基礎課程。矩陣是線性代數重要的基本工具之一，也是線性代數研究的主要對象之一。很多科學研究與工程應用中的數學問題在某個階段都涉及矩陣，最終都要歸結為矩陣計算問題。其中矩陣乘法是矩陣計算及理論中的基本內容，但是由于乘法運算的煩瑣性和理論的抽象性妨礙了學生對這部分內容學習的積極性。本文通過一個實際問題引入矩陣乘法的定義，并引導學生進行總結對比，然后從幾何角度對矩陣乘法及其運算性質作出解釋，融入直觀教學，促進學生抽象思維與形象思維的協調發展，幫助學生理解和掌握矩陣乘法的抽象理論。

一、矩陣乘法運算的引入

在矩陣的運算中，加法和數乘運算相應的轉化為矩陣的對應元素的加法和數乘運算，這樣比較直觀，學生易于接受，便于掌握。但是矩陣乘法運算沒有順應“直覺”定義為對應元素相乘，它不同于數的乘法運算，有許多特殊的性質，初學者接受起來有一定的困難，需要一定的過程。矩陣乘法運算較為煩瑣，但并非“空穴來風”。下面我們通過一個實際問題引出矩陣乘法的定義。

例1.設甲、乙兩位同學的高等數學課程的平時、期中、期末成績在表1中給出，總評成績有兩種評定方法如表2所示。現確定兩種評定方法下這兩位同學的高等數學課程的總評成績。

解：我們用矩陣的方法來研究這個問題。這兩個表格可分別用矩陣表示如下：

A=90 70 8060 80 90，B=30% 20%30% 30%40% 50%，

利用評定方法一計算甲、乙的總評成績如下：

甲：90×30%+70×30%+80×40%=80

乙：60×30%+80×30%+90×40%=78

類似的方法可以算出在評定方法二下甲、乙的總評成績。

把結果用矩陣表示如下：

C=80 7978 81

引導學生進行總結，發現規律，得出結論：矩陣C中的元素Cij是矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列元素對應相乘再相加的結果，從而引入矩陣乘法C=AB的定義。并且注意到左矩陣A的列數必須等于右矩陣B的行數時A與B才能相乘，積矩陣C的行數等于左矩陣A的行數，C的列數等于右矩陣B的列數。

在課堂教學實踐中，通過創設學生易于感知和接受的情境，引導學生解決實際問題，再引入相關概念，能夠把抽象問題具體化、生活化，對促進學生理解矩陣乘法起到了一定的作用，并且消除了直接引入定義的突兀性，調動了學生學習的積極性和主動性。

二、關于矩陣乘法的幾何解釋

英國數學家凱萊（Arthur Cayley，1821～1895）一般被公認為是矩陣論的創立者，同研究線性變換下的不變量相結合，他首先引進矩陣以簡化線性變換的記號。接著在1858年發表的第一篇矩陣文章《矩陣論的研究報告》（A memoir on the theory of matrices）中，凱萊引進了矩陣的基本概念和運算，給出了矩陣乘法的定義，并著重強調，矩陣乘法是可結合的，但一般不滿足交換律和消去律。

下面我們以二階矩陣為例利用線性變換的概念給出矩陣乘法運算的幾何意義，并由此更深入地認識矩陣乘法的運算性質。

例2.（1）已知A=1 00 2，B=0 -11 0，計算AB及BA，并比較結果是否相同。

（2）已知A=1 00 0，B=-1 00 1，C=-1 00 -1，計算AB及AC，并比較結果是否相同。

解：根據矩陣乘法定義，經計算可得：

（1）AB=0 -12 0，BA=0 -21 0，顯然AB≠BA。

（2）AB=-1 00 0，AC=-1 00 0，顯然AB=AC，但B≠C。

結果表明，矩陣乘法一般不滿足交換律和消去律。

下面我們從幾何變換的角度對結果進行分析。兩個矩陣的乘積所表示的變換是原來兩個矩陣表示的變換的復合。對于平面坐標系xOy上由二階單位矩陣的列向量所張成的第一象限內的正方形，（1）中AB表示對其先逆時針旋轉90°（變換矩陣為B），再向遠離x軸的方向伸長一倍（變換矩陣為A）得到的結果（如圖1所示）；BA表示對其先向遠離x軸的方向伸長一倍（變換矩陣為A），再逆時針旋轉90°（變換矩陣為B）得到的結果（如圖2所示），顯然，變換順序不同，所得的結果也不同。因此，矩陣乘法一般不滿足交換律。但需要注意的是，有些情形下矩陣的乘法可以滿足交換律，例如連續兩次旋轉或連續兩次伸縮變換是可以交換順序的。

（2）中結果AB=AC但B≠C表明：把一個圖形先作關于y軸的反射變換，再向x軸作投影變換的結果與先作關于坐標原點的對稱變換，再向x軸作投影變換得到的結果是一樣的。因此，可以得出矩陣乘法一般不滿足消去律。

三、結束語

在教學過程中，針對問題創設情境，引導學生在解決問題的過程中進行總結對比，能夠提高學生學習的積極性和主動性，激發學習動機，促進學生對矩陣乘法的理解。另外，通過對幾何圖形進行直觀分析，能夠挖掘矩陣乘法的幾何背景和意義，為抽象思維提供形象模型，優化教學效果。

參考文獻：

[1]任廣千，謝聰，胡翠芳.線性代數的幾何意義[M].西安電子科技大學出版社，2015-07.

[2]王海俠，孫和軍.幾何直觀在特征值問題中的應用[J].高等數學研究，2014，17（1）：105-108.

[3]王亞軍，張艷.優化課堂教學 培養創新能力[J].科技創新導報，2014（25）：171.

[4]章曉.線性代數與解析幾何結合教學探析[J].山東師范大學學報（自然科學版），2008，23（3）：132-133.