數學建模在數學分析課程中的引入及案例設計

[摘 要] 首先概述數學建模在數學分析課程中引入的必要性；然后提出了一個具體的方案流程；最后以導數的應用為教學內容，給出了引入相應的數學建模進行教學的案例設計。

[關 鍵 詞] 數學分析；數學建模；案例設計

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）01-0164-02

一、在數學分析課程中引入數學建模的必要性

隨著網絡越來越普及，人們每天所接觸的信息也越來越多，也因此變得越來越浮躁和功利。這在大學生中尤為突出。面對枯燥無味的理論知識學習，他們經常會沉不住氣，靜不下心。許多學生會問：“費這么大的勁學微積分有什么用？難道逛街買衣服需要先求導或者先積分？”此外，數學類課程的內容一般都比較抽象，理論性很強，比較難理解掌握。正因為如此，有部分學生會由于覺得“數學無用”而放松；還有部分學生會由于學習遇到困難或者課程枯燥無味而倦怠。這就造成了數學類課程的一個普遍存在的困境：教師講得精彩萬分，學生學得一臉茫然。然而，數學分析作為數學專業最為重要的核心基礎課程之一，旨在講授關于連續變量的運算體系和嚴密的理論知識，引導學生習得一系列精妙的運算方法和嚴密的推理技巧，讓學生得到充分的思維鍛煉，為后續的課程學習打下良好的基礎。因此，必須保證數學分析課程的教學質量。現有的不少研究表明，通過在教學中引入和利用數學建模，可以很好地解決前面所述的在數學類課程教學中存在的問題。特別地，在引入數學模型、重現模型的構造過程中，既能體現數學在實際中的應用，又能激發學生的學習興趣，進而提高教學質量。因此，非常有必要在數學分析課程中引入數學建模。

二、在數學分析課程中引入數學建模的過程

如何在數學分析課程中引入數學建模呢？通過實踐，筆者總結了以下行之有效的引入和應用過程：

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數學建模的引入和應用過程示意圖

（一）明確教學目標

數學分析課程偏重于理論分析和證明，最主要的教學目標是訓練和提高學生的邏輯思維能力。同時，為了適應當前教學的需要，有必要對傳統教學內容和方法進行適當合理的調整。因此，教師必須緊緊圍繞教學大綱，提煉出可以設計引入數學建模的教學內容，并確定具體的教學目標，以保證整個教學的有序進行。

（二）了解知識背景

數學建模既是簡單的，又是復雜的。說它簡單，是因為我們經常自覺不自覺地做這個事情。例如，通過列方程求解相遇問題等等。說它復雜，是因為在處理更復雜的實際問題時，需要更多的專業知識。因此，在選取相關素材和建立模型前，一定要充分了解掌握學生的專業知識水平，以確定可選取的范圍。

（三）選取建模素材

同一個教學內容，可以選取的素材可能會有多個。教師應該從中選取學生熟悉度高，貼近生活和實際，建模過程相對容易實現，可重復性較強的素材。

（四）設計數學模型

確定了素材，就可以開始設計相應的數學模型。教師在設計數學模型的過程中，要非常熟悉建模的主要思想、關鍵環節，應同時考慮如何在教學中引導學生思考，參與整個建模的過程，并制定可行的教學計劃。

（五）建立數學模型

實際上，這是在教學中，引導學生參與數學模型建立的過程，即教學實施階段，是最為關鍵的一個環節。整個教學過程，可以由教師獨立演示完成，師生互動合作完成或者教師講解引導，學生自主完成。但無論是采用哪種教學方式，都應該著重引導學生參與其中思考或實踐操作，以確保真正達到教學目標。

（六）評估教學質量

這包括兩部分：其一是安排模型評價的環節，通過與學生一起梳理模型的建立過程，評價模型的優缺點，探討如何改進優化等，提高學生應用理論知識解決實際問題的能力，增強學生對數學的認同感。此外，通過評價模型，還可以讓學生學會如何簡化問題進行求解，從中發現全面考慮問題的重要性。其二是教學反思。通過與學生交流等方式，反思本次教學存在的不足之處，然后從選擇建模素材出發，對不足之處加以修改完善。

（七）總結可行案例

通過前面的步驟，反復修正，最終總結出可行的案例，進行推廣實施。

三、在數學分析課程中引入數學建模的案例設計

在我校，數學分析課程僅面向數學系信息與計算科學專業學生開設。文章最后以導數的應用為教學內容，給出一個案例設計。

第一步，明確教學目的。根據教學大綱要求，本節的教學內容是介紹導數的應用，教學目標是通過教學讓學生學習掌握微元法的思想，了解導數在實際中的應用。傳統的教學內容主要包括介紹導數在幾何和物理中的應用。針對信息與計算科學專業學生的特點，可以保留幾何應用部分，而用其他實例替代物理應用部分的教學內容。

第二步，了解知識背景。信息與計算科學專業的學生畢業后主要從事與計算機、金融有關的工作，需要比較扎實的數學基礎，同時對計算機、統計分析類的知識比較感興趣。建模素材應該盡可能與計算機或者金融相關。

第三步，選取建模素材。考慮到學生的專業知識背景以及學生了解計算機行業發展趨勢的需求，確定以“利用導數的意義，建立微分方程，描述我國計算機產業發展趨勢”為主題，進行建模。

第四步，設計數學模型。收集充分的數據，并參考馬爾薩斯人口增長模型，得到一個描述我國計算機產業發展過程的數學模型。制訂教學計劃時，選取了師生互動合作完成的教學方法，并確定其他具體的實施環節。

第五步，建立數學模型。首先，回顧導數的定義和本質，簡介微元法的思想方法，強調導數的本質就是“變化率”，這也是應用導數解決相關問題的切入點。接著，提出如何描述我國計算機產業發展過程的問題。然后，根據事先收集的數據，引導學生發現其中的變化規律，提煉出“變化率”，再讓學生嘗試獨立建立模型。最后，介紹馬爾薩斯人口增長模型，建立一個描述我國計算機產業發展過程的數學模型。

第六步，評估教學質量。教師回顧整個模型建立的過程，并進行數據分析驗證，突出強調利用計算機進行數據統計分析的數學思路方法及其優點。與學生探討所得到的模型的優缺點，例如，在哪些方面與實際情況比較吻合，考慮的因素是否全面等等。如果教學進展順利，剩余時間充足，就適當加入改進模型的討論。否則，在最后總結一下，完成整個教學。課程教學完成后，總結教學的成敗經驗，修改完善教學方案。

第七步，總結可行案例。通過多次的教學實踐和修改完善，即可總結出可行的案例。這些案例，特別是經驗，可以應用于其他數學類課程，特別是高等數學的教學實踐中。

參考文獻：

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