抽象函數的幾類常見問題及解題方法

抽象函數是沒有具體的解析式，只給出它的一些特征、性質或一些特殊關系式的函數。因而顯得特別抽象。所以解決抽象函數問題需要從函數的本質出發，考慮其定義，性質，加之解決抽象函數問題時常用的技巧——賦值法，換元法等，盡可能使抽象函數變得不再抽象。這類問題既能全面地考查學生對函數概念和性質的理解以及代數推理和論證能力，又能綜合考查學生對數學符號語言的理解和接受能力. 對于發展學生的思維能力.尤其是抽象思維能力，滲透數學思想方法，起著非常重要的作用，所以備受各地模考、高考的青睞.因此有必要對抽象函數的解題方法和技巧進行歸納總結。以下是我歸納的常見的三類問題及其解法。

1.有關定義域問題

函數的定義域指自變量的取值范圍。所以對抽象函數，而言，其定義域均指的是的取值范圍。對于和，其中和的地位是等價的，故取值范圍是一樣的。

例 1. 函數 y= 的定義域為（ 一∞， 1] ，則函數 y=f [ 1 og 】 的定義域是 ————。

解析 ： 因為1 og相 當于 f （ x ） 中的 X， 所以1 og≤ 1， 得

例2.若的定義域為，則的定義域為 ___

解：由已知，的定義域為，根據例1的求法可求得：的定義域為，

的定義域為，從而的定義域為，即為。

2.有關求值問題

該類問題通常利用函數周期性：根據已知條件求該函數的周期，利用周期及另外一點處的函數值可快速求值。

例3.設定義在R上 的函數f（x）滿足f（x）f（x+2） = 13，若 f（1）=2，則f（ 99） 等于（ ）

A.13 B.2 C D.

解：由于f（x）f（x+2）= 13，得f（x+2）=，將x換成x+2得f（x+4）=f（x），

即函數f（x）的周期為4.因此f（99）=f（-1）==，從而選C。

例4 .R上的奇函數y=f（x）有反函數y=f-1（x），由y=f（x+1）與y=f-1（x+2）互為反函數，則f（2009）=.

解析：由于求的是f（2009），可由y=f-1（x+2）求其反函數y=f（x）-2，所以f（x+1）= f（x）-2，又f（0）=0，通過遞推可得f（2009）=-4918.

3.與單調性、奇偶性、周期性、對稱性有關的問題

該類問題通常是判斷或證明函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性，采用方法一般是定義法：由定義出發，根據已知條件給出的結論適當賦值或者進行變換得出想要的結論。

例5.已知偶函數在單調遞增，.若，則的取值范圍是_______

解：

例6.設函數f’（x）是奇函數的導函數，f（-1）=0，當，則使得成立的x的取值范圍是

（A） （B）

（C） （D）

【解析】記函數，則，因為當時，，故當時，，所以在單調遞減；又因為函數是奇函數，故函數是偶函數，所以在單調遞增，且.當時，，則；當時，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A.

例7. 已知函數滿足，若函數與圖像的交點為，，…，，則（）

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

【解析】由得關于對稱，

而也關于對稱，∴對于每一組對稱點，

∴，故選B.

（作者單位：福建省龍海程溪中學）