分類討論思想在高中數學教學中的應用

所謂的分類討論思想是指根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想，是數學學習中的一種重要數學思想。所以，在高中數學教學中，教師要從思想上認識到滲透數學思想對高效課堂的實現，對學生的發展所起到的作用，以為學生解題能力的提高做出相應的貢獻。本文以分類討論思想在高中數學教學中的應用為例對學生綜合能力的培養做好基礎性工作。

分類討論思想是高中數學教學中常用的一種數學思想，是提高學生解題能力的重要思想，而且，該思想也逐漸成為了近年來高考中的熱點。因此，為了提高學生的應試能力，也為了讓學生在掌握數學思想中掌握數學的精髓，本文對分類討論思想在函數、概率、數列、解析幾何等教學中的應用為例，對如何滲透分類討論思想，如何提高高中數學的學習效率進行論述。

1、分類討論思想的應用價值

分類討論思想是指根據某一種屬性將數學對象劃分為不同種類進行思考和討論，那么，該思想的應用價值具體體現在哪些方面呢？

第一，分類討論思想的應用能夠克服思維的片面性。通常情況下，很多學生在思考問題時，常常會因為思維的影響在一種情況得出答案的時候就宣告該題已經解答完畢，結果一道題只能得到一半的分值。而分類討論思想的滲透則能防止學生出現這種情況，能夠培養學生思維的全面性，提高學生的解題能力。

第二，分類討論思想的滲透能夠提高學生的探究能力。數學作為一門科學性學科，有效探究能力的提高不僅能夠推動數學學科的發展，而且，對學生能力的提高都有著密切的聯系。所以，在實際教學過程中，我們可以通過分類討論思想的滲透來引導學生從多角度進行分類思考，一來能夠提高學生的數學學習質量，二來能夠發散學生的思維，使學生在自主分類中掌握基本的數學知識，同時，也能大幅度提高學生的數學學習質量。

綜上可以看出，有效的滲透分類思想是一個重要的數學方法，是培養學生全面思維的有效思想之一。所以，在高中數學教學中，我們要充分發揮這一思想的應用價值，并有意識的指導學生將其應用到各部分的教學之中，以大幅度提高學生的學習效率。

2、分類討論思想在函數教學中的應用

函數是貫穿于整個數學學習的一項內容，而分類討論思想在其中的應用價值也是不可磨滅的。一般那種情況下需要我們應用分類討論思想呢？

例如：求函數y=logax（a>0且a≠1）的單調性。

這是一道基礎性的函數題，之所以還是有學生丟分主要原因就是忘記分類，直接根據主觀認識來進行求解，導致一些學生只考慮了01的現象，最終導致答案根本不完整。

又如：已知f（x）=-x2+4ax-3a2（0

分析該題，我們可以先根據題意畫出一個相關的草圖，并在圖中設定[a+1，a+2]區分范圍，之后，對二次函數坐標軸的位置進行分類討論，即對x=2a的位置進行分類討論。

綜上兩道練習題我們可以看出，分類思想與函數知識的結合是我們常見的題型，也屬于基礎型試題，如果學生不能有效的應用分類思想勢必會容易丟分，會影響考試的成績。

3、分類討論思想在概率教學中的應用

概率是高中數學教學中的主要內容，而且，很多情況都需要進行分類討論，比如：“至少”“至多”“含”“不含”等詞語的問題大部分是需要進行分類討論的。所以，在學習概率類的相關問題時，我們要有意識的滲透分類討論思想，引導學生在問題思考和交流中形成分類意識，進而，逐步提高學生的數學學習能力。

例如：甲袋中有1只白球、2只紅球、3只黑球；乙袋中有2只白球、3只紅球、1只黑球。現從兩袋中各取一球，求兩球顏色相同的概率。

這是一道等可能事件的概率題，也是應用分類討論的典型性試題。所以，我們需要將該題分成三種情況進行思考，即：

情況一：兩球都是白球。1/6 × 2/6=1/16

情況二：兩球都是紅球。2/6×3/6=1/6

情況三：兩球都是黑球。3/6×1/6=1/12

綜合這三種情況，我們可以求出兩球顏色相同的概率是1/16+1/6+1/12=11/36。

又如：投擲一枚均勻的硬幣4次，求出現正面的次數多于反面次數的概率。

在這一道題的分析中，我們需要對下面的幾種情況進行分析，即：

情況一：正面為4次，反面為0次。

情況二：正面為3次，反面為1次。

情況三：正面為2次，反面為2次。

情況四：正面為1次，反面為3次。

情況五：正面為0次，反面為4次。

綜合題意我們可以看出，只有情況一和情況二是滿足正面次數多于反面次數的，所以，在解題時，我們需要對這兩種情況進行分類討論。

綜上這兩種情況可以看出，在概率教學中滲透分類討論思想是非常有必要的，是直接影響數學解題效率的主要因素。所以，在概率教學時，教師要盡可能的教會學生如何思考和分析問題，這樣才能有效的落實分類討論思想，才能逐步提高學生的概率解題能力。

4、分類討論思想在數列教學中的應用

數列中的分類討論多涉及對公差d、公比q、項數 n 的討論，特別是對項數n的討論成為近幾年高考的熱點。比如：在等比數列前n項和的推導中，我們就將q分成了q=1和q≠1兩種情況進行分析。可見，分類討論思想與數列相關練習題之間的聯系是非常緊密的。

例如：已知數列{an}滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），求{an}的通項公式。

這是一道有關數列的相關練習題，是關于對項數n進行分類的試題，即：當n=1時和當n≥2時兩種情況，以確保本題能夠活動完整的解答。

又如：已知數列{an}，a1=1，a2k=a2k-1+（-1） k，a2k+1=a2k+3k，k=1，2，3，…求：數列an的通項公式。

在該題的分類思考中，我們需要將k分為奇數和偶數進行分類討論，這樣不僅能夠發散學生的數學思維，提高學生的解題能力，同時，也能為學生應試能力的提高做出貢獻。

5、應用分類討論思想中存在的問題

綜上幾點我們可以看出，分類討論思想對培養學生全面的思維，對提高學生的數學學習能力都起著非常重要的作用。但是，在應用分類討論思想中應注意哪些問題呢？

第一，分類要有依據。任何分類討論不是學生主觀臆斷的，是有理有據的，否則，就會出現瞎分類或者是沒有必要分類的現象出現。

第二，分類不能重復。很多學生在分類中出現了重復的現象，這樣只會浪費時間，沒有效率。

第三，分類不能遺漏。以“投擲一枚均勻的硬幣4次，求出現正面的次數多于反面次數的概率”為例，分類時，很多學生常常會忘記“正面為4次，反面為0次”這種情況的存在，導致解答不完整。

6、教學啟示

數學的學習是一個提出問題，分析問題解決問題的過程，分類討論思想正體現了這么一個數學學習的過程。遇到一個實際的復雜問題，不要盲目的去做，這樣往往不能對問題進行很好的解決。首先，將遇到的復雜問題與我們已經掌握的簡單問題進行對比，提出該復雜問題不能得到解決的根本原因在什么地方。然后，對原復雜問題進行分析，根據已經掌握的知識對原復雜問題進行分解，得到簡單的子問題。為了做到問題分解不重不漏，在分解時要具有條理性。最后，對分解得到的子問題進行求解，并對求解得到的子問題的解進行歸納總結，得到原問題的解。

7、小結

分類討論是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略。總之，在應用分類思想的過程中，教師要有效的將分類討論思想與數學教學的各個方面結合在一起，以確保學生在自主分析中形成全面的數學思維。

（作者單位：福建省莆田市第十三中學）