對高中數(shù)學立體幾何解題方法的一些總結(jié)

因為空間性和邏輯性的特征，解立體幾何對學生來說相對較難，本來是中等難度的題型，學生偏偏視作了高難度，因此，需要教會學生一些解立體幾何的方法，常用的方法有數(shù)形結(jié)合方法、向量方法、割補方法，恰當應用，可以化難為易。

立體幾何研究的是形，是空間的形，超脫了學生日常的平面觀測與思維，給學生造成了不小的困擾，在學習立體幾何時，學生聽是聽明白了原理和解題方法，看著答案也能琢磨清楚解題過程，可一旦自己動手，便無所適從，逐漸形成了立體幾何恐懼癥。然而立體幾何是高中數(shù)學的一個重要板塊，不能不予以掌握，而且在高考題中，關于立體幾何的考察普遍不是高難度，這意味著立體幾何題本是可以拿分的題，不是失分題，因此，學生必須對立體幾何解題熟悉起來。本文根據(jù)日常解題經(jīng)驗，總結(jié)出一些解題的常用方法，以求對學生有所助益。

一、數(shù)形結(jié)合方法

所謂數(shù)形結(jié)合方法，是把代數(shù)中的數(shù)和幾何中的形結(jié)合起來解題，用形解數(shù)，用數(shù)解形。用于立體幾何中，主要是把形轉(zhuǎn)化為數(shù)與把數(shù)回歸到形兩個過程，通過對數(shù)進行邏輯分析和運算，解答出立體幾何問題。

例1：有一長為4cm、寬為3cm、高為2cm的長方體實心木塊，如圖1，一只小蟲在A點，食物在C’點，怎樣爬行吃到食物路程最短？

分析：有的學生乍一看此題，容易啊，兩點之間直線最短，提筆連接AC’，煞費苦心地做了輔助線AC，求出AC’的距離為=。雖然說高中立體幾何不會太難，但也不會如此容易，這些學生忽略了此題的關鍵詞“實心”，小蟲是不能從里面爬行的，只能沿著表面爬行。有的學生注意到了“實心”二字，卻在解題時想當然，最短距離應該是一條走原來的邊，一條走直線，于是求出了4+、2+、+3三段距離，在一番頗為費事的比大小之后，得出了最短距離為7，即2+。有的學生則認為取中點后的連接線是最短的，做了大量的計算與比較。這些都是不正確的，是南轅北轍之路。此題的正確思路是將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何，利用代數(shù)求解，將最短距離問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的比對。如何將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何和數(shù)呢，有兩個思路，一是在空間中尋找平面，顯然這個題不甚合適，二是將立體展成平面，此題可以也只能用這個思路。首先是將右側(cè)面展開到底面上，AC’的距離為=，AC’交CD于E；然后是將上面展開到前面，AC’的距離為=，AC’交A’D’于F；之后是將右側(cè)面展開到前面，AC’的距離為=，AC’交DD’于G。通過對、與進行比較，可以得知最小數(shù)值為，也就是說最短距離為，是將上面展開到前面的距離，這個距離遠小于任意一個錯誤答案，用事實說明了那些解題方法的不可取。據(jù)此，小蟲應該是先沿著AF爬行，再沿著FC’爬行，爬行路程最短。

解答：路徑一：AC’==cm

路徑二：AC’==cm

路徑三：AC’==cm

>> 最短距離為cm

當把A’B’C’D’展開到ADA’D’時，連接AC’，交A’D’于F，小蟲先爬行AF，再爬行FC’，路程最短。

二、向量方法

新課程改革后，高中數(shù)學教材也作了不少調(diào)整，其中最關鍵之處在強化向量與幾何的結(jié)合。以前的高中數(shù)學，向量是向量，幾何是幾何，向量顯得尤為突兀，只有一章向量的單獨模塊，看起來似乎沒有實際用處，只是為學習而學習；解幾何題時，數(shù)和形的涇渭截然分明。新課改倡導用向量解決幾何問題，不僅讓學生認知到了向量的作用，而且，用數(shù)和形的完美結(jié)合處理形體問題，降低了論證的難度，相對符合學生的認知水平。

例2：圖2的三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，已知底邊長為1cm，棱長為2cm，且BC的中點是M，如果在CC1上取一點N，使MN⊥AB1，求CN的長。

圖2

分析：如果采取一般的解法，很明顯，頭緒繁瑣，解答較難，浪費學生大量的時間和精力，也不見得解得出來。如果采取向量的方法，則容易很多，因為MN⊥AB1，那么·=0，在這個條件下，因為與都是未知的或者不是答案所需要的向量，所以，我們需要用已知向量或者是答案要求向量來表示與。根據(jù)題意得知，=+，=+，也就是說，（+）·（+）=0。到此，需要明確除之外的向量值，即、、的值。因為、與都在向量關系中，那么可以選取共B點但不共面的三個向量、、為基向量。然后根據(jù)正三棱柱這個條件中角的數(shù)值便可以用角和數(shù)表示出、、、。其中只有一個未知數(shù)，結(jié)合（+）·（+）=0便可求得答案。用向量來解這道題確實容易很多，不過關鍵點在于基向量的選擇，如果選擇不恰當，則會增加運算的難度和失誤率。比如，這個題也可以選擇不共點的向量作為基向量，但是相對來說對學生的要求有所提高。一般來說，如果能夠選擇共點的基向量，則不會選擇異點的基向量。

解答：取、、為基向量：

MN⊥AB1，·=0，

=+，=+，

（+）·（+）=0

（+）·（+）=0

·+·+·+·=0

1cos120o1+1cos90o2+||cos90o1+|| cos0o2=0

||=cm

（作者單位：甘肅省華池縣第一中學）