淺談一元二次函數(shù)的初高中銜接教學(xué)

初高中數(shù)學(xué)在難度、知識(shí)量和學(xué)習(xí)方式上都有很大差別。初中數(shù)學(xué)內(nèi)容較通俗易懂，直觀形象，對(duì)抽象思維能力要求不高。而高中數(shù)學(xué)教材較多的研究的是變量，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的抽象思維能力。因此學(xué)生進(jìn)入高中后，存在一定的學(xué)習(xí)困難。作為教師，有必要對(duì)初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)進(jìn)行研究。本文著重探討一元二次函數(shù)的初高中銜接教學(xué)。

1 加強(qiáng)二次函數(shù)初高中銜接教學(xué)的必要性

1.1二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)具有舉足輕重的地位。二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它貫穿著幾乎整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，如集合、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等都有二次函數(shù)的身影。許多數(shù)學(xué)方法，如配方法、換元法、分類討論法等都與二次函數(shù)有密切的關(guān)系。同時(shí)二次函數(shù)也是高考考查的重點(diǎn)，分析每年全國(guó)各地的高考試卷，或多或少有涉及到二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)或方法。

1.2初中二次函數(shù)內(nèi)容較少，高中更豐富。初中與二次函數(shù)相關(guān)內(nèi)容只有一元二次方程、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。而高中還要掌握十字相乘法、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次不等式等內(nèi)容。

1.3初高中對(duì)二次函數(shù)的要求上存在很大差異。初中只要求學(xué)生掌握一元二次方程的解法，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度較小，要求不高。而高中二次函數(shù)的知識(shí)分散在其它內(nèi)容之中，解題方法多變，考查方式靈活，難度增大。這使得很多學(xué)生的思維停留在初中上，給學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)造成了很大的困難。

基于以上幾個(gè)原因，教師很有必要加強(qiáng)對(duì)初高中二次函數(shù)銜接教學(xué)。

2 初高中二次函數(shù)學(xué)習(xí)的主要差異

2.1從兩個(gè)二次到三個(gè)二次的提升。根據(jù)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，二次函數(shù)這部分內(nèi)容的要求是：理解二次函數(shù)和拋物線的概念，會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像，會(huì)用配方法確定拋物線的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸，會(huì)求拋物線的解析式，理解一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系。而高中，在學(xué)習(xí)了集合之后，利用集合來(lái)定義函數(shù)，使函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、研究方法和初中比有很大的提升。增加了一元二次不等式后，由初中的二次方程和二次函數(shù)的兩個(gè)二次變?yōu)榱烁咧械亩畏匠?、二次函?shù)、二次不等式的三個(gè)二次。這三個(gè)二次互相聯(lián)系，密不可分，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容。

例1 已知關(guān)于 的不等式 的解集為 ，函數(shù) 在區(qū)間[-1，3]最大值為M，最小值為N，則M+N的值為

解：由不等式 的解集為 得， 和 是方程 的兩根，由韋達(dá)定理求得 ，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得M+N= 。此題并不難，但它把三個(gè)結(jié)合在一起，可以鞏固學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，提高思維能力。

2.2從定量到變量的轉(zhuǎn)變。初中的二次函數(shù)一般不含參數(shù)，但高中二次函數(shù)的題目往往含有參數(shù)，問(wèn)題的結(jié)果與參數(shù)的取值范圍有關(guān)，往往需要分類討論。這樣由初中的定量問(wèn)題變?yōu)榱烁咧械淖兞繂?wèn)題，知識(shí)難度加深了，解題思維復(fù)雜了，對(duì)學(xué)生的要求提高了。因此在教學(xué)中一定要做好這方面的銜接。

例2 已知函數(shù) ，分別在下列閉區(qū)間的最大值和最小值：（1）[-1，1]，（2）[3，4]，（3）[1，4]

變式1：已知函數(shù) ，討論在區(qū)間 的最小值。

變式2：已知函數(shù) ，討論在區(qū)間 的最小值。

以上三個(gè)例子是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題。通過(guò)這類例子，要讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)形成高于初中的認(rèn)識(shí)，并掌握這類題的解題方法。

2.3從顯性到隱性的過(guò)渡。初中的二次函數(shù)問(wèn)題，大多是單一的二次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，較明顯、直觀。而高中的二次函數(shù)往往更復(fù)雜，更隱性，有些問(wèn)題表面上看與二次函數(shù)無(wú)關(guān)，但都可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。

2.4從集中到分散的變化。初中有專門章節(jié)介紹二次函數(shù)知識(shí)，內(nèi)容集中。但高中并沒(méi)有專門的章節(jié)研究二次函數(shù)，而是分散在各個(gè)地方，是數(shù)學(xué)解題不可缺少的工具。比如數(shù)列中的有關(guān)最值問(wèn)題；三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題；直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題；三角函數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題等，都可以用二次函數(shù)來(lái)處理。

3高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

3.1加強(qiáng)二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的教學(xué)。二次函數(shù)是高考考查的重要知識(shí)，因此讓學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的基本知識(shí)和基本方法非常重要。二次函數(shù)的解析式、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、圖像、單調(diào)區(qū)間，與二次不等式、二次方程的關(guān)系等要讓學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。許多重要方法，如配方法、換元法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合法都與二次函數(shù)密切相關(guān)，要通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生熟練掌握。

3.2注意集中與分散相結(jié)合的原則。在必修一函數(shù)部分，或在必修五不等式部分，可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行集中的教學(xué)。也可在平時(shí)教學(xué)中穿插二次函數(shù)的知識(shí)與方法，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

3.3注重學(xué)生思維能力的提升。初中的二次函數(shù)考查難度較小、形式單一、思維簡(jiǎn)單。但高中難度較大，題型復(fù)雜，更注重抽象思維。不少學(xué)生進(jìn)入高中后，不適應(yīng)這種思維的變化，給學(xué)習(xí)帶來(lái)困難。教師要讓學(xué)生通過(guò)二次函數(shù)的再學(xué)習(xí)，對(duì)二次函數(shù)有更深入、更廣泛的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的思維能力。

綜上所述，初高中的二次函數(shù)從各個(gè)方面都發(fā)生了很大的變化。教師要根據(jù)這種變化，充分做好初高中的銜接教學(xué)，讓學(xué)生順利的學(xué)好高中的二次函數(shù)知識(shí)。

（作者單位：福建省三明市第九中學(xué)）