幾何光學中的矩陣方法

幾何光學是基于幾何學研究光學的基本方法。幾何光學，尤其是矩陣方法在研究光學系統成像時有著巨大的優勢。本文通過論述矩陣方法在幾何光學中的應用，介紹描述傍軸光線成像的光學ABCD矩陣。同時進一步將矩陣方法拓展至非傍軸光線，得到描述任意光線成像的嚴格ABCD矩陣。

在光學研究中，當光波長遠小于研究對象的尺寸時，通常會利用幾何光學方法來研究光線的傳播。幾何光學中光線的傳播遵循三個基本定律：1. 光在自由空間中沿直線獨立傳播；2. 光的折射定律；3. 光的反射定律。雖然幾何光學忽略了光的波動性，無法解釋干涉、衍射等物理現象，但是其在光學系統成像性質的研究中有著巨大的優勢。

光學系統成像的核心是光學系統變換。1840年C. Gauss建立了高斯光學，用來研究理想光學系統傍軸成像（即滿足傍軸近似的光線的成像）性質。傍軸近似下，光線與光學系統中心軸的夾角 很小，可以使用小角近似關系 ， 。在這種近似下，光學系統變換退化為線性變換，因此可以用矩陣方法來進行描述。矩陣方法最初是由R. A. Sampson引入幾何光學，用來處理幾何像差等問題錯誤！未找到引用源。。之后矩陣方法拓展至研究非傍軸成像，為非傍軸成像的研究提供了新的方法。

本文分為兩部分，第一部分著重于傍軸近似下的矩陣方法，介紹ABCD矩陣對光學系統變換的描述。第二部分拓展至包括非傍軸光線的任意光線的傳播，介紹并推導嚴格ABCD矩陣。

一 傍軸光線成像與矩陣

上述結論基于傍軸近似，研究的是理想光學系統的傍軸成像。然而實際成像系統中，非傍軸光線成像造成的影響往往是不可忽略的。非傍軸光線與傍軸光線往往不是成像于同一點，即非傍軸光線與傍軸光線成像之間存在差異，稱之為幾何像差。實際成像中，我們需要關注成像質量，即需要去衡量幾何像差的大小。這種情況下，傍軸ABCD矩陣是無法解決的。我們需要引入可以描述非傍軸光線的ABCD矩陣，即嚴格ABCD矩陣。

二 任意光線成像與嚴格ABCD矩陣

對于任意光線的成像，我們希望同樣能夠用矩陣進行描述，同時能夠保持與傍軸ABCD矩陣相似的形式。因此我們嘗試去除傍軸近似，來得到嚴格的變換關系，即嚴格ABCD矩陣錯誤！未找到引用源。。

對于共軸光學系統，光線成像依舊可以分成自由空間傳播、折射與反射三種情況。首先我們討論折射情況。從幾何學的角度，我們首先作出入射光線與折射光線所在直線。設折射點為 ，在入射光線所在的直線上作 ，在折射光線所在直線上作 ，同時作 到半徑 的垂線，如錯誤！未找到引用源。

可以看出，球面折射和自用空間傳播的嚴格ABCD矩陣與傍軸ABCD矩陣保持了形式上的一致性。特別的，當光線傳播過程中滿足傍軸近似是，嚴格ABCD矩陣（22）和（26）會退化為傍軸ABCD矩陣（11）和（6）。由于嚴格ABCD矩陣不僅僅依賴光學系統本身的幾何性質，還依賴于入射光線的光線矢量，因此我們無法通過直接的矩陣乘法得到復雜系統的嚴格ABCD矩陣。然而我們可以利用嚴格ABCD矩陣對幾何光學中光線的嚴格傳播進行模擬。

三 總結

矩陣方法是幾何光學中處理光學系統成像的基本方法。本文對當前幾何光學中常用的矩陣方法進行了介紹與總結。傳統的傍軸ABCD矩陣方法可以很好的描述高斯光學中的相關問題，放大率、拉格朗日-赫姆霍茲不變式等都可以由傍軸ABCD理論直接得出。然而由于傍軸ABCD矩陣的使用需要滿足傍軸近似，非傍軸光線成像中的幾何像差無法由傳統傍軸ABCD得出。嚴格ABCD矩陣在保持了傍軸ABCD矩陣的同時，能夠描述非傍軸光線的嚴格傳播，雖然在形式上難以進行直接的計算，然而在計算機技術蓬勃發展的今天，嚴格ABCD矩陣為計算機模擬光線的嚴格傳播提供了有效的理論基礎。綜上所述，矩陣方法是處理幾何光學中光學系統成像的有效工具。

（作者單位：西安市第一中學）