淺談集合基本運算教學

作為高中數學的入門，集合具有基礎性的作用。函數、數列、概率、邏輯關系、平面幾何、不等式等都是在集合的基礎上進行學習的，可以說，集合知識學習的優劣直接關系到學生高中數學學習的成敗。本文主要談談集合基本運算方面的教學情況。

一、學生在集合基本運算方面存在的困難

1. 難于理解并集

對于交集的概念和運算，學生掌握起來比較容易，解題正確率高，在并集概念和運算的掌握方面，卻不盡人意，頻繁出錯。

比如，有這樣一道試題A：集合M={x|x是等腰三角形}，集合N={x|x是直角三角形}，求M N與M N。關于M N，學生的正確率較高，而M N的錯誤是五花八門：①M N=直角三角形或等腰三角形，②M N= ，③M N=等邊三角形，④M N={等邊三角形}，⑤M N={x|x是三角形}，⑥M N={x|直角三角形，等腰三角形}，⑦M N={直角三角形}，⑧M N={等腰三角形}。

2. 在補集運算方面存在困難

對于簡單的補集運算，學生出錯較少，而相對復雜的補集運算，學生出錯率較高。

比如，有這樣一道例題B：集合M={x|-2

二、造成學生集合基本運算錯誤的原因

1. 分析A試題的錯誤答案，主要產生于以下幾個方面的原因

首先是數學中的并集與生活中的“或”混同，⑦和⑧就是由此產生。生活中的“或”常常是二選其一，但數學中的并集不是二選其一，是“和”、“所有”。此外，需要注意的是，“并”不一定意味著總數的增加，有子集、相等或空集的情況。

其次是對集合的表述不正確，①、③、⑥由此而生。集合有列舉和描述兩種表示法，描述法的格式為{x|x=x -2x=0}，大括號是必須的，大括號內包括三個要素，變量，豎線|，變量條件；列舉法的格式為{0，2}，是用大括號把具體的元素括起來，中間用逗號隔開，上述例題的正確解答為{直角三角形，等腰三角形}或者是{x|x是等腰三角形或x是直角三角形}。

然后是不會求并集，②，④，⑤由此而生。等腰三角形與直角三角形的并集是什么，根據“和”或“所有”的關系，可以得知是等腰三角形或直角三角形，等邊三角形是等腰三角形的一種，概念太小，三角形的概念太大，還有很多非直角也非等腰的三角形，至于 ，則更是不可能。

2. 分析B試題的錯誤答案，主要產生于以下幾個方面的原因

首先，是由于粗心忽略掉全集。補集是在全集中求得，學生常常忽略掉全集的范圍或者是自然而然代入其他全集的范圍去求補集，從而導致答案的錯誤，比如答案①和②，就是將全集R無意識替換成Z所致。

其次，是集合的表述方式錯誤。比如答案③，漏掉了變量和豎線。這可能是沒有準確掌握，在初始學習的時候就產生了障礙，也可能是粗心有所遺漏。因為集合表述方式而導致錯誤答案并不鮮見，這就要求教師在入門時一定要采取合理的方式明確講解，即使以延長課時為代價，基礎打不扎實，何以進行后面的學習。

然后，是小看等于號。比如答案①和④，④疏漏了等于關系，①則差之千里，但結果是一樣的，皆錯。很多學生或因為粗枝大葉，或因為對補集的概念認識疏漏。但別看只是一個等于關系，起的作用卻不小，忽視其導致滿盤皆輸。

最后，是因為沒有辨清數軸上的關系。比如答案⑤，錯把0-3這個區間當成了正確答案。并不是封閉的區間就一定是交集，一定要認清這個區間是不是共有部分。

三、教學集合基本運算的對策

1. 運用恰當地教學方法，闡述交集、并集、補集的概念

首先是運用實例，排除生活知識的負遷移。關于交集的概念之“且”，與生活中差別不大，所以學生掌握起來相對容易。但關于并集的概念“或”，與生活中的“或”并不相同。這個時候，教師需要運用實例，為學生講清數學語言與生活語言的區別：數學“或”是“所有”，舉個簡單的例子，M={1，2，3，}，N={4，5，6}，則M N={1，2，3，4，5，6}，而不是M N={1，2，3}或M N={4，5，6}；生活“或”是“擇其一”，比如張三當班長或者是李四當班長，是在張三或李四中間有一個人當班長。運用生活實例，可以使學生明白差別之處，避免學生將生活知識負遷移，影響學習效果。

然后是采取密集訓練法，讓學生牢記全集的存在。在上面補集的問題分析中可以看到，學生對于全集存在疏忽或者無意識替代的情況，只有通過密集訓練，不斷地變換全集求補集，才能讓學生將全集謹記于心，成為審題與做題第一步驟。舉個簡單的例子：已知M={x|-3

2. 巧妙運用圖形，進行交集、并集和補集運算

圖形具有直觀的特點，很多在頭腦里混亂不清的關系，通過圖形可以一目了然地明確答案。在集合教學中，教師要培養學生利用圖形解題的習慣，使學生善于運用數軸和韋恩圖。在這個方面，教師可以從兩處著手：

首先，在教學中，盡可能畫圖。目前很多課程實施了多媒體化，教師把很多知識點都做成課件，運用多媒體呈現出來，這減少了教師動手畫圖的時間和數量，自然也就不能對學生產生示范性的影響。數學教師在教學集合運算知識時，必須把板書重拾起來，一邊講解概念，一邊舉例，一邊畫圖，既加深學生對概念的理解，也日漸滲透學生的思想，形成學生畫圖的習慣。

其次，端正學生對繪圖的態度。很多學生認為畫圖不過是個工具，草草了事，在數軸中常常忽視端點，在韋恩圖中常常只輸入不多的元素，結果卻常常根據這草圖來得出答案，可想而知答案的錯誤率。即使圖形只是求解的工具，不在試卷的分數上體現，也需要謹慎認真，因為其價值體現在答案的正確率上。

（作者單位：云南省德宏州隴川縣第一中學）