學好集合，帶你穿越高中數學

【摘 要】集合語言是近代數學的基本語言，利用它可以簡潔準確地表述數學對象，為理解函數概念，研究函數的性質提供有力的工具。作為高中數學的起始課，教學中適當滲透數學思想和方法，加強數學思維培養，對于剛剛步入高中學生來說至關重要，良好的開端是成功的前提。從教材內容定位，結合學生學習集合暴露的問題和教學實踐，提出相應的教學策略。

【關鍵詞】集合；數學思想；數學思維；數學抽象

數學是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具，符號化、形式化是數學的顯著特點。從某種意義上來說，學習數學就是學習一種有特定含義的形式化語言，以及用這種形式化語言去表述解釋解決各種問題。集合論是數學家康托爾在19世紀末創立的，集合語言是近代數學的基本語言，利用它可以簡潔準確地表述數學對象，為理解函數概念，研究函數的性質提供有力的工具。作為高中數學的起始課，教學中適當滲透數學思想和方法，加強數學思維培養，對于剛剛步入高中學生來說至關重要，良好的開端是成功前提，所以集合章節的教學要引起我們的充分重視。現結合筆者對集合的教學體會，談談自己的理解。

一、教材內容分析

本章包含了集合的含義、表示方法和運算三個部分的內容，整體設計思路是從具體到理論，再回到具體，螺旋上升。教材通過實例，引導學生理解集合的特征，并從不同的角度學習和理解集合的表示方法。通過觀察具體的集合，從“數”和“形”兩方面使學生感受并歸納出集合與集合的關系。教材中充分利用韋恩圖和數軸等幫助學生形象地理解集合的含義與運算，體現了數形結合的思想。所以在教學中要滲透數形結合、分類討論的數學思想方法，在引導學生觀察、分析、抽象、類比得到集合與集合的關系等數學知識的過程中，培養學生的思維能力。集合的章節內容教與學，為學生提供了一個由初中數學學習向高中數學學習的過度平臺，為高中階

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段函數學習奠定了基礎，從集合和對應的角度去理解函數概念，用符號語言來表示函數和精確刻畫函數的性質，讓學生學會用數學的語言表達數學內容。

二、學生在集合學習中暴露的問題

集合內容是高一新生進入高中接觸的全新內容，符號化、形式化是它的顯著特征。集合作為一種數學語言，在后續的學習中是一種重要的工具（利用集合語言表示函數定義域值域，方程及不等式的解等等），在教學過程中引導學生使用恰當集合語言表述數學內容。理解集合含義，解決數學問題就顯得格外重要了。為了學生能夠順利的進行后續內容的學習，在教學中我們要重視學生在學習集合時出現的以下問題：數學形式化表示不規范，邏輯連接詞“或”“且”不理解導致使用不恰當，主要出現在集合的交并補運算中；對集合中元素代表的意義不理解或理解錯誤；由具體到一般的抽象表達能力欠缺，主要體現在文字語言敘述轉化為恰當的集合表示；列舉法、描述法、圖示法的有效轉化與靈活運用；利用韋恩圖或數軸解決集合子、交、并、補問題時漏洞百出，缺少數學思維的嚴密性。

三、教學中采取的有效策略

1.加深理解，規范表達

集合章節內容對于剛剛由初中步入高中的學生來說是比較陌生抽象的，并且涉及的概念較多，表達形式各有不同，在集合的表示和理解上都存在一定的困難所以在教學中要加強學生對概念的理解，規范集合的表示對集合的意義理解是初學者的難點，這也是集合子交并補運算錯誤的一個重要原因。教學中發現學生對列舉法表示的集合理解和運用表現的更好，而對描述法表示的集合理解運用則是錯誤不斷。對集合理解關鍵要抓住“代表元”這個“語法”特征，例如：

2.教材為主，以變引申，以辨激趣

集合的符號化、形式化、工具化的特征決定了它是枯燥無味的，僅局限于教材的例習題的講解會讓學生滿足于現狀，不利于思維能力的提高。以課本為主，對某個數學問題進行由淺入深的拓展變式引申激發學生火熱的思考從學生思維的“最近發展區”出發，搭建平臺，引導學生主動參與，積極辨析，激發他們學習數學的興趣（好多同學本有一顆火熱的心，但集合學完心變得冰涼）。

例如：已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+mx+n=0}且B？哿A求m，n的關系。本題講解時可由課本題目逐漸變式引申至本題：

問題1：集合A={1，2}列舉集合A的所有子集。（蘇教版必修1P91（2））

問題2：已知集合A={1，2}，B={x|mx+1=0}，B？哿A，求m的值。

問題3：已知集合A={1，2}，B={x|x2+mx+n=0}且B？哿A求m，n的關系。

讓學生觀察和比較，矯正辨析，當問題3解決了，我們要講的問題也就自然解決了，在考察集合子集關系時學生就不那么容易忽略空集了，同時也滲透了分類討論的思想。本題還可以拓展到兩個無限數集之間的子集關系求解，如：已知集合A={x|1≤x≤9}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，且B？哿A求a的取值范圍。本題可在“已知A={x|x<2}，B={x|x？哿A，求實數m的取值范圍。基礎上進行變式形成，同時講解過程注意端點是否可取的辨析，分類討論思想的滲透。在變式引申，搭建平臺時要考慮學生的實際情況，“小步子上臺階”，切勿操之過急。允許一部分同學“先富起來”，但要避開偏題怪題，對課本例習題的變式引申“適可而止”。

3.細化教學過程，讓學生領悟數學思想方法

集合章節概念比較多，數學概念本身往往蘊含某種思想方法，教學時我們要重視其發生過程的教學。應當善于引導學生通過感性的直觀背景材料或已有的知識發現規律，不過早的給出結論，應弄清抽象概括的過程，充分展示自己是怎樣去思考的，使學生領悟其中的思想方法。例如在講解子集和補集概念時，教材列舉幾組具體的集合：

（1）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2} （2）A={x|x≥1}，B={x|x≥2} （3）S=R，A={x|x≥1}，B={x|x≥1}讓學生通過元素與集合之間的關系體會集合與集合的關系。對于列舉法表示的集合可以韋恩圖來形象的表示子集和補集，對于描述法表示的無限數集可借助數軸幫助學生理解這些概念。蘇教版必修1第9頁的例題3的求解方法使學生加深了概念的理解，并會用數軸進行補集運算，學會用數形結合的方法解決問題。在補集概念之后可以讓學生通過思考：若S={1，2，5}，A=？準，則CSA=_____；CSS=____。再引導學生結合韋恩圖討論得出補集的性質，由圖形的直觀性進一步理解補集的概念，培養學生數形結合的思想。

集合章節的教學中，要讓學生領悟數形結合思想和分類討論思想，使學生在自主學習中感悟數學思想。在學法上，鼓勵學生多動腦，多動口，讓學生經歷概念的形成過程，加深對概念的理解。通過積極的參與，逐漸增強理解力，掌握數學思想方法，學會數學地思維，體驗成功的喜悅，從而提高學習數學的興趣。

【參考文獻】

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