著眼“變式”助力“探究”

【摘 要】探究式教學已經成為高中數學課堂的主導。作為課堂的引導者，教師要調動學生的積極性，引導學生通過合作獲取知識，發展數學能力，培養學生發現問題、提出問題、分析和解決問題的能力。教師要為學生創設探究學習的情境，營造探究的氛圍，并為探究的進一步發展提供技術支持，把握探究的難度和深度。變式教學能促使學生從不同的角度思考問題，營造探究的良好氛圍，促進探究式教學的有效開展，體現了數學課堂教學的本質。

【關鍵詞】高中數學；探究式教學；變式教學

數學教學中發現，很多學生在思考問題時經常受一些條條框框的束縛，思維廣度不夠，經常陷入題海之中，得不到主動發展，不利于學生數學能力的提高。在高中數學教學中，運用變式教學，引導學生思維的發展，通過不斷的“變”，讓學生在不同的背景下探求知識間的內在聯系，使學生思維的高度一步步的提升。

一、變式教學的要求

數學變式教學首先要有針對性，如在概念教學時候，可以針對概念進行變式。在習題課時針對章節內容適當滲透數學思想方法，對重要題型進行變式，達到歸類總結的作用。在復習課時進行橫向聯系，縱向比較的變式。其次，變式教學要具有適用性。要根據教材要求，以及學生的接受程度，對題目進行適當的變式，變式要具有啟發性，要講究創新，這樣有助于激發學生的數學興趣，在探究中完成變式教學。

二、變式教學要突出“概念的內涵和外延”

數學概念是發展學生數學思維的要素，數學概念具有發展性，只有正確的理解和掌握了數學概念，才能有效地解決數學問題。變式教學是促進學生迅速、準確的掌握數學概念的重要途徑。對于有些數學概念，可能需要多層次的理解，這就需要教師設置多層次的變式，為學生分層理解設置好臺階。

案例1 “函數的單調性”的概念

基本概念 一般地，設函數y=f（x）的定義域為A，區間I？哿A，若任意x1x2∈I，當x1

變式1 若存在x1x2∈I，當x1f（x2），則y=f（x）在區間I上不是單調增函數。

點評：非概念變式，有助于明確概念的外延。

變式2 函數y=f（x）在區間I上是單調增函數，若x1

點評：概念的非標準變式，加深對概念本質的認識。

變式3 函數y=f（x）在區間I上是單調增函數，若f（x1）

點評：變式2是由自變量到函數值，學生對函數值到自變量會產生自然的思考。此變式可謂是“更上一層樓”，對學生的思維能力要求較高，更可以對概念的理解產生深刻的影響。

三、變式教學要突出教材的地位

在高中教學中，教材是具有權威性和示范性的。變式教學要以經典習題為生長點，結合課本的習題，做到有源可溯，從而創造性的使用教材。特別是高三的復習課，應該充分挖掘教材中習題價值，使高三復習事半功倍。

古希臘著名數學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中給出過一個結論：到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓。

數學語言：點A，B為兩定點，動點P滿足PA=λPB，當λ=1時，動點P的軌跡為直線；當λ≠1時，動點P的軌跡為圓，并稱之為阿波羅尼斯圓。

這個結論在蘇教版的高中數學教材上并沒有提及，但是在習題中，涉及到這個圓的問題卻有很多，如果教師能夠及時給出這個結論，勢必會在教學起到良好的效果。

點評：案例2是“阿波羅尼斯圓”中最基本問題，考查了用解析法探求軌跡問題，體現了解析幾何的魅力。經過化簡可以得到軌跡方程為（x+1）2+y2=4，其軌跡是以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓。

改變案例2中的設問，可將試題設計成一道填空題。

變式4 （2013年江蘇高考）在平面直角坐標系xoy中，點A（0，3）直線l：y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心在l上。

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使得MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍。

點評：這道題目的第2問中M點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，得出M點的軌跡方程后，M點還在圓C上，這樣此問題就轉化為兩個圓有公共點的問題。

變式5 已知點A（0，1），B（1，0），C（t，0），點D是直線AC上的動點，若AD≤2BD恒成立，求最小正整數t的值。

點評：將結論中的PA=λPB這個條件改為PA≥λPB（或PA≤λPB）且λ≠1，點P的軌跡又會變為圓內或圓外的部分，和直線結合，又會考查直線與圓的位置關系。

對教材習題進行恰當的變化，讓學生在“變”與“不變”中感悟數學的本質，發現數學規律；幫助學生在復雜的題目面前，能夠迅速的抽絲剝繭，探究本質，尋找到恰當的方法。

四、變式教學要突出“思維的螺旋式發展”

變式教學的目的之一是訓練學生的數學思維，提高數學能力，這就要求變式教學要由淺入深，具有一定的螺旋上升的空間。在高一高二教學變式中要重視基礎，不能所有問題全部拋出，走出“高一學生當高三教”的誤區，這樣學生的能力就會得到不斷的提升。

基本不等式的應用在江蘇高考中屬于C級要求，是高考重點考查內容。在基本不等式的概念教學中，要強調基本不等式成立的三個條件：正、定、等。

點評：“等”這個條件是學生做題中最容易忽視的一個。此題等號取不到，需要再結合函數的單調性來解決。

這三個變式，層層遞進，螺旋上升，其本質就是對基本不等式的使用條件有完整的認識。這三個變式還考查了學生類比推理的能力，有利于學生思維能力的進一步提升。

五、變式教學要突出“生本課堂”

新課程標準提出了“生本課堂”的理念，要求課堂教學要以學生的發展為本。要實現這一目標，在課堂教學時就必須要貼近學生，從學生的“最近發展區”入手。變式教學即是如此。

點評：這道題如果利用等差數列的通項公式和求和公式代入，就會得到a1，d與A，B，進而得出A，B之間的關系。從這個角度講，這道考查的也是定義及性質的應用，屬于基礎題。但大部分同學是采取的賦值法，對取特殊值來解決，這種方法也非常好，可惜很多同學繞在方程組里，沒有找到最終的關系。

變式教學可以讓教師引導學生從“變”的現象中發現數學“不變”的本質和規律，幫助學生將所學知識融會貫通，讓學生在變化中領略數學的樂趣。總之，新課標下，教師要不斷更新觀念，做到因材施教，不斷完善和創新變式教學，幫助學生探究思維的培養，為學生學好數學打下堅實的基礎。

【參考文獻】

[1]高敏.高中數學變式教學實踐研究[D].東北師范大學，2010

[2]竇月英.高中數學探究式教學的實踐與探索[D].石家莊：河北師范大學，2008