著眼“變式”助力“探究”

【摘 要】探究式教學(xué)已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)課堂的主導(dǎo)。作為課堂的引導(dǎo)者，教師要調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合作獲取知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力。教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究學(xué)習(xí)的情境，營(yíng)造探究的氛圍，并為探究的進(jìn)一步發(fā)展提供技術(shù)支持，把握探究的難度和深度。變式教學(xué)能促使學(xué)生從不同的角度思考問(wèn)題，營(yíng)造探究的良好氛圍，促進(jìn)探究式教學(xué)的有效開(kāi)展，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；探究式教學(xué)；變式教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)經(jīng)常受一些條條框框的束縛，思維廣度不夠，經(jīng)常陷入題海之中，得不到主動(dòng)發(fā)展，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生思維的發(fā)展，通過(guò)不斷的“變”，讓學(xué)生在不同的背景下探求知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生思維的高度一步步的提升。

一、變式教學(xué)的要求

數(shù)學(xué)變式教學(xué)首先要有針對(duì)性，如在概念教學(xué)時(shí)候，可以針對(duì)概念進(jìn)行變式。在習(xí)題課時(shí)針對(duì)章節(jié)內(nèi)容適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)重要題型進(jìn)行變式，達(dá)到歸類總結(jié)的作用。在復(fù)習(xí)課時(shí)進(jìn)行橫向聯(lián)系，縱向比較的變式。其次，變式教學(xué)要具有適用性。要根據(jù)教材要求，以及學(xué)生的接受程度，對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪剑兪揭哂袉l(fā)性，要講究創(chuàng)新，這樣有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，在探究中完成變式教學(xué)。

二、變式教學(xué)要突出“概念的內(nèi)涵和外延”

數(shù)學(xué)概念是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的要素，數(shù)學(xué)概念具有發(fā)展性，只有正確的理解和掌握了數(shù)學(xué)概念，才能有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。變式教學(xué)是促進(jìn)學(xué)生迅速、準(zhǔn)確的掌握數(shù)學(xué)概念的重要途徑。對(duì)于有些數(shù)學(xué)概念，可能需要多層次的理解，這就需要教師設(shè)置多層次的變式，為學(xué)生分層理解設(shè)置好臺(tái)階。

案例1 “函數(shù)的單調(diào)性”的概念

基本概念 一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，區(qū)間I？哿A，若任意x1x2∈I，當(dāng)x1

變式1 若存在x1x2∈I，當(dāng)x1f（x2），則y=f（x）在區(qū)間I上不是單調(diào)增函數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：非概念變式，有助于明確概念的外延。

變式2 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，若x1

點(diǎn)評(píng)：概念的非標(biāo)準(zhǔn)變式，加深對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

變式3 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，若f（x1）

點(diǎn)評(píng)：變式2是由自變量到函數(shù)值，學(xué)生對(duì)函數(shù)值到自變量會(huì)產(chǎn)生自然的思考。此變式可謂是“更上一層樓”，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，更可以對(duì)概念的理解產(chǎn)生深刻的影響。

三、變式教學(xué)要突出教材的地位

在高中教學(xué)中，教材是具有權(quán)威性和示范性的。變式教學(xué)要以經(jīng)典習(xí)題為生長(zhǎng)點(diǎn)，結(jié)合課本的習(xí)題，做到有源可溯，從而創(chuàng)造性的使用教材。特別是高三的復(fù)習(xí)課，應(yīng)該充分挖掘教材中習(xí)題價(jià)值，使高三復(fù)習(xí)事半功倍。

古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書(shū)中給出過(guò)一個(gè)結(jié)論：到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言：點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB，當(dāng)λ=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng)λ≠1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，并稱之為阿波羅尼斯圓。

這個(gè)結(jié)論在蘇教版的高中數(shù)學(xué)教材上并沒(méi)有提及，但是在習(xí)題中，涉及到這個(gè)圓的問(wèn)題卻有很多，如果教師能夠及時(shí)給出這個(gè)結(jié)論，勢(shì)必會(huì)在教學(xué)起到良好的效果。

點(diǎn)評(píng)：案例2是“阿波羅尼斯圓”中最基本問(wèn)題，考查了用解析法探求軌跡問(wèn)題，體現(xiàn)了解析幾何的魅力。經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可以得到軌跡方程為（x+1）2+y2=4，其軌跡是以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓。

改變案例2中的設(shè)問(wèn)，可將試題設(shè)計(jì)成一道填空題。

變式4 （2013年江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A（0，3）直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上。

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使得MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。

點(diǎn)評(píng)：這道題目的第2問(wèn)中M點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，得出M點(diǎn)的軌跡方程后，M點(diǎn)還在圓C上，這樣此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓有公共點(diǎn)的問(wèn)題。

變式5 已知點(diǎn)A（0，1），B（1，0），C（t，0），點(diǎn)D是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若AD≤2BD恒成立，求最小正整數(shù)t的值。

點(diǎn)評(píng)：將結(jié)論中的PA=λPB這個(gè)條件改為PA≥λPB（或PA≤λPB）且λ≠1，點(diǎn)P的軌跡又會(huì)變?yōu)閳A內(nèi)或圓外的部分，和直線結(jié)合，又會(huì)考查直線與圓的位置關(guān)系。

對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兓寣W(xué)生在“變”與“不變”中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；幫助學(xué)生在復(fù)雜的題目面前，能夠迅速的抽絲剝繭，探究本質(zhì)，尋找到恰當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

四、變式教學(xué)要突出“思維的螺旋式發(fā)展”

變式教學(xué)的目的之一是訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力，這就要求變式教學(xué)要由淺入深，具有一定的螺旋上升的空間。在高一高二教學(xué)變式中要重視基礎(chǔ)，不能所有問(wèn)題全部拋出，走出“高一學(xué)生當(dāng)高三教”的誤區(qū)，這樣學(xué)生的能力就會(huì)得到不斷的提升。

基本不等式的應(yīng)用在江蘇高考中屬于C級(jí)要求，是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容。在基本不等式的概念教學(xué)中，要強(qiáng)調(diào)基本不等式成立的三個(gè)條件：正、定、等。

點(diǎn)評(píng)：“等”這個(gè)條件是學(xué)生做題中最容易忽視的一個(gè)。此題等號(hào)取不到，需要再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決。

這三個(gè)變式，層層遞進(jìn)，螺旋上升，其本質(zhì)就是對(duì)基本不等式的使用條件有完整的認(rèn)識(shí)。這三個(gè)變式還考查了學(xué)生類比推理的能力，有利于學(xué)生思維能力的進(jìn)一步提升。

五、變式教學(xué)要突出“生本課堂”

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出了“生本課堂”的理念，要求課堂教學(xué)要以學(xué)生的發(fā)展為本。要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，在課堂教學(xué)時(shí)就必須要貼近學(xué)生，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”入手。變式教學(xué)即是如此。

點(diǎn)評(píng)：這道題如果利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式代入，就會(huì)得到a1，d與A，B，進(jìn)而得出A，B之間的關(guān)系。從這個(gè)角度講，這道考查的也是定義及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。但大部分同學(xué)是采取的賦值法，對(duì)取特殊值來(lái)解決，這種方法也非常好，可惜很多同學(xué)繞在方程組里，沒(méi)有找到最終的關(guān)系。

變式教學(xué)可以讓教師引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)“不變”的本質(zhì)和規(guī)律，幫助學(xué)生將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，讓學(xué)生在變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的樂(lè)趣?？傊抡n標(biāo)下，教師要不斷更新觀念，做到因材施教，不斷完善和創(chuàng)新變式教學(xué)，幫助學(xué)生探究思維的培養(yǎng)，為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]高敏.高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)實(shí)踐研究[D].東北師范大學(xué)，2010

[2]竇月英.高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的實(shí)踐與探索[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2008