運用聯想思維構造解四面體“外接球”

【摘 要】聯想思維是人們在認識事物的過程中，根據事物之間的某種聯系，它是一種由此及彼的思維過程。聯想思維在認識活動中起著橋梁和紐帶作用，它是解答數學題的一種基本思考方法。四面體的外接球問題是近幾年高考的熱點，本文通過運用聯想思維的方法來舉例解答一些四面體的外接球問題。

【關鍵詞】聯想思維；構造法；四面體的外接球

近年來，在高考中經常出現四面體的外接球問題。此類問題注重考察學生的空間想象及化歸能力，但同學們又因缺乏較強的空間想象能力求解困難，尤其對于構造法，學生是又愛又恨，愛于其巧妙地將問題轉化為長方體外接球問題，恨在拿到題目“我為什么沒有想到呢”。為了讓學生通過聯想思維來掌握此類問題的構造解法，知其然知其所以然，進行了以下歸納：

問題2：棱長為2的正四面體外接球的表面積為_____；

一般性解法：過底面的外心，作底面垂線，在垂線上尋找球心，再利用直角三角形計算球的半徑及表面積。

拓展延伸：什么樣的四面體問題可以通過構造長方體或正方體模型來研究呢？這樣的四面體有何特殊的幾何特征呢？

若運用逆向聯想思維來思考這個問題，不難聯想到：欲借助構造法來解四面體的外接球問題，要思考什么樣的四面體4個頂點均在長方體（或正方體）頂點上，等同于思考長方體（或正方體）8個頂點中任取四個可以連出幾類四面體？按照組合方式不同畫出圖形大致分為以下四類，并歸納出各類的圖型特征，供大家參考。

類型一、三條側棱兩兩垂直

例1：三棱錐P-ABC中，為等邊三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱錐P-ABC外接球的表面積為_____；

解析：如圖3所示，由PA=PB=PC，AB=AC=BC，則△ACP？艿△BCP？艿△ABP，得知PA、PB、PC兩兩垂直，因此如圖4，棱長為2的正方體對角線即是此三棱錐的外接球直徑，求得表面積為12π。

【參考文獻】

[1]李金寶.求正四面體外接球半徑的方法[J].理科考試研究，2015年09期

[2]李晶，張國坤.探尋四面體外接球球心位置[J].上海中學數學，2014年09期