一“動(dòng)”一“靜”一“數(shù)”一“形”

【摘 要】直線與圓是解析幾何的初步，高考的常客，有關(guān)最值問(wèn)題更是考查的熱點(diǎn)，利用圓的圖形性質(zhì)數(shù)形結(jié)合可以解決。當(dāng)然，平面解析幾何的重要內(nèi)容，是讓學(xué)生從中感受運(yùn)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想”，此類(lèi)問(wèn)題中，函數(shù)和基本不等式也發(fā)揮著重要的作用。

【關(guān)鍵詞】直線與圓；動(dòng)點(diǎn)；最值；幾何問(wèn)題；代數(shù)方法

一、條條道路通羅馬，數(shù)形結(jié)合首當(dāng)家

引例：已知直線l：y=x-1，Q是圓C：（x+3）2+y2=1上任意點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線l的距離的最小值和最大值。

（圖1） （圖2）

【分析】這是求解“圓上一動(dòng)點(diǎn)到直線距離”的常見(jiàn)考題，可以得“圓心到直線的距離減半徑”即為最短距離，這一結(jié)論在解題時(shí)可直接應(yīng)用。

解：如圖1，圓心C到直線y=x-1的距離d=2 ，半徑r=1，故Q到直線的距離的最值為：dmax=2 +1，dmin=2 -1。

變式1：由直線y=x-1上一點(diǎn)向圓C：（x+3）2+y2=1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____。

【分析】求切線長(zhǎng)的值____，應(yīng)連接圓心和切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形。如圖2因?yàn)镻A2=PC2-r2，PA的大小取決于PC的大小，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PC的最小值，歸納至引例。

變式2：已知P為直線y=x-1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓C：（x+3）2+y2=1的切線PA，PB，A、B為切點(diǎn)，則當(dāng)PC=_____時(shí)，∠APB最大。

（圖3）

【分析】∠APB=2∠APC，即求∠APC的最大，在RT△PAC中利用其正弦值可轉(zhuǎn)化為求PC的最小值，歸納至引例。

變式3：已知P為直線y=x-1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓C：（x+3）2+y2=1的切線PA，PB，A、B為切點(diǎn)，則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)___。

【分析】利用S四邊形PACB=2S△PAC將求面積的最小值轉(zhuǎn)化為PA的最小值，即求切線段的最小值問(wèn)題。歸納至引例。

不同設(shè)問(wèn)方式，考查內(nèi)容都是有關(guān)圓上一動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最值問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題即可迎刃而解，數(shù)形結(jié)合，動(dòng)點(diǎn)變定點(diǎn)的轉(zhuǎn)化思想得到充分展現(xiàn)。

二、幾何代數(shù)來(lái)爭(zhēng)艷，路死誰(shuí)手真難辨

數(shù)學(xué)的美妙在于思維的延展和方法的多樣，同一個(gè)問(wèn)題不同解決方法，既可以從“數(shù)”的角度思考又可以從“形”的方面探討，下面，筆者通過(guò)一個(gè)例子的三種不同解決方法揭示幾何與代數(shù)的密不可分的關(guān)系。

例1：已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x+3）2+y2=1，試求：（1）x2+y2的取值范圍；（2） 的取值范圍；（3）x+2y的取值范圍。

方法（一）：利用所求式子的幾何意義

【分析】學(xué)生易想到所求三個(gè)式子的幾何意義，題（1）為圓上動(dòng)點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）的距離的平方，將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)問(wèn)題，即圓心到原點(diǎn)的距離的平方即可。亦可看成兩個(gè)圓的關(guān)系問(wèn)題，當(dāng)兩圓相切時(shí)有最值。題（2）轉(zhuǎn)化為圓上一動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)（-3，2）的連線斜率的取值范圍。題（3）令x+2y=Z，則y=- x+ z，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線的縱截距的取值范圍。

方法（二）：利用函參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)

【分析】本例也可以利用圓的參數(shù)方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解。

解：題（1）

令x=cosθ-3y=sinθ，則x2+y2=（cosθ-3）2+sinθ2=10-6cosθ

∵-1≤cosθ≤1 ∴4≤x2+y2≤16；

題（2）令 =k，則 =k，即sinθ-kcosθ=2。 sin（θ-φ）=2 ∴|sin（θ-φ）|=| |≤1，k≤- 或k≥ ；

題（3）x+2y=cosθ-3+2sinθ= cos（θ+φ），-1≤cos（θ+φ）≤1，∴x+2y∈[3- ，3+ ]。

方法（三）：利用二次函數(shù)與二次方程

【分析】題（1）利用圓的方程把y用x表示，將所求式子表示成關(guān)于x的二次函數(shù)求值域；題（2）（3）均可設(shè)所求式子為t，用含x，t的式子表示y，并代入圓的方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，△≥0即可。

解：題（1）∵（x+3）2+y2=1∴y2=1-（x+3）2，

∴x2+y2=x2+1-（x+3）2=-6x-8 ∵-4≤x≤-24≤x2+y2≤16

題（2）令 =t，則y=xt+3t+2代入圓的方程得

（x+3）2+（xt+3t+2）2=1

即（1+t2）x2+（6t2+4t+6）x+2lt2+12=0方程有解，∴△≥0，解得t≤- 或t≥ ；題（3）同理。

本例的解決，正應(yīng)了一句老話“條條大路通羅馬”，幾何性質(zhì)，三角函數(shù)，二次函數(shù)二次方程多種解題方法的靈活應(yīng)用，為學(xué)生提供了更多的選擇，究竟哪種方法使解題過(guò)程變得“快，狠，準(zhǔn)”，選擇權(quán)在學(xué)習(xí)者手中，事實(shí)上，無(wú)論是哪種方法都在向我們解釋幾何和代數(shù)你中有我，我中有你的密不可分的關(guān)系。

三、幾何問(wèn)題代數(shù)化，函數(shù)不等試一下

平面解析幾何的重要內(nèi)容，是讓學(xué)生感受運(yùn)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。有些問(wèn)題利用何幾何性質(zhì)無(wú)法求解，應(yīng)考慮利用代數(shù)思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題。

（下轉(zhuǎn)第27頁(yè)）

（上接第26頁(yè)）

例2：已知圓C：（x+3）2+y2=1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，則 · 的最小值為_(kāi)___。

變式：已知P直線是直線l：y=x-1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓C：（x-3）2+y2=1的切線PA，PB，A，B，是切點(diǎn)，求 · 求的最小值。

【分析】用坐標(biāo)來(lái)表示 · 是困難的，自然想到數(shù)量積的定義，如圖7令 · =| |·| |cos∠APB，若設(shè)|PA|=

|PB|=x，cos2α也可以用x表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)求解最值。

（圖7）

解：設(shè)|PA|=|PB|=x，則|PC|= ，sin∠APC= = ，∴cos∠APB=1-2sin2∠APB= ， · =| |·| |cos∠APB= ，

令t=x2，則 · = = = =（t+1）+ -3≥2 -3=2 -3（t+1）= ，t= -1，即x2= -1時(shí)等號(hào)成立 變式中，點(diǎn)P在直線y=x-1上運(yùn)動(dòng)，由引例變式1可知x≥ ，∴t+1≥8，等號(hào)取得條件不成立，可將 · =（t+1）+ -3看成關(guān)于t的函數(shù)，易知，該函數(shù)在[7，+∞）為增函數(shù)，∴當(dāng)t=7，x= 時(shí)，取得最小值為 。

本例中充分體現(xiàn)了函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想，不等式知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用，揭示了解析幾何“用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的本質(zhì)”當(dāng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)后，海闊天空，迎刃而解。

在解決與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)“數(shù)”和“形”兩方面結(jié)合考慮。“形”主要是利用圓的對(duì)稱性，切線的性質(zhì)，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)變?yōu)槎c(diǎn)。“數(shù)”即利用方程，函數(shù)，不等式等思想將幾何問(wèn)題代數(shù)化，從而解決。筆者謹(jǐn)希望通過(guò)對(duì)有圓有關(guān)的最值問(wèn)題的探究，能讓同學(xué)們對(duì)此類(lèi)問(wèn)題有更深入的理解，同時(shí)也為后續(xù)繼續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

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