極限理論的辯證思想分析

摘 要：極限理論貫穿整個微積分學，是微積分的重要內容和難點。認識極限思想是把握和理解極限理論的前提。通過極限思想與辨證哲學的緊密聯系，加強極限思想的辨證理解，有助于數學思維的培養和數學素養的提高。

關鍵詞：極限；辨證思想；對立統一

極限理論是高等數學的重要研究工具，是研究客觀事物在無限變化過程中應運而生的一種數學方法，用極限方法建立其數量關系并研究其運動結果，貫穿整個微積分學。要學好微積分，必須認識和理解極限理論，而把握極限理論的前提，首先要認識極限思想。極限思想蘊涵著豐富的辯證關系，是常量與變量、過程與結果、有限與無限、近似與精確、量變與質變以及否定與肯定的對立統一。

一、極限思想與辯證哲學的聯系

（一）極限概念是常量與變量、有限與無限的對立統一體。在辨證法中，“變”與“不變”，“有限”與“無限”是對立統一的。不變是相對的，變是絕對的；用有限認識無限，無限又是有限的發展，這兩對矛盾的統一體，即有本質的區別，又有密切的聯系。下面以數列極限概念為例進行分析：

（二）極限思想是量變與質變的對立統一。在唯物辨證法中， 任何事物都具有質和量兩個方面，都是質和量的統一體。質是指事物成為它自身并區別于其他事物的內在規定性，量是指事物存在的規模、發展程度和速度， 以及它的構成成分在空間上的排列組合等可以用數量來表示的規定性。量變和質變既有區別又有聯系，兩者之間有著辯證關系。量變是質變的基礎，質變是量變的結果。只有量的變化達到一定的度，才能不可避免地引起質變，只有質的變化才是事物根本性質的變化，量變質變規律在數學研究工作中起重要作用。例如：圓內接正多邊形，事物的質是圓的內接多邊形，量是內接多邊形的邊數，當邊數無限增加，得到的仍是圓內接正多邊形，是量變，不是質變，量變體現事物發展的連續性， 在事物量變過程中， 保持事物本身質的穩定性。但當邊數增加的無限過程中，由于量的動態變化，多邊形越來越接近圓，為質變創造條件，多邊形面積就變轉化為圓面積，促進量質轉化，達到矛盾統一。

（三）極限思想是否定與肯定的對立統一。任何事物的內部都包含著肯定與否定因素，都是肯定與否定的對立統一。單位圓和它的內接正多邊形分別是兩個事物的對立面， 內接正多邊形是事物對自身的肯定，其中也包含著否定，這種內在的否定因素是通過圓內接正多邊形邊數的改變而體現的。隨著圓內接正多邊形的邊數逐漸增加至無窮時，內接多邊形的面積轉化為該單位圓的面積， 促使該事物轉化為自己的對立面，由肯定達到自身的否定，這體現了否定與肯定的對立； 圓的內接正多邊形和圓雖是兩個對立的事物，但是二者之間有緊密的聯系，圓內接正多邊形的面積可以轉化為圓的面積， 而單位圓是通過逐步增加內接正多邊形的邊數來實現的， 從而建立了這二者的聯系，體現了否定與肯定的統一。

二、極限思想與辨證哲學的研究意義

在唯物辯證法中，客觀事物之間相互影響、相互制約和相互作用的關系無處不在，即使是性質完全不同、矛盾對立的兩個事物， 也都有其相互聯系的一面。所以，在微積分的學習過程中，不容忽視唯物辯證法普遍聯系思想的滲透。辯證思維在數學思維中的滲透和理解，其實質就是按照唯物辯證法的原則，在聯系和發展中把握認識對象，在對立統一中認識事物。通過上述分析，極限思想貫穿唯物辨證哲學的范疇，它揭示了已知與未知、近似與精確、常量與變量、有限與無限、量變與質變、肯定與否定的對立統一。

參考文獻：

[1]沈長華：《微積分概念的發展及其哲學解析》[D]；《蘭州大學碩士學位論文》

[2] 王娟：《微積分教學中哲學思想的滲透》；《數學教育學報》