破解初中幾何推理困難的多種思路

摘 要：幾何教學(xué)中十分重視邏輯推理論證能力的培養(yǎng)，然而當(dāng)前初中生的培養(yǎng)過程中存在一些錯(cuò)誤現(xiàn)象，本文指出存在的問題和成因，并提出對(duì)初中生進(jìn)行幾何邏輯推理知識(shí)培養(yǎng)的幾點(diǎn)看法。

關(guān)鍵詞：初中生； 幾何； 邏輯推理； 培養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-3315（20156）01-014-002

初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)中始終是將幾何推理證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，幾何推理題是中考必考題型，考查知識(shí)全面，綜合性強(qiáng)，它把幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來，滲透數(shù)形結(jié)合思想，重在考查分析、邏輯思維能力。其難點(diǎn)在于如何運(yùn)用眾多定義、定理尋找證明思路，因此，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”就顯得十分必要。[1]

為此，探索培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力可以從以下幾點(diǎn)入手：

第一，抓好幾何新課“節(jié)前語(yǔ)”，創(chuàng)設(shè)情境，使生硬陌生的幾何知識(shí)與生活實(shí)際聯(lián)系起來，降低學(xué)習(xí)難度。

第二，教學(xué)中創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生動(dòng)手，親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、提煉的過程，既培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力，同時(shí)引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

第三，歸納總結(jié)涉及到的公理、定理尤其是基本書寫，精心設(shè)計(jì)習(xí)題，重視幾何書寫的格式要求，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力。

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

對(duì)于初一學(xué)生來說，任何一個(gè)新知識(shí)的學(xué)習(xí)首先具有天然的新鮮感，“興趣是學(xué)習(xí)最好的老師”，在新教材的編寫中已經(jīng)出現(xiàn)了“情境創(chuàng)設(shè)”的概念，利用生活實(shí)例，創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置疑障，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)，激發(fā)學(xué)生求知欲，不失為一種調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的策略。如學(xué)習(xí)全等三角形中可以引用一道經(jīng)典例題創(chuàng)設(shè)情境：

例1：如何判斷一塊形狀為三角形的玻璃，不小心打碎后成了三塊，一塊只保留了一個(gè)角，一塊保留了兩個(gè)角，中間一塊沒有完整的角和邊，重新配時(shí)只需要帶哪一塊就可以了？

本情境的設(shè)置就是為了利用與生活聯(lián)系緊密的事例往往令學(xué)習(xí)氣氛活躍，促使學(xué)生更快的進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。

情境教學(xué)注重“情感”，又提倡“學(xué)以致用”，數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)以訓(xùn)練學(xué)生能力為手段，貫穿實(shí)踐性，把現(xiàn)在的學(xué)習(xí)和未來的應(yīng)用聯(lián)系起來，并注重學(xué)生的應(yīng)用操作和能力培養(yǎng)。

再如學(xué)習(xí)“相似三角形的應(yīng)用”時(shí)，課前可以介紹金字塔高度測(cè)量的典故。古希臘哲學(xué)家泰勒斯測(cè)量金字塔高度，在當(dāng)時(shí)科技落后的條件下是如何達(dá)到測(cè)量高度的目的呢？教師因勢(shì)利導(dǎo)引入相似三角形知識(shí)應(yīng)用的學(xué)習(xí)，學(xué)完新課后，再回過頭來思考泰勒斯的方法，學(xué)生恍然大悟。用一個(gè)持續(xù)的問題情境貫穿于整個(gè)課堂教學(xué)，激發(fā)了學(xué)生的思維，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決設(shè)計(jì)問題的意識(shí)。

二、動(dòng)手操作，通過親手的操作提高學(xué)生對(duì)幾何圖形的感性認(rèn)識(shí)

新課標(biāo)指出：幾何教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、畫圖能力、幾何語(yǔ)言及符號(hào)的轉(zhuǎn)換能力和推理能力，為今后幾何的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。而動(dòng)手操作，可以提高學(xué)生對(duì)幾何圖形的感性認(rèn)識(shí)，因此我們?cè)诮虒W(xué)中要重視培養(yǎng)學(xué)生正確作圖，并用語(yǔ)言加以表達(dá)的能力，讓學(xué)生深刻理解基本圖形。如給學(xué)生的一道數(shù)學(xué)題：

例2：如圖所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∠A=50°，求∠BDC的度數(shù)。

首先教師讓學(xué)生自己畫圖。往往圖1的情況會(huì)比較輕松得到。當(dāng)學(xué)生正在為求出答案而高興時(shí)，開始提問學(xué)生：如果把兩條內(nèi)角平分線換做三角形的兩個(gè)外角的平分線，那么它們相交而成的角的度數(shù)如何來求呢？學(xué)生再畫圖2。學(xué)生通過開拓性的多種形式開始思維活躍。此時(shí)再做提問，如果一個(gè)內(nèi)角的平分線和一個(gè)外角的平分線相交，那又是什么情況呢？于是則有了圖3。

三、訓(xùn)練幾何語(yǔ)言，培養(yǎng)邏輯推理能力

幾何語(yǔ)言和幾何概念是理解題目轉(zhuǎn)化圖形語(yǔ)言，進(jìn)而展開邏輯推理的前提。首先培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)劃分幾何命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”。一個(gè)命題中，題設(shè)就是已知條件，即被判斷的對(duì)象，結(jié)論就是由已知條件判斷出來的結(jié)果，也就是“求證”部分，在教學(xué)中，要在平時(shí)不斷的訓(xùn)練中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何命題的理解。其次，要培養(yǎng)學(xué)生將文字?jǐn)⑹龅拿}改寫成數(shù)學(xué)式子并畫出圖形的能力。主要步驟如下：先按命題題意，畫出相應(yīng)的幾何圖形，并標(biāo)注字母。然后根據(jù)命題題意，結(jié)合相應(yīng)圖形，將題設(shè)與結(jié)論用數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)式子具體化，即具體地寫出“已知”和“求證”。

例3：求證：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

已知：如圖OC是∠AOB的平分線P為OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E。

求證：PD=PE

而對(duì)于初一剛開始學(xué)習(xí)幾何的學(xué)生，教師還要注意加強(qiáng)幾何符號(hào)語(yǔ)言的培養(yǎng)與訓(xùn)練。

例4：學(xué)習(xí)證明兩直線的特殊關(guān)系中用式子表示下列語(yǔ)句：

因?yàn)椤?和∠2相等，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，所以AB和EF平行。

用幾何語(yǔ)言表示為∵∠1=∠2（已知）

∴AB//EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

學(xué)習(xí)幾何書寫的過程中，往往初學(xué)的同學(xué)對(duì)書寫一竅不通，書寫不規(guī)范。這類同學(xué)的作業(yè)往往令教師批改苦不堪言。以七上學(xué)生剛接觸角平分線及線段的中點(diǎn)為例，本節(jié)內(nèi)容是初一學(xué)生第一次系統(tǒng)接觸規(guī)范的幾何書寫，此時(shí)就應(yīng)注重學(xué)生的書寫格式。分析課堂練習(xí)及學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤情況，可以發(fā)現(xiàn)書寫不規(guī)范的主要原因是學(xué)生急于得出結(jié)論而忘記寫出這個(gè)結(jié)論的理由。經(jīng)過點(diǎn)撥，同學(xué)們都意識(shí)到原來幾何題的書寫也不難，應(yīng)充分利用題目中的條件，結(jié)合圖形，對(duì)應(yīng)地寫出結(jié)論。

此外，對(duì)于初學(xué)幾何的學(xué)生，可用填充形式來訓(xùn)練學(xué)生證題的書寫格式和邏輯推理過程，使書寫規(guī)范，推理有理有據(jù)。

例5：請(qǐng)?jiān)谙旅骖}目的證明中的括號(hào)內(nèi)，填入適當(dāng)?shù)睦碛伞?/p>

已知：如圖AD//BC，∠BAD=∠BCD

求證：AB//CD

四、整理歸納比較，夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，改進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)是一門理科課程，知識(shí)的形成有一定的規(guī)律和聯(lián)系，為了讓學(xué)生將知識(shí)學(xué)活，首先教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納比較，以使學(xué)生將其納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，為幾何邏輯推理能力的提升奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。[2]

初中教學(xué)中，教師應(yīng)經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)體系進(jìn)行梳理，幫助學(xué)生逐步完善幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)，使他們將小的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，形成體系。教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生歸納方法，例如，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL。

下面這題考查梯形、全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的知識(shí)，學(xué)生們?cè)谀X海中形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)之后，要靈活運(yùn)用。

例6：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=90°，AB=BD，在BC上截取BE，使BE=BA，過點(diǎn)B作BF⊥BC于B，交AD于點(diǎn)F.連接AE，交BD于點(diǎn)G，交BF于點(diǎn)H。

（1）已知AD=4，CD=2，求sin∠BCD的值；

（2）求證：BH+CD=BC。

五、掌握綜合法和分析法，加強(qiáng)各種題型的訓(xùn)練

在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)學(xué)生的邏輯思維訓(xùn)練貴在精煉而不在多，尤其不主張實(shí)行題海戰(zhàn)術(shù)，而是要對(duì)學(xué)生進(jìn)行“變式”訓(xùn)練。很多題目其實(shí)都可以運(yùn)用同一個(gè)公式解答，萬(wàn)變不離其宗，以考查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通的程度，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性。實(shí)踐表明，學(xué)生的反應(yīng)變通、推理熟練經(jīng)常是特定題組訓(xùn)練出來的結(jié)果。讓學(xué)生接觸到的題組的形式變換題目的條件、結(jié)論或圖形，更可以將條件和結(jié)論互換，便可以從不同側(cè)面表明問題的實(shí)質(zhì)，從而鍛煉初中生的幾何邏輯推理能力，使他們的思維靈活變通，可以適應(yīng)多種形式的變化。[3]

例7：（綜合法）已知，如圖正方形ABCD，菱形EFGP，點(diǎn)E、F、G分別在AB、AD、CD上，延長(zhǎng)DC，PH⊥DC于H。

求證：GH=AE。

初中生幾何邏輯推理能力的培養(yǎng)，絕非一蹴而就，需要教師和學(xué)生雙方共同合作努力。學(xué)生在平時(shí)應(yīng)該在教師的引導(dǎo)下，多加思考典型的例題的每一步過程，在腦海中構(gòu)建解題的思維框架，教師也應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整理比較，歸納出其中規(guī)律。在課程實(shí)施中，要關(guān)注定理、定義和性質(zhì)等結(jié)論，要為同學(xué)們提供變式訓(xùn)練，適時(shí)指導(dǎo)，這樣才能慢慢顯效，最終初中生的幾何邏輯推理能力才能得到提升。