讓數(shù)學(xué)思想之花在課堂中悄然綻放

摘 要：本文從完全平方公式的一個典型錯誤引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，然后通過類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合這三種數(shù)學(xué)思想，總結(jié)出完全平方公式。我們在教學(xué)中要認(rèn)識到它的教育價值，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，加深對數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知沖突； 類比； 轉(zhuǎn)化； 數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-3315（2016）01-018-002

蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級教材《乘法公式》第一課時完全平方公式的教學(xué)內(nèi)容旨在會推導(dǎo)完全平方公式，熟悉完全平方公式的特征，認(rèn)識完全平方公式及其幾何背景，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。在探索完全平方公式的過程中，進(jìn)一步發(fā)展符號感。在學(xué)生探究式學(xué)習(xí)過程中，進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。通過本節(jié)新授課的設(shè)計(jì)以及平時對教學(xué)設(shè)計(jì)的思考，對數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的地位和作用有了一些全新的認(rèn)識。

一、前后教學(xué)設(shè)計(jì)對比原情境創(chuàng)設(shè)和建構(gòu)活動

（一）情境創(chuàng)設(shè)

你能計(jì)算這個圖形的面積嗎？

（二）建構(gòu)活動

提問：對這個計(jì)算結(jié)果你有什么樣的認(rèn)識？

這個公式稱為完全平方公式。

提問：通過剛才的學(xué)習(xí)，你能嘗試計(jì)算（a-b）2嗎？

【分析】我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，不少同學(xué)總是會認(rèn)為（a+b）2=a2+b2。為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤呢？雖然面積法學(xué)生非常容易理解，但是（a+b）2為什么等于a2+2ab+b2，其實(shí)我們還是要回到它的本質(zhì)，也就是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式上來理解。

現(xiàn)情境創(chuàng)設(shè)和建構(gòu)活動

（一）情境創(chuàng)設(shè)

《聰明的阿凡提》

從前有一個貪心的財(cái)主，人們叫他巴依老爺。巴依老爺有兩塊地，一塊面積為a2，另一塊面積為b2，而阿凡提只有一塊地，面積為（a+b）2。有一天，巴依老爺眼珠一轉(zhuǎn)對阿凡提說：“我用我的兩塊地?fù)Q你的一塊地，可以吧？”阿凡提答應(yīng)了嗎？

【分析】簡單判斷，承上啟下。我們知道對于（a+b）2的展開學(xué)生在計(jì)算中一個容易犯的錯誤就是認(rèn)為它的結(jié)果就是a2+b2，這里設(shè)置一個懸念，同時引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突進(jìn)入主題。

（二）建構(gòu)活動

【分析】其實(shí)乘法公式的本質(zhì)就是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，所以在多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式這一課時的學(xué)習(xí)中我們增加了一點(diǎn)內(nèi)容，就是讓學(xué)生們自己歸納出（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，為后面的乘法公式的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

原思維拓展

如圖（1）是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中的虛線剪開均分成四個小塊，然后按圖（2）形狀拼成一個正方形。

（1）你認(rèn)為圖（2）中的陰影部分的正方形邊長是多少？

（2）請用兩種不同的方法求圖（2）陰影部分的面積；

（3）觀察圖（2），你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？三個代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn。

（4）根據(jù)第（3）小題中的等量關(guān)系，解決下列問題：

若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值。

【分析】原設(shè)計(jì)是想在掌握、理解了完全平方公式的基礎(chǔ)上，還要學(xué)會靈活自如的運(yùn)用公式來解題，并再次鞏固本節(jié)課中一個重要的解題方法——面積法。但對于本節(jié)課中的思想方法沒有很好的突出。

【分析】通過前面完全平方公式的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合這三種數(shù)學(xué)思想都有所體現(xiàn)。所以修改后的思維拓展，我們就想再次突出這三種思想，前后呼應(yīng)。

二、教學(xué)反思

1.從探究方式上認(rèn)識公式

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)打破了我們常規(guī)的設(shè)計(jì)思路，即首先求一個邊長為a+b的正方形的面積，從整體看面積為（a+b）2，從部分看面積為a2+2ab+b2，由此得到和的完全平方公式。

2.從數(shù)學(xué)本質(zhì)上認(rèn)識公式

由于時間的關(guān)系，本節(jié)課上只給予了（a+b）2=a2+2ab+b2的圖形解釋，而（a-b）2=a2-2ab+b2的圖形解釋只能留做課后作業(yè)，有些遺憾。差的完全平方公式提出，主要是體現(xiàn)了一個轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把 （a-b）2轉(zhuǎn)化為[a+（-b）]2。

3.從思維拓展上認(rèn)識公式

本節(jié)課的思維拓展主要是起前后呼應(yīng)的作用，它可以讓前面所有提到的數(shù)學(xué)思想都在此題中得到運(yùn)用，而且也交給學(xué)生一種研究問題的經(jīng)驗(yàn)和方法。但是由于前面教學(xué)時間安排不夠緊湊，導(dǎo)致這一環(huán)節(jié)的時間非常緊張，學(xué)生的自主探索時間少了一些。

總之，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著不可估量的作用，因此，我們在教學(xué)中要認(rèn)識到它的教育價值，將它貫穿在教學(xué)設(shè)計(jì)的全過程中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，就是加深對數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識。