一次函數(shù)常見題型歸納

【摘要】求一次函數(shù)的解析式是函數(shù)部分的重點和難點，并且考查題型多樣。本文主要歸納一些常見的題型，并總結出相應的解題方法和技巧，提高學生們解決問題的能力。

【關鍵詞】函數(shù);解析式;教學

一次函數(shù)在初中數(shù)學中占極大的比重，也是中考重點考查的內容.作為一種常見題型，如果能夠把它的各種形式歸納出來，對學生的學習將起到提綱挈領的作用，能使學生在學習過程中舉一反三，觸類旁通。

一、概念解析型

沒在一個變化過程中有兩個變量，x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應.那么就說是x自變量，y是x的函數(shù).這一類型的題目比較基礎，只要記住了一次函數(shù)的定義，基本上知道該如何解題。

例1已知函數(shù)y=（m-3）x+6是一次函數(shù)，求其解析式。

解題思路：在函數(shù)關系式中，白變量的取值首先是使函數(shù)式有意義，其次還要滿足實際需要.當白變量確定后，函數(shù)有唯一的值與它對應，這個值稱為函數(shù)值.因此，要得出解析式。就必須先滿足一次函數(shù)的定義要求.利用定義求一次函數(shù)y= kx+h解析式時.同時要保證k≠0.如本例中應保證m-4≠0

解：由一次函數(shù)的定義知：解得

故一次函數(shù)的解析式為y=-6x+6

反思：本例是在學生完成一次函數(shù)概念學習以后，練習的一道典型的例題。教學中學生能夠注意到“一次”的問題，但往往會忽略“函數(shù)”的問題，只有把“一次”跟“函數(shù)”結合起來才能夠正確解答。通過這道概念類型題目的練習，學生在今后學習二次函數(shù)，反比例函數(shù)等問題，我想學生都能夠很容易觸類旁通了，同時對函數(shù)的概念也會有更深層次的理解。

二、圖像坐標型

這類題就是給出直線經(jīng)過的某坐標，以其坐標信息為依據(jù)來求常數(shù)，完成解析式.

例2把直線y=-3x+l向上平移5個單位得到的圖像解析式為

解題思路：這種題型可以有兩種解題思路.首先可由圖形平行，先解出常數(shù)k的值，然后算出截距b=6.

另一種思路是解出常數(shù)k之后，作出圖形，再上移五個單位，得到坐標（0，6）.

解：設函數(shù)解析式為y= kx+h

∵直線y=-3x+l向上平移5個單位得到的

直線y=kx+b與直線y=-3x+l平行

∴k=-3

直線y=kx+b在y軸上的截距為b=6，故圖像解析式為y= -3x+6.

反思：本例題是針對學生在剛剛接觸函數(shù)圖像平移設置的練習，教學中我發(fā)現(xiàn)讓學習親白動手去畫一畫，并且用直尺代替直線實際體會一下平移，本例是向上平移，我們可以讓學生動手嘗試一下向下平移。因為是初次接觸直線的平移，我們不一定讓學生立馬能夠掌握平移的規(guī)律，但是讓學生體會到平移對系數(shù)的改變這一點很重要。

三、數(shù)據(jù)列表型

通過列表，給出一系列數(shù)據(jù)，然后要求解出一次函數(shù)，滿足這一系列數(shù)據(jù)。

已知豆子的總價y（元）與所售豆子的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關系如下圖所示，求解析式。 x（千克）0 0.5 1 1.5 2 v（元） 0 1 2 3 4 解題思路：根據(jù)數(shù)據(jù)，先假設一個一次函數(shù)y =kx+b，再代入上表中任意兩組數(shù)據(jù)，求出常數(shù)k和b 。

解：假設函數(shù)解析式為：y=kx+h，由題意可得k=2;b=0。故得到解析式為：y=2x

反思：從題目的表格可以看到x是均勻變化的，y也是隨著x的變化而均勻變化的，這就可以判斷兩個量之間之間存在一次函數(shù)的關系，而求解析式的方法同樣是運用兩組對應的值進行代人求解。

四、實際應用型

這一類題型與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系.數(shù)據(jù)較多，但是更容易激發(fā)學生的學習興趣.

例4、某公司計劃投入一筆資金采購一批商品.調查發(fā)現(xiàn)，如果月初出售，可獲利15%，并可用本和利再投資其他商品，到月末又可獲利10%：如果月末出售可獲利30%。但要付出存儲費用700元.請問根據(jù)商場的資金狀況。如何購銷獲利較多？

解：設商場投資x元，在月初出售.到月末可獲利元.在月末出售，可獲利y元.則有：

=15%x+10%（1+15%）x=0.265x

v =30% x-700=0.3x-700

（1）若=y，0.265x=0.3x-700， x=20000，

（2）若20000，

（3）若gt;y，0.265xgt;0.3x-700， xlt;20000，

所以當投資20000元時獲利相同;大于20000時月末出售獲利較多;小于20000元時月初出售獲利較多。

反思：實際問題與一次函數(shù)是教學中的一個難點，也是中考題目中經(jīng)常考察的內容。我認為這種類型的問題可以從以下幾方面考慮：

1.弄清題意，搞清楚題目中各個變量之間的關系，建立合適的函數(shù)模型。

2.用一次函數(shù)解決實際問題時候最好利用數(shù)形結合，利用圖像幫助分析問題。

3.在作圖和解題時還要注意實際問題中變量的取值范圍。

4.在利用函數(shù)圖像分析問題的時候，圖像的“交點”往往是打開問題的突破口。

一次函數(shù)應用類型題是歷年中考的高頻題，難度中等，綜合考查一次函數(shù)的相關知識，解決這類問題一定要熟練掌握一次函數(shù)的相關知識，準確理解表格或圖象的信息，并充分結合題目所給信息是解決問題的關鍵。（除本例外還可參考人教版教科書數(shù)學八年級下第97頁例3）

五、答案開放型

這一類題型要求學生注意答案不只一個，所以不能因為求得一個解析式就停止思考，而應該把條件想全面，最終得到完整的答案。

例5已知直線y=kx-4與兩坐標軸所圍成的三角形面積等于4，則直線解析式為

解題思路：這一類題型最需要注意的是常數(shù)可k要加上絕對值符合，因為直線與兩條坐標軸相交的方式有四種，所以要排除不可能相交的方式.充分考慮可能相交的各種方式.最終可發(fā)現(xiàn)常數(shù)k有兩種可能性.

解：易求得直線與x軸交點為（，0），所以4=，所以，即k=

故直線解析式為y=2x-4或y=-2x-4

這一類題型稍加變化，又回到了第二類圖像坐標型了.比如后面再加一個限定性條件：直線經(jīng)過（2，0）.則答案就只能是y =2x-4了。

反思：開放型題目，一定要求學生要多角度的考慮問題，除了對基礎知識的理解和掌握，還要具備一定的知識變通能力。這類題目同時也是中考考察學生能力經(jīng)常出現(xiàn)的題目。

通過概念解析型、圖像坐標型、數(shù)據(jù)列表型、實際應用型及答案開放型五個點，再經(jīng)過各種變式連通起來。就形成了一張密織的網(wǎng)，將所有一次函數(shù)的題目網(wǎng)在其中，真正達到綱舉目張的效果。相信學生在這種情況下，就可以全面掌握一次函數(shù)題的解答了。

【參考文獻】

[1]義務教育教科書《數(shù)學》.八年級下冊.人民教育出版社，2013.

[2]《中學生數(shù)理化》河南教育報刊社，2008，6.

[3]2014新課標《天利38套》數(shù)學.西藏人民m版社，2014，7.