關于利用導數研究函數單調性的問題

【摘要】在利用導數解決函數單調性問題時，一定要注意臨界問題，對取值進行討論，做到不重不漏。

【關鍵詞】導數工具參數取值化歸思想

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，研究函數時了解函數的增與減，增減的快與慢及最大值最小值等性質是非常重要的。一般的涉及到函數的單調性，利用導數工具進行研究，往往比用單調性定義研究更為方便。

人教A版教科書寫道：一般的函數的單調性與其導函數的正負有如下關系，在某個區間（a，b）內，如果f'（x）>0，那么y=f（x）在這個區間上單調遞增；如果果f'（x）<0，那么么y=f（x）在這個區間上單調遞減；也就是說，可導函數在某一區間上單調，就是不等式f'（x）>0或y=f（x）恒成立問題，這樣把單調性問題轉化成了不等式問題。

例如：已知函數f（x）=x3-ax-1，

（1）若f（x）在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍。

（2）是否存在實數a，使f（x）在（-1，1）上單調遞減？若存在，求a的取值范圍，不存在說明理由。

解：（1）依題得f'（x）=3x2-a，

∵f（x）在實數集（-∞，+∞）上單調遞增，

∴f'（x）=x2-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立，

即3x2≥a對∨x∈（-∞，+∞）恒成立，

∵3x2≥0，所以只需a≤0

又a=0當時，f'（x）=3x2-0

∴f（x）=x3-1在R上是增函數。

∴a≤0。

（2）f'（x）=3x2-a≤0依題意在（-1，1）上恒成立，

即a≥x32在（-1，1）上恒成立

∵-1

∴只需a≥3，

當a=3時，f'（x）=3（x2-1）在（-1，1）上f'（x）<0

即f（x）在（-1，1）上單調遞減，

故存在實數a≥3，使在（-1，1）上單調遞減。

從上例題可以發現，（1）判斷函數單調性或求單調區間，首先要明確函數的定義域，然后對函數求導，再解不等式f'（x）>0或（f'（x）<0）；（2）要注意式f'（x）>0或（f'（x）<0）僅是那么y=f（x）在某個區間上單調遞增或（單調遞減）的充分條件；在（a，b）內可導的函數y=f（x）在這個區間上單調遞增或（單調遞減）的充要條件是f'（x）≥0或（f'（x）≤0）在區間（a，b）內恒成立且f（x）在（a，b）的任意子區間內都不恒等于零。……