基于最小二乘法的暫培箱溫度調控模型

孫祥+楊信廷+劉燕德+李莎

摘要： 為了對暫培箱溫度進行更加合理的調控，設計1種探索性試驗，通過向暫培箱注入熱水來調節水溫。在暫培箱初始水位相同，而外界溫度不同時，通過向暫培箱內注入不同溫度的水，觀察其水溫變化情況。通過最小二乘法擬合出溫度變化的二次項模型和對數模型。2種模型在擬合中各有利弊，且暫培箱初始溫度相近時可以用同一個模型表示。為了證明該模型能有效預測溫度的變化情況，對其進行了驗證試驗。結果表明，可以利用有限個溫度變化模型預測溫度變化情況，為今后利用該方法獲得的模型用于暫培箱溫度調節打下了基礎。

關鍵詞： 暫培箱；溫度調節模型；最小二乘法

中圖分類號： S969.33 文獻標志碼： A 文章編號：1002-1302（2016）03-0426-05

在魚的運輸、酒店和超市銷售魚的過程中，都需要對魚進行暫時的養殖，而觀賞魚魚缸養殖也可作為暫養來對待。為了更好地對魚進行暫養，其暫養環境必須要保證其正?；顒印囟仁怯绊戶~正常生長的關鍵因素，研究表面，低溫會影響魚攝食量和生長[1-2]。溫度影響魚的新陳代謝，從而影響魚的正?；顒覽3-5]。必須要對溫度進行調節，特別是對于家養觀賞魚。目前，對于溫度溫度的調節主要是升溫調節，而升溫調節中主要使用普通加熱棒，而利用PID[比例（proportion）、積分（integral）、導數（derivative）]控制加熱裝置對溫度進行調節相對而言控制更加準確。利用模糊控制加熱裝置對溫度進行調節不需要建立復雜的數學模型，從而也有所應用[6]。而與傳統的直接控制加熱裝置對暫培箱水溫進行加熱不同，本研究探討1種通過向暫培箱內注入不同溫度的水，對暫培箱水進行升溫的方法，觀察其溫度變化情況，從而建立相關變化模型。

暫培箱在注水過程中的溫度變化模型。根據傳熱學原理，熱量的傳遞可分為熱輻射、熱對流和熱傳導[7]。所以暫培箱溫度受環境溫度、光照等影響，而在向暫培箱內注入水時，雖然主要是熱對流，但其中也包括熱傳導。而且熱傳導分為穩態熱傳導和非穩態熱傳導。要想建立一個較為準確的數學模型是很難的，再加上熱對流也非常復雜，只靠簡單的模型很難準確表示其過程。，建立對象的數學模型可以采用解析法和測試法。解析法是通過分析其過程的機理來求取對象模型；而測試法是根據實際輸入和輸出的實測數據經過分析得出的模型。測試法不需要對過程進行詳細了解，只需從輸入輸出上描述其動態特性。所以在這里采用試驗的方法建立相關模型。

1 材料與方法

1.1 材料

通過向魚缸內注入一定溫度的水進行溫度調節來觀察其溫度變化過程，材料包括：長60 cm、寬60 cm、高80 cm的魚缸、溫度記錄儀、液位記錄儀、水泵、軟管、加熱裝置、水箱等。為了在不同外部環境溫度下進行試驗，試驗在日光溫室內進行。方法為在不同室溫時，魚缸水溫也不同，通過向魚缸中注入一定溫度的水觀察溫度變化情況。本試驗中外界溫度選擇分別為16、20、25、30 ℃，注入水的溫度為30、35、40 ℃。

1.2 方法

以外界環境溫度為16 ℃時進行溫度調控的過程。首先讓魚缸內水位保持在一定值，即對一定量的水進行調控。然后將30 ℃的水注入浴缸內，觀察溫度的變化和水位。待環境溫度、魚缸水位、魚缸水溫都與30 ℃水進行試驗前一致時進行35 ℃水的試驗，通過恢復到初始值時進行40 ℃水的試驗。

因為每次試驗魚缸溫度都產生變化，為了試驗的準確性，使外界溫度和初始魚缸水位與水溫都保持一致，試驗分多次進行，剔除不符合條件的試驗。這樣反復進行試驗最后得到較為準確的試驗值。

2 結果與分析

2.1 不同外界溫度條件下魚缸水溫度變化

從圖1-A可以看出，當外界溫度為16 ℃進行試驗時，3條曲線都是先快速上升，然后慢慢趨于平行。因初始魚缸水位和水溫都一樣，所以因注入水的溫度不同而不同；在剛開始注入水時其溫度變化速率不同；30 ℃的水溫度始終緩慢增長，其增長曲線接近直線；而35 ℃的水開始快速增長，但很快又緩慢增長，其增長速率比30 ℃的水稍快，但后續也接近平行。相對30、35 ℃的水，40 ℃的水變化較為特殊，30 ℃的水和35 ℃的水變化曲線非常接近，而40 ℃的水變化非常快速，且變化幅度大，其增長曲線接近對數增長形式。從開始1 min來看，30 ℃水時溫度增加了4 ℃，35 ℃水時溫度增加了6 ℃，而40 ℃水增加了11 ℃。

從圖1-B可以看出，當外界溫度為20 ℃進行試驗時，3條溫度變化曲線的總體變化趨勢與16 ℃時相同，先快速增長，后趨于平緩，但不同的是3條曲線變化基本相同，不同于16 ℃時40 ℃的水溫度變化更迅速，在1 min內基本相同增加了4 ℃，之后40 ℃的水溫度開始升高然后趨于平緩，但始終高于30、35 ℃水。30、35 ℃的水溫度變化在140 s后開始出現分離，35 ℃水繼續緩慢增長，而30 ℃水增長更為緩慢。

從圖1-C可以看出，當外界溫度為25 ℃進行試驗時，3條曲線總體上也是先快速增長然后趨于平緩，但3條曲線都出現了先快速增長然后平緩后又快速增長的過程，注入30 ℃水時表現尤為明顯，35 ℃水次之。在40～100 s之間30 ℃的曲線相對于另外2條曲線表現較為反常。1 min內30 ℃的水溫度增加3 ℃，而35～40 ℃的水增加5 ℃。在試驗100 s后30、35 ℃的曲線基本相同，而40 ℃的曲線繼續快速增長。

從圖1-D可以看出，當外界溫度為30 ℃進行試驗時，35、40 ℃的曲線為先快速增長，然后趨于平緩，而30 ℃的曲線一直緩慢增長，這可能是由于魚缸本身溫度較高的原因。從圖中可以看出3條曲線相差較大，在處理120 s時，30 ℃水溫度增加1 ℃，35 ℃水溫度增加3 ℃，而40 ℃水使溫度增加5 ℃。

2.2 注水溫度相同、外界溫度不同時魚缸水溫度變化

從圖2-A可以看出4種外界溫度下，注入30 ℃水時溫度的變化。因外界溫度不同所以各個溫度下魚缸內水的初始溫度會有所差異，外界溫度為30 ℃時差異明顯。前80 s內，16、20、25 ℃ 3條曲線基本相同，但80 s后16、20 ℃基本相同，而25 ℃開始快速增長且偏離16、20 ℃曲線較大。而相對前3條曲線，40 ℃的曲線一直緩慢增長，曲線接近直線。

從圖2-B的溫度變化曲線可以看出，外界溫度為16、20 ℃ 時的溫度變化曲線基本相同；而25 ℃的外界溫度時的曲線略高于16、20 ℃時的曲線，但最終溫度與16、20 ℃時基本相同；外界溫度為30 ℃時，相對于前3種溫度，其曲線更趨于平緩，溫度增長較小，但魚缸水溫明顯高于前3種溫度。

從圖2-C可以看出，4條曲線并無重合，其中20 ℃外界溫度時魚缸溫度變化最低，25 ℃外界溫度時次之，16 ℃外界溫度時，魚缸溫度變化明顯且變化較為迅速，在開始1 min后超過了30 ℃的曲線。

2.3 最小二乘法曲線方程擬合

為了將試驗所得結果更好地指導實際中溫度的控制調節，最好可以得到溫度調控的數學模型。通過前面的分析我們可以知道，注入流量相同，而外界溫度的不同、魚缸初始溫度的不同，即使是相同的注水溫度其結果也會不同。圖3為所有試驗過程中水深和溫度變化，無法用單一曲線對其情況進行描述。從圖4可以看出整個試驗過程中魚缸水位基本呈線性增長，可以用1條曲線計算出其變化過程。水位變化相同也就說明流量相同，這樣可以在1副圖中對溫度變化進行描述。

本試驗中利用最小二乘法對曲線進行擬合并求出近似方程，下面對最小二乘法進行簡單介紹。假設在區間[a，b]上存在n個線性無關的連續函數φ0（x），φ1（x），…，φn-1（x），離散函數f（x）在區間[a，b]上存在n個節點滿足a=x1

式中：ωi為權數，其值大于零[8-9]。

最小二乘法一般常用在多變量擬合和曲線擬合中，所謂多變量式擬合就是利用最小二乘式Q（x）=c0+c1x+Λ+cn-1xn-1區去逼近f（x）。其中：當n=2時為直線擬合。在實際中非線性曲線比直線出現的頻率要高得多，但某些非線性問題可以轉換為線性問題來進行求解，下面介紹經常出現的一種非線性情況。

實際中曲線y=c0ec1x經常碰到，若直接利用最小二乘法對∑k i=1[yi-c0ec1x]2進行最小化求解，因會出現c0、c1的非線性方程，所以很難求解。通常采用兩邊取對數的方法進行線性化，可得lny=lnc0+c1x，令z=lny，s=lnc0，可得z=s+c1x，然后再利用最小二乘法求得s、c1，再求出c0，最后求出方程。

首先對魚缸水位的增長曲線進行擬合，從圖4可以看出，水位隨時間變化的曲線接近一條直線，且幾條曲線基本重合。求得各時間點溫度的平均值，利用平均值進行直線的擬合，設x為時間，y為魚缸水位，求得x與y的相關判定系數，r2=0998，可見相關性很強。設直線方程為y=ax+b，利用最小二乘法求得直線方程為：

式中：31.489表示初始魚缸水位，斜率4.450 6表示單位時間內注入水的流量，擬合過程中誤差平方和為r2=44.556 9。散點圖和擬合直線見圖5。

從上述分析可知，室溫和注水溫度不同魚缸水溫的變化曲線不同，其中室溫不同若魚缸水溫近似時，變化曲線相差不大?？梢娪绊戶~缸水溫變化的主要是魚缸初始水溫和注水溫度。從上述分析還可知，魚缸水溫初始值相差不大時注水溫度相同，變化曲線近似，這樣可以用初始水溫為20 ℃的曲線近似表示18、22 ℃，28 ℃的初始溫度曲線近似代表26、30 ℃，下面求初始溫度為20、28 ℃，注入水溫為30、35、40 ℃時的溫度變化曲線。

從變化曲線來看，可以用二次多項式或非線性函數y=blnax表示，下面對其進行擬合求解。初始溫度為20 ℃，注水溫度為30、35、40 ℃時的溫度變化二次多項式函數和對數函數見表1、表2，擬合曲線見圖6、圖7；初始溫度為28 ℃，注水溫度為30、35、40 ℃時的溫度變化二次多項式函數和對數函數見表3、表4，擬合曲線見圖8、圖9。

從表1至表4可以看出，二次多項式的擬合曲線和對數方程的擬合曲線相比較，最大誤差和均方根誤差均較小，但從圖6至圖9中可以看出，曲線在開始時均方根誤差較大，而最后二次項曲線有下降趨勢，對數曲線有逐漸平緩趨勢。相對二次項曲線，對數曲線更與實際溫度變化曲線相類似。從圖6至圖9還可以看出，曲線在溫度開始上升和逐漸平緩時可以適用，而當開始溫度變化不明顯和最后平緩后曲線不適用。表明方程的自變量時間的取值必須在一定范圍內。

2.4 模型驗證

對方程進行驗證，選擇初始水溫為20 ℃、注水溫度為35 ℃的方程進行驗證。通過試驗獲取初始水溫為20 ℃、注水為35 ℃的數據，將其與方程計算結果相比較，結果見圖10。其中二次項方程最大誤差為2.862 9，均方根誤差為1.163 7，對數方程最大誤差為3.596 4，均方根誤差為1.076 6。從均方根誤差可以看出，2種方程誤差都較小，可以用來進行預測分析。通過試驗對其他方程進行驗證也都滿足要求。

3 討論與結論

通過試驗，探索在暫培箱水位相同的情況下，在不同外界溫度下，向暫培箱內注入不同溫度的水，觀察暫培箱溫度變化情況，并利用最小二乘法擬合溫度變化的2種不同方程。研究發現，在溫度調節過程中，外界溫度對水溫的變化基本沒有影響，當暫培箱內水位相同、初始水溫相同時，溫度變化曲線基本相同。而在水位相同、初始水溫相差2 ℃以內時，溫度變化曲線也基本相同。

對于擬合的二次項方程和對數方程，可以看出二次項方程的誤差較小，但對數曲線變化趨向比二次項趨向更接近真實情況。通過上述模型我們可以直接對暫培箱水溫進行調控，也可以與一些控制算法相結合，使水溫調節更加高效、準確和節能。

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