數(shù)學(xué)知識在若干金融問題中的應(yīng)用

趙朝陽

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數(shù)學(xué)知識在若干金融問題中的應(yīng)用

趙朝陽

摘要：金融學(xué)科基本理論以及問題處理技巧的應(yīng)用和發(fā)展，給我國現(xiàn)代金融研究事業(yè)的穩(wěn)定有序推進做出了重要貢獻，將數(shù)學(xué)學(xué)科基本理論知識和處理技巧應(yīng)用于金融學(xué)研究活動過程中，是現(xiàn)代金融學(xué)基本理論發(fā)展豐富的重要途徑，本文針對數(shù)學(xué)知識在若干金融問題中的應(yīng)用展開了簡要論述。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識；金融問題；應(yīng)用

金融數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科基本知識方法，以及金融學(xué)基本理論相互結(jié)合背景下形成的，具備充分應(yīng)用性特征的新興邊緣學(xué)科類型。金融數(shù)學(xué)借助對基本數(shù)學(xué)理論方法的應(yīng)用，為金融學(xué)者完成具體金融研究問題的數(shù)學(xué)求解提供了充足的輔助工具。根據(jù)已經(jīng)公開發(fā)表的學(xué)術(shù)研究資料，金融數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展將為我國現(xiàn)代金融研究活動的有序推進做出了不容忽視的貢獻，有鑒于此，本文將針對數(shù)學(xué)知識在若干金融問題中的應(yīng)用展開具體論述。

一、金融數(shù)學(xué)的基本信息

從廣義分析視角闡述，金融數(shù)學(xué)是運用數(shù)學(xué)學(xué)科基本理論和方法，開展金融事業(yè)基本運行發(fā)展規(guī)律研究工作而形成的新興邊緣學(xué)科。而從狹義分析視角闡述，金融數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容主要集中于非確定性金融市場活動實踐過程中的證券組合選擇理論，以及資產(chǎn)定價理論，這些理論中最主要的內(nèi)容表現(xiàn)在“套利”、“最優(yōu)解”以及“均衡”三個街邊金融學(xué)研究范疇。

金融數(shù)學(xué)的基本研究工作路徑是：從某一具體的經(jīng)濟學(xué)或者是金融學(xué)假設(shè)條件出發(fā)，應(yīng)用抽象化和邏輯化的數(shù)學(xué)學(xué)科知識方法，建構(gòu)充分遵照金融理論發(fā)展機理的數(shù)理模型。

金融數(shù)學(xué)知識體系的主要組成內(nèi)容是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科的基本理論和方法，以及來自其他自然科學(xué)學(xué)科的但是能夠為解決現(xiàn)代金融學(xué)中的數(shù)理問題，提供輔助條件的應(yīng)用性數(shù)學(xué)處理技巧。將金融數(shù)學(xué)學(xué)科基本理論知識內(nèi)容引入并應(yīng)用于現(xiàn)代金融學(xué)基本理論的研究應(yīng)用過程中，其主要目的在于借助是數(shù)學(xué)邏輯語言的表達、演繹，以及確證，為現(xiàn)代金融學(xué)基本原理的驗證以及基本問題的研究解決，提供充足的理論基礎(chǔ)支持條件。

金融數(shù)學(xué)系現(xiàn)代金融學(xué)理論學(xué)科體系中的新興邊緣性分支，所以金融數(shù)學(xué)基本理論的主要背景是現(xiàn)代金融學(xué)基本理論，盡管金融數(shù)學(xué)學(xué)科具備上述的理論背景屬性，但是卻并未要求所有實際從事金融數(shù)學(xué)研究工作的都必須嚴(yán)格經(jīng)歷過現(xiàn)代金融學(xué)領(lǐng)域嚴(yán)格且正規(guī)的學(xué)術(shù)訓(xùn)練。盡管現(xiàn)代金融學(xué)憑借其在基本理論層次的專有特性而逐漸從經(jīng)濟學(xué)理論體系中脫離，并憑借自身特色鮮明的理論內(nèi)容發(fā)展演進路徑而獲取了獨立化的學(xué)術(shù)地位，但是金融學(xué)的本質(zhì)還是經(jīng)濟學(xué)的分支，有鑒于此，金融數(shù)學(xué)在充分包含現(xiàn)代金融學(xué)基本理論內(nèi)容的基礎(chǔ)上，也必然要充分遵循經(jīng)濟學(xué)的基本原理和應(yīng)用方法。金融學(xué)基本理論和經(jīng)濟學(xué)基本原理為金融數(shù)學(xué)學(xué)科的建立提供了學(xué)理基礎(chǔ)，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)理論，則為金融數(shù)學(xué)基本理論的建立提供了建構(gòu)數(shù)理模型和解決具體數(shù)學(xué)分析問題的應(yīng)用方法。

數(shù)學(xué)理論和統(tǒng)計學(xué)理論應(yīng)用與金融學(xué)研究活動過程中的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)統(tǒng)計建模，其主要工作任務(wù)就是從復(fù)雜化和動態(tài)化的金融事業(yè)運作環(huán)境中，篩選并確定關(guān)鍵性的影響因素，同時區(qū)分出所有金融事業(yè)運行活動中的相關(guān)因素、無關(guān)因素，以及隨機自由因子，之后基于金融學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟學(xué)，以及計量經(jīng)濟學(xué)提出并建構(gòu)形成解決具體金融學(xué)問題的假設(shè)體系，運用基本數(shù)學(xué)運算處理分析方法，或者是借助以E views和Spss等為代表的計量統(tǒng)計分析軟件，得到針對具體金融學(xué)問題的學(xué)理建模結(jié)果或者是計量統(tǒng)計分析結(jié)論，實現(xiàn)金融數(shù)學(xué)學(xué)科的最佳預(yù)期應(yīng)用狀態(tài)。金融數(shù)學(xué)學(xué)科具備著及其鮮明的應(yīng)用性學(xué)科屬性。

二、金融數(shù)學(xué)的基本理論框架

金融數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代金融學(xué)理論體系中的新興邊緣學(xué)科，本身承載著金融學(xué)科和數(shù)理分析學(xué)的雙重屬性。金融數(shù)學(xué)最鮮明的學(xué)科特征就是應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的基本理論和知識內(nèi)容，完成發(fā)掘和描述金融經(jīng)濟運行規(guī)律的任務(wù)。

從具體涉及的知識內(nèi)容對象角度分析，金融數(shù)學(xué)學(xué)科在基本理論體系的建構(gòu)的形成過程中，主要引入并運用了隨機分析、隨機控制、數(shù)學(xué)規(guī)劃、微分對策、非線性分析、數(shù)理統(tǒng)計、泛函分析、鞅理論、倒向隨機微分方程、分形幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科體系中的基本理論，以及應(yīng)用性處理方法。

而金融數(shù)學(xué)研究工作涉及的主要問題則集中表現(xiàn)在如下幾個具體方面：

第一，如何借助投資證券的最佳組合而最佳投資活動收益，并同時降低投資活動開展過程中的風(fēng)險強度。

第二，非完備性金融市場有價證券(形如期貨、期權(quán)等衍生性金融交易工具等)的資本性資產(chǎn)定價模型的建構(gòu)，以及最優(yōu)投資與消費行為理論。

第三，利率的期限結(jié)構(gòu)問題，以及利率衍生產(chǎn)品的市場定價理論。

第四，非完備性金融市場的風(fēng)險管理以及控制理論。

根據(jù)對近年來公開發(fā)表的金融數(shù)學(xué)研究文獻展開系統(tǒng)的閱讀歸納，我國已經(jīng)有一定數(shù)量的金融領(lǐng)域?qū)W者在開展證券市場交易價格理論分析活動的過程中引入并應(yīng)用了現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論中新經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生的非線性分析工具和理論，形如分形幾何、混沌學(xué)、小波分析，以及模式識別等。在開展證券選擇問題以及股票種類屬性預(yù)測處理活動的過程中，有學(xué)者引入并應(yīng)用了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和人工智能方法；而在開展針對期貨市場創(chuàng)新活動的仿真研究過程中，也有學(xué)者應(yīng)用了模擬退火法以及遺傳算法，這些在方法應(yīng)用層次的擴展和探索活動，有效改善和提升了我國金融數(shù)學(xué)理論在實際應(yīng)用層次的廣度特征。

三、數(shù)學(xué)方法在金融投資活動風(fēng)險和收益問題中的應(yīng)用

金融投資活動中的風(fēng)險，通常被認(rèn)為是源于利率、匯率、商品價格水平，以及股票市場交易價格水平的波動現(xiàn)象所引致的，實際投資活動經(jīng)濟收益水平偏離期望收益值或者是平均收益值的可能性。有鑒于此，風(fēng)險度量工作已經(jīng)成為現(xiàn)代金融工程基本理論發(fā)展過程中的重要組成內(nèi)容，從現(xiàn)有的理論發(fā)展階段性特征角度展開分析，可以將金融風(fēng)險的度量方法，劃分為確定性方法和非確定性方法兩個基本類型。

(一)確定性數(shù)學(xué)方法

這種方法借助對影響金融投資活動風(fēng)險表現(xiàn)狀態(tài)的各類構(gòu)成因素，以及評估指標(biāo)的系統(tǒng)歸類分析，將上述因素和指標(biāo)對象抽象處理成能夠進行數(shù)理分析和計算處理的數(shù)學(xué)變量，并借助基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的分析處理方法定義，或者是描述上述數(shù)學(xué)變量之間的數(shù)學(xué)計算處理公式，函數(shù)表達式，或者是其他的數(shù)理分析模型，并借助數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)函數(shù)表達式，以及金融數(shù)理分析模型的計算分析處理，實際獲取針對特定投資活動實踐環(huán)境的風(fēng)險計算度量結(jié)果，指導(dǎo)金融投資活動實施者，根據(jù)計算分析活動過程中獲取到的數(shù)據(jù)結(jié)果，針對正在實施的以及將要進行的金融交易活動展開針對性的調(diào)整，并在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)抵御和防范金融投資風(fēng)險的實踐目的。

債券收益率、債券價格、股票價格以及股票指數(shù)是開展投資風(fēng)險分析工作過程中的常見影響指標(biāo)，這里筆者系統(tǒng)給出針對上述參數(shù)對象指標(biāo)的常規(guī)性計算處理方法：

第一，設(shè)新發(fā)行債券的到期收益率指標(biāo)是S，債券票面約定的年收益利率水平是r，債券票面面額是M，債券發(fā)行價格是N，債券的返還期限是T，則新發(fā)型債券的到期收益率解疑應(yīng)用如下公式計算獲取：

第二，新發(fā)行債券的票面面值是C，其實際獲取的投資收益率水平是R，債券的償還期限是N,息票利率是I，債券每次利息支付數(shù)額是F，則新發(fā)行債券的價格(M)可以使用如下公式計算獲取：

第三，設(shè)股票發(fā)行價格為M，預(yù)期獲取的股利收入水平為Q，公開市場利息率水平是r，股票票面標(biāo)注的價格水平是p，且股利率水平是c，在此基礎(chǔ)上，可以給出關(guān)于股票實際價格水平的計算描述公式：

第四，設(shè)p0i表示基期股票價格水平，Q0i表示股票的基期發(fā)行數(shù)量，p1i表示報告期股票價格，Q1i表示報告期股票發(fā)行量，i=1,2，···，n表示總計有n個測算時期的歷史計量數(shù)據(jù)，以此為基點能夠得到加權(quán)股票指數(shù)E的計算公式為：

或者是：

通過針對上述影響金融投資活動風(fēng)險狀態(tài)的數(shù)學(xué)指標(biāo)展開計算分析，金融學(xué)研究人員能夠?qū)崿F(xiàn)對常見金融活動風(fēng)險因素的準(zhǔn)確認(rèn)知，并在此基礎(chǔ)上完成針對正在發(fā)展過程中的金融交易活動開展?fàn)顟B(tài)的準(zhǔn)確認(rèn)知，為制定形成針對現(xiàn)有金融活動實踐行為的改良方案，選取和實施將要進行的金融投資組合，提供充足的前提準(zhǔn)備條件。

(二)非確定性數(shù)學(xué)方法

從金融投資活動風(fēng)險的定義界定表述可知，金融投資活動風(fēng)險的主要引致原因在于各類不確定性因素的形成以及動態(tài)變化，有鑒于此，單純運用確定性數(shù)學(xué)方法，往往不能實現(xiàn)對金融投資活動開展過程中的非確定性因素相互關(guān)系以及影響效應(yīng)的精確描述與分析。在這樣的研究工作背景下，非確定性數(shù)學(xué)方法，形如概率論、數(shù)理統(tǒng)計，以及隨機過程等數(shù)學(xué)理論應(yīng)用項目，必然被引入和應(yīng)用于金融投資活動風(fēng)險的研究和防范工作過程中，并通過對這些數(shù)學(xué)學(xué)科理論知識內(nèi)容的引入和運用，促進我國金融投資活動風(fēng)險問題研究與應(yīng)用工作水平的有效提升。

非確定性數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于控制金融投資活動風(fēng)險方面，最主要的表現(xiàn)方式，就是將投資人在實際開展金融投資活動過程中可能遭致的經(jīng)濟資金損失，以及收益率轉(zhuǎn)化為隨機數(shù)學(xué)變量，之后借助數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科體系中的數(shù)學(xué)期望、方差，以及標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算處理方法完成具體的數(shù)據(jù)對象計算分析處理過程。在金融投資活動一次涉及兩項或者是多項投資產(chǎn)品對象的條件下，分析人員往往還需要引入和應(yīng)用隨機向量、協(xié)方差，以及相關(guān)系數(shù)等統(tǒng)計數(shù)學(xué)處理工具展開具體的數(shù)據(jù)度量處理活動。

四、結(jié)語

針對數(shù)學(xué)知識在若干金融問題中的應(yīng)用，本文在梳理金融數(shù)學(xué)基本理論及其框架的基礎(chǔ)基礎(chǔ)上，重點針對數(shù)學(xué)方法在金融投資活動風(fēng)險和收益問題中的應(yīng)用展開了簡要論述，預(yù)期為相關(guān)領(lǐng)域的研究人員提供借鑒。(作者單位：河南省鞏義市第三中等專業(yè)學(xué)校)

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作者簡介：趙朝陽(1973-)，男，漢，河南鞏義人，講師，本科，河南省鞏義市第三中等專業(yè)學(xué)校，研究方向：中職數(shù)學(xué)教育。