數(shù)學(xué)知識(shí)在若干金融問題中的應(yīng)用

趙朝陽

摘 要：金融學(xué)科基本理論以及問題處理技巧的應(yīng)用和發(fā)展，給我國現(xiàn)代金融研究事業(yè)的穩(wěn)定有序推進(jìn)做出了重要貢獻(xiàn)，將數(shù)學(xué)學(xué)科基本理論知識(shí)和處理技巧應(yīng)用于金融學(xué)研究活動(dòng)過程中，是現(xiàn)代金融學(xué)基本理論發(fā)展豐富的重要途徑，本文針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在若干金融問題中的應(yīng)用展開了簡(jiǎn)要論述。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識(shí)；金融問題；應(yīng)用

金融數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科基本知識(shí)方法，以及金融學(xué)基本理論相互結(jié)合背景下形成的，具備充分應(yīng)用性特征的新興邊緣學(xué)科類型。金融數(shù)學(xué)借助對(duì)基本數(shù)學(xué)理論方法的應(yīng)用，為金融學(xué)者完成具體金融研究問題的數(shù)學(xué)求解提供了充足的輔助工具。根據(jù)已經(jīng)公開發(fā)表的學(xué)術(shù)研究資料，金融數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展將為我國現(xiàn)代金融研究活動(dòng)的有序推進(jìn)做出了不容忽視的貢獻(xiàn)，有鑒于此，本文將針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在若干金融問題中的應(yīng)用展開具體論述。

一、金融數(shù)學(xué)的基本信息

從廣義分析視角闡述，金融數(shù)學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科基本理論和方法，開展金融事業(yè)基本運(yùn)行發(fā)展規(guī)律研究工作而形成的新興邊緣學(xué)科。而從狹義分析視角闡述，金融數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容主要集中于非確定性金融市場(chǎng)活動(dòng)實(shí)踐過程中的證券組合選擇理論，以及資產(chǎn)定價(jià)理論，這些理論中最主要的內(nèi)容表現(xiàn)在“套利”、“最優(yōu)解”以及“均衡”三個(gè)街邊金融學(xué)研究范疇。

金融數(shù)學(xué)的基本研究工作路徑是：從某一具體的經(jīng)濟(jì)學(xué)或者是金融學(xué)假設(shè)條件出發(fā)，應(yīng)用抽象化和邏輯化的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)方法，建構(gòu)充分遵照金融理論發(fā)展機(jī)理的數(shù)理模型。

金融數(shù)學(xué)知識(shí)體系的主要組成內(nèi)容是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科的基本理論和方法，以及來自其他自然科學(xué)學(xué)科的但是能夠?yàn)榻鉀Q現(xiàn)代金融學(xué)中的數(shù)理問題，提供輔助條件的應(yīng)用性數(shù)學(xué)處理技巧。將金融數(shù)學(xué)學(xué)科基本理論知識(shí)內(nèi)容引入并應(yīng)用于現(xiàn)代金融學(xué)基本理論的研究應(yīng)用過程中，其主要目的在于借助是數(shù)學(xué)邏輯語言的表達(dá)、演繹，以及確證，為現(xiàn)代金融學(xué)基本原理的驗(yàn)證以及基本問題的研究解決，提供充足的理論基礎(chǔ)支持條件。

金融數(shù)學(xué)系現(xiàn)代金融學(xué)理論學(xué)科體系中的新興邊緣性分支，所以金融數(shù)學(xué)基本理論的主要背景是現(xiàn)代金融學(xué)基本理論，盡管金融數(shù)學(xué)學(xué)科具備上述的理論背景屬性，但是卻并未要求所有實(shí)際從事金融數(shù)學(xué)研究工作的都必須嚴(yán)格經(jīng)歷過現(xiàn)代金融學(xué)領(lǐng)域嚴(yán)格且正規(guī)的學(xué)術(shù)訓(xùn)練。盡管現(xiàn)代金融學(xué)憑借其在基本理論層次的專有特性而逐漸從經(jīng)濟(jì)學(xué)理論體系中脫離，并憑借自身特色鮮明的理論內(nèi)容發(fā)展演進(jìn)路徑而獲取了獨(dú)立化的學(xué)術(shù)地位，但是金融學(xué)的本質(zhì)還是經(jīng)濟(jì)學(xué)的分支，有鑒于此，金融數(shù)學(xué)在充分包含現(xiàn)代金融學(xué)基本理論內(nèi)容的基礎(chǔ)上，也必然要充分遵循經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本原理和應(yīng)用方法。金融學(xué)基本理論和經(jīng)濟(jì)學(xué)基本原理為金融數(shù)學(xué)學(xué)科的建立提供了學(xué)理基礎(chǔ)，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，則為金融數(shù)學(xué)基本理論的建立提供了建構(gòu)數(shù)理模型和解決具體數(shù)學(xué)分析問題的應(yīng)用方法。

數(shù)學(xué)理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)理論應(yīng)用與金融學(xué)研究活動(dòng)過程中的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)建模，其主要工作任務(wù)就是從復(fù)雜化和動(dòng)態(tài)化的金融事業(yè)運(yùn)作環(huán)境中，篩選并確定關(guān)鍵性的影響因素，同時(shí)區(qū)分出所有金融事業(yè)運(yùn)行活動(dòng)中的相關(guān)因素、無關(guān)因素，以及隨機(jī)自由因子，之后基于金融學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)，以及計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)提出并建構(gòu)形成解決具體金融學(xué)問題的假設(shè)體系，運(yùn)用基本數(shù)學(xué)運(yùn)算處理分析方法，或者是借助以E views和Spss等為代表的計(jì)量統(tǒng)計(jì)分析軟件，得到針對(duì)具體金融學(xué)問題的學(xué)理建模結(jié)果或者是計(jì)量統(tǒng)計(jì)分析結(jié)論，實(shí)現(xiàn)金融數(shù)學(xué)學(xué)科的最佳預(yù)期應(yīng)用狀態(tài)。金融數(shù)學(xué)學(xué)科具備著及其鮮明的應(yīng)用性學(xué)科屬性。

二、金融數(shù)學(xué)的基本理論框架

金融數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代金融學(xué)理論體系中的新興邊緣學(xué)科，本身承載著金融學(xué)科和數(shù)理分析學(xué)的雙重屬性。金融數(shù)學(xué)最鮮明的學(xué)科特征就是應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的基本理論和知識(shí)內(nèi)容，完成發(fā)掘和描述金融經(jīng)濟(jì)運(yùn)行規(guī)律的任務(wù)。

從具體涉及的知識(shí)內(nèi)容對(duì)象角度分析，金融數(shù)學(xué)學(xué)科在基本理論體系的建構(gòu)的形成過程中，主要引入并運(yùn)用了隨機(jī)分析、隨機(jī)控制、數(shù)學(xué)規(guī)劃、微分對(duì)策、非線性分析、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、泛函分析、鞅理論、倒向隨機(jī)微分方程、分形幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科體系中的基本理論，以及應(yīng)用性處理方法。

而金融數(shù)學(xué)研究工作涉及的主要問題則集中表現(xiàn)在如下幾個(gè)具體方面：

第一，如何借助投資證券的最佳組合而最佳投資活動(dòng)收益，并同時(shí)降低投資活動(dòng)開展過程中的風(fēng)險(xiǎn)強(qiáng)度。

第二，非完備性金融市場(chǎng)有價(jià)證券（形如期貨、期權(quán)等衍生性金融交易工具等）的資本性資產(chǎn)定價(jià)模型的建構(gòu)，以及最優(yōu)投資與消費(fèi)行為理論。

第三，利率的期限結(jié)構(gòu)問題，以及利率衍生產(chǎn)品的市場(chǎng)定價(jià)理論。

第四，非完備性金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)管理以及控制理論。

根據(jù)對(duì)近年來公開發(fā)表的金融數(shù)學(xué)研究文獻(xiàn)展開系統(tǒng)的閱讀歸納，我國已經(jīng)有一定數(shù)量的金融領(lǐng)域?qū)W者在開展證券市場(chǎng)交易價(jià)格理論分析活動(dòng)的過程中引入并應(yīng)用了現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論中新經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生的非線性分析工具和理論，形如分形幾何、混沌學(xué)、小波分析，以及模式識(shí)別等。在開展證券選擇問題以及股票種類屬性預(yù)測(cè)處理活動(dòng)的過程中，有學(xué)者引入并應(yīng)用了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和人工智能方法；而在開展針對(duì)期貨市場(chǎng)創(chuàng)新活動(dòng)的仿真研究過程中，也有學(xué)者應(yīng)用了模擬退火法以及遺傳算法，這些在方法應(yīng)用層次的擴(kuò)展和探索活動(dòng)，有效改善和提升了我國金融數(shù)學(xué)理論在實(shí)際應(yīng)用層次的廣度特征。

三、數(shù)學(xué)方法在金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)和收益問題中的應(yīng)用

金融投資活動(dòng)中的風(fēng)險(xiǎn)，通常被認(rèn)為是源于利率、匯率、商品價(jià)格水平，以及股票市場(chǎng)交易價(jià)格水平的波動(dòng)現(xiàn)象所引致的，實(shí)際投資活動(dòng)經(jīng)濟(jì)收益水平偏離期望收益值或者是平均收益值的可能性。有鑒于此，風(fēng)險(xiǎn)度量工作已經(jīng)成為現(xiàn)代金融工程基本理論發(fā)展過程中的重要組成內(nèi)容，從現(xiàn)有的理論發(fā)展階段性特征角度展開分析，可以將金融風(fēng)險(xiǎn)的度量方法，劃分為確定性方法和非確定性方法兩個(gè)基本類型。

（一）確定性數(shù)學(xué)方法

這種方法借助對(duì)影響金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)表現(xiàn)狀態(tài)的各類構(gòu)成因素，以及評(píng)估指標(biāo)的系統(tǒng)歸類分析，將上述因素和指標(biāo)對(duì)象抽象處理成能夠進(jìn)行數(shù)理分析和計(jì)算處理的數(shù)學(xué)變量，并借助基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的分析處理方法定義，或者是描述上述數(shù)學(xué)變量之間的數(shù)學(xué)計(jì)算處理公式，函數(shù)表達(dá)式，或者是其他的數(shù)理分析模型，并借助數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式，以及金融數(shù)理分析模型的計(jì)算分析處理，實(shí)際獲取針對(duì)特定投資活動(dòng)實(shí)踐環(huán)境的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算度量結(jié)果，指導(dǎo)金融投資活動(dòng)實(shí)施者，根據(jù)計(jì)算分析活動(dòng)過程中獲取到的數(shù)據(jù)結(jié)果，針對(duì)正在實(shí)施的以及將要進(jìn)行的金融交易活動(dòng)展開針對(duì)性的調(diào)整，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)抵御和防范金融投資風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)踐目的。

債券收益率、債券價(jià)格、股票價(jià)格以及股票指數(shù)是開展投資風(fēng)險(xiǎn)分析工作過程中的常見影響指標(biāo)，這里筆者系統(tǒng)給出針對(duì)上述參數(shù)對(duì)象指標(biāo)的常規(guī)性計(jì)算處理方法：

第一，設(shè)新發(fā)行債券的到期收益率指標(biāo)是S，債券票面約定的年收益利率水平是r，債券票面面額是M，債券發(fā)行價(jià)格是N，債券的返還期限是T，則新發(fā)型債券的到期收益率解疑應(yīng)用如下公式計(jì)算獲取：

通過針對(duì)上述影響金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的數(shù)學(xué)指標(biāo)展開計(jì)算分析，金融學(xué)研究人員能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)常見金融活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)因素的準(zhǔn)確認(rèn)知，并在此基礎(chǔ)上完成針對(duì)正在發(fā)展過程中的金融交易活動(dòng)開展?fàn)顟B(tài)的準(zhǔn)確認(rèn)知，為制定形成針對(duì)現(xiàn)有金融活動(dòng)實(shí)踐行為的改良方案，選取和實(shí)施將要進(jìn)行的金融投資組合，提供充足的前提準(zhǔn)備條件。

（二）非確定性數(shù)學(xué)方法

從金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的定義界定表述可知，金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的主要引致原因在于各類不確定性因素的形成以及動(dòng)態(tài)變化，有鑒于此，單純運(yùn)用確定性數(shù)學(xué)方法，往往不能實(shí)現(xiàn)對(duì)金融投資活動(dòng)開展過程中的非確定性因素相互關(guān)系以及影響效應(yīng)的精確描述與分析。在這樣的研究工作背景下，非確定性數(shù)學(xué)方法，形如概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)，以及隨機(jī)過程等數(shù)學(xué)理論應(yīng)用項(xiàng)目，必然被引入和應(yīng)用于金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的研究和防范工作過程中，并通過對(duì)這些數(shù)學(xué)學(xué)科理論知識(shí)內(nèi)容的引入和運(yùn)用，促進(jìn)我國金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)問題研究與應(yīng)用工作水平的有效提升。

非確定性數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于控制金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)方面，最主要的表現(xiàn)方式，就是將投資人在實(shí)際開展金融投資活動(dòng)過程中可能遭致的經(jīng)濟(jì)資金損失，以及收益率轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)學(xué)變量，之后借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科體系中的數(shù)學(xué)期望、方差，以及標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算處理方法完成具體的數(shù)據(jù)對(duì)象計(jì)算分析處理過程。在金融投資活動(dòng)一次涉及兩項(xiàng)或者是多項(xiàng)投資產(chǎn)品對(duì)象的條件下，分析人員往往還需要引入和應(yīng)用隨機(jī)向量、協(xié)方差，以及相關(guān)系數(shù)等統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)處理工具展開具體的數(shù)據(jù)度量處理活動(dòng)。

四、結(jié)語

針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在若干金融問題中的應(yīng)用，本文在梳理金融數(shù)學(xué)基本理論及其框架的基礎(chǔ)基礎(chǔ)上，重點(diǎn)針對(duì)數(shù)學(xué)方法在金融投資活動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)和收益問題中的應(yīng)用展開了簡(jiǎn)要論述，預(yù)期為相關(guān)領(lǐng)域的研究人員提供借鑒。（作者單位：河南省鞏義市第三中等專業(yè)學(xué)校）

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