“統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)——平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

夏永立　牛獻(xiàn)禮

[摘 要]平均數(shù)作為一種統(tǒng)計(jì)量，與傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)比較，其課堂教學(xué)價(jià)值正在發(fā)生著變化。在課堂中，教師借助于統(tǒng)計(jì)圖表，利用直觀的方式讓學(xué)生理解平均數(shù)這一抽象概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生的概念學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

[關(guān)鍵詞]平均數(shù) 統(tǒng)計(jì)量 直觀方式

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）14-006

【教學(xué)目標(biāo)】

1.讓學(xué)生在豐富的具體問題情境中，經(jīng)歷簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的過程，感受求平均數(shù)是解決一些實(shí)際問題的需要，體悟平均數(shù)的意義，構(gòu)建平均數(shù)的概念。

2.讓學(xué)生在理解平均數(shù)的意義的基礎(chǔ)上，理解和掌握簡(jiǎn)單的求平均數(shù)的方法。

3.讓學(xué)生在運(yùn)用平均數(shù)的知識(shí)理解簡(jiǎn)單生活現(xiàn)象、解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，進(jìn)一步積累分析和處理數(shù)據(jù)的方法。

【教學(xué)重點(diǎn)】

體會(huì)平均數(shù)的意義，學(xué)會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用平均數(shù)的知識(shí)解釋生活現(xiàn)象、解決實(shí)際問題。

【教學(xué)用具】掛圖、小棒、計(jì)算器。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

出示男女兩隊(duì)的套圈比賽成績(jī)。課件出示四組統(tǒng)計(jì)圖：兩隊(duì)人數(shù)相等且每隊(duì)各自套中個(gè)數(shù)相等；兩隊(duì)人數(shù)相等但各自套中個(gè)數(shù)不等；兩隊(duì)人數(shù)不等但每人套中個(gè)數(shù)相等；兩隊(duì)人數(shù)不等且每人套中個(gè)數(shù)與總個(gè)數(shù)均不等。

第一次比賽，你能判斷哪個(gè)隊(duì)套圈準(zhǔn)一些嗎？為什么？（男生每個(gè)人都比女生套的多）（板書：整體水平）

第二次比賽，套圈情況與第一次比賽有什么不同？能判斷哪個(gè)隊(duì)套圈準(zhǔn)一些嗎？為什么？（把總數(shù)加起來：6+9+7+6=28（個(gè)），10+4+7+5=26（個(gè)））

第三次比賽，哪個(gè)隊(duì)套得準(zhǔn)一些？把總數(shù)加起來能比較嗎？（人數(shù)不等，加總數(shù)不好比）

第四次比賽，該如何判斷呢？（每人套的不完全相同，參與人數(shù)不同，套圈總數(shù)也不同）

需要一個(gè)什么樣的數(shù)來進(jìn)行比較呢？（這個(gè)數(shù)要基本反映一組數(shù)的整體水平）

（揭示課題：平均數(shù)）

【評(píng)析：課始，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察四組統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)尋找一組數(shù)據(jù)的代表，逐步產(chǎn)生對(duì)平均數(shù)的需求。特別是在“兩組人數(shù)不等，每人套的不完全相同”的現(xiàn)實(shí)情境中，學(xué)生初步體會(huì)到“比總數(shù)”不公平，自然想到“通過求出平均每人的數(shù)量，再作比較”。從“比總數(shù)不公平”到“比人均數(shù)公平”的自然轉(zhuǎn)折，將平均數(shù)的來龍去脈刻畫得極為生動(dòng)，學(xué)生從中能夠感受到學(xué)習(xí)平均數(shù)的必要性，理解它的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值?！?/p>

二、自主探索，解決問題。

1.感知平均數(shù)的產(chǎn)生

（1）引思：如圖5，這是一個(gè)長(zhǎng)方體容器，用3個(gè)閘門把這個(gè)容器平均分成4格，在里面盛上高度不等的水。請(qǐng)想像一下，如果把這幾個(gè)閘門打開，里面的水會(huì)有什么變化？

（2）小組討論后匯報(bào)。

（3）小結(jié)：打開閘門，高處的水往低處流，最終水面高度相等，這個(gè)高度就是水面的平均高度（如圖6）。

（4）誰再來說說這個(gè)“平均高度”是怎么形成的？（移多補(bǔ)少）像這樣通過對(duì)幾個(gè)數(shù)進(jìn)行移多補(bǔ)少，會(huì)得到一個(gè)相等的數(shù)，這個(gè)相等的數(shù)就叫做這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

【評(píng)析：利用直觀形象的“開閘放水”來形象地呈現(xiàn)“移多補(bǔ)少”的過程，為學(xué)生理解平均數(shù)所表示的均勻水平提供感性支撐。不是先通過計(jì)算求平均數(shù)，而是在直觀水平上通過“移多補(bǔ)少”求得平均數(shù)，強(qiáng)化了平均數(shù)“勻乎、勻乎”的產(chǎn)生過程?！?/p>

2.探究平均數(shù)的求法

（1）每組四位同學(xué)分別有3、4、5、8根小棒。平均每位同學(xué)有幾根小棒？

（2）合作探究。怎樣求出平均每位同學(xué)有幾根小棒？看哪個(gè)組的方法最多。

（3）交流匯報(bào)

移多補(bǔ)少：只要有8根小棒的同學(xué)拿2根給第一位同學(xué)，拿1根給第二位同學(xué)，四位同學(xué)小棒的根數(shù)就一樣多了，所以平均每位同學(xué)有5根小棒。

（4）小結(jié)。

【評(píng)析：盡管教師把“理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，感受平均數(shù)的作用”放在了突出位置，但作為一節(jié)起始課，基本的技能目標(biāo)還是不能放棄，讓學(xué)生理解算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法并正確應(yīng)用也是本節(jié)課的目標(biāo)之一。借助于“平均有幾根小棒”的問題，讓學(xué)生在操作、討論和計(jì)算中掌握計(jì)算平均數(shù)的基本方法?！?/p>

3.解決問題

（1）再次出示長(zhǎng)方體容器（如圖5），并標(biāo)出4部分水的不同高度。（分別是40厘米、30厘米、24厘米、10厘米）

①先估計(jì)一下這4部分水的平均高度會(huì)在什么范圍之內(nèi)？（在40厘米和10厘米之間）

②實(shí)際算一算長(zhǎng)方體容器中水面的平均高度。

③將閥門打開，驗(yàn)證結(jié)果。

（2）出示導(dǎo)入時(shí)給出的兩隊(duì)套圈成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖。

①現(xiàn)在你認(rèn)為怎樣比才合理？

②分別算一算男生隊(duì)和女生隊(duì)套圈的平均成績(jī)。

【評(píng)析：讓學(xué)生先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行估計(jì)，再進(jìn)行計(jì)算，后動(dòng)態(tài)驗(yàn)證，從而感受和發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)介于這組數(shù)據(jù)的最小值與最大值之間：多的要移一些補(bǔ)給少的，最后平均數(shù)當(dāng)然要比最大的小、比最小的大了。最后順勢(shì)引出“怎樣比較才公平”的現(xiàn)實(shí)問題，平均數(shù)的概念不教自明。】

三、聯(lián)系實(shí)際，拓展應(yīng)用

1.出示2015年小剛家各季度用水量情況統(tǒng)計(jì)圖：

（1）你能提出哪些求平均數(shù)的數(shù)學(xué)問題？

平均每個(gè)季度用水多少噸？（（17+25+37+23）÷4）

平均每個(gè)月用水多少噸？（（17+25+37+23）÷12）

平均每天用水多少噸？（（17+25+37+23）÷365）

只列式不計(jì)算，比較這三道算式有什么是相同的，什么是不同的，為什么？

（2）小剛家平均每人每天大約用水93千克，嚴(yán)重缺水地區(qū)平均每人每天用水3千克。比較這兩個(gè)數(shù)據(jù)，你有什么感受？

2.出示招工廣告：

本公司因業(yè)務(wù)發(fā)展需要，急招一批素質(zhì)好的業(yè)務(wù)人員，公司每月人均工資4000元，欲應(yīng)聘者從速。

有幾個(gè)人去這家公司應(yīng)聘，結(jié)果應(yīng)聘成功的甲只領(lǐng)到3000元的月工資，你們說合不合理？老板有沒有欺騙行為？

3.出示合肥某個(gè)超市2013、2014、2015年平均銷售情況統(tǒng)計(jì)表：

（1）從這張統(tǒng)計(jì)表中你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)2016年的月平均銷售情況。如果你是經(jīng)理，你會(huì)怎么做？

【評(píng)析：教師精心設(shè)計(jì)了一系列問題情境，讓學(xué)生借助于直觀的統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行估計(jì)或計(jì)算，經(jīng)歷一籌莫展、若有所思、茅塞頓開的過程，加強(qiáng)對(duì)平均數(shù)的理解?！?/p>

四、總結(jié)評(píng)價(jià)，布置作業(yè)

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？還有什么遺憾？你認(rèn)為應(yīng)該給自己布置什么樣的作業(yè)？

【總評(píng)】

算術(shù)平均數(shù)的定義是“a=（x1+x2+x3+…+xn）/n”，在統(tǒng)計(jì)中它是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)量，反映的是一個(gè)整體的水平。學(xué)生如何學(xué)習(xí)平均數(shù)這一重要概念呢？傳統(tǒng)教學(xué)大多數(shù)是為求平均數(shù)而求平均數(shù)，關(guān)注點(diǎn)在計(jì)算的方法上，側(cè)重于計(jì)算所給數(shù)據(jù)（有時(shí)甚至是沒有任何統(tǒng)計(jì)意義的抽象數(shù)）的平均數(shù)，即側(cè)重于從算法的水平理解平均數(shù)，這容易將平均數(shù)的學(xué)習(xí)演變?yōu)橐环N簡(jiǎn)單的技能學(xué)習(xí)，忽略平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。因此，新課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來理解平均數(shù)。那么，什么是“從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度”理解平均數(shù)？在教學(xué)中又該如何落實(shí)呢？夏老師的這節(jié)“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)帶給我們?cè)S多啟示。

一、在現(xiàn)實(shí)情境中感受“公平”——為什么要學(xué)習(xí)“平均數(shù)”？

平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是它能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。只要對(duì)兩組數(shù)據(jù)的總體水平進(jìn)行比較，就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因?yàn)槠骄鶖?shù)具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。課始設(shè)計(jì)的“怎樣比較才公平”的現(xiàn)實(shí)情境，就是讓學(xué)生體驗(yàn)平均數(shù)的代表性。

二、在直觀比較中體驗(yàn)“意義”——平均數(shù)概念的本質(zhì)是什么？

如何讓學(xué)生理解平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平呢？夏老師先是精心創(chuàng)設(shè)了“開閘放水”的生活情境，形象直觀地呈現(xiàn)“移多補(bǔ)少”的過程，為理解平均數(shù)所表示的均勻水平提供感性支撐；接著，又設(shè)計(jì)“求平均有幾根小棒”的活動(dòng)，放手讓學(xué)生探究平均數(shù)的多種求法；然后，再回歸課始的“怎樣比較才公平”的情境，不斷深化“平均數(shù)是一種統(tǒng)計(jì)量”的理念，實(shí)現(xiàn)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度學(xué)習(xí)平均數(shù)。

三、在解決問題中理解“作用”——怎樣運(yùn)用平均數(shù)？

學(xué)生是否真正理解了平均數(shù)的概念呢？能敘述出概念的定義或者會(huì)計(jì)算并不等于真正理解某個(gè)概念，能否在不同情境中運(yùn)用概念才是判斷的唯一標(biāo)準(zhǔn)。由于平均數(shù)這個(gè)概念對(duì)小學(xué)生而言是非常抽象的（它是“虛幻的數(shù)”，學(xué)生不能具體看到），平均數(shù)的背景也很復(fù)雜，如果學(xué)生能在稍復(fù)雜的背景下運(yùn)用平均數(shù)的概念解決問題，說明學(xué)生初步已理解了平均數(shù)。

為此，夏老師精心設(shè)計(jì)了若干問題情境，以深化學(xué)生對(duì)平均數(shù)的意義以及性質(zhì)的理解。比如“招工廣告”問題，就讓學(xué)生感受到了一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)介于這組數(shù)據(jù)的最小值與最大值之間，而且一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響。

總之，夏老師的這節(jié)“平均數(shù)”設(shè)計(jì)有傳承，有創(chuàng)新，有助于學(xué)生概念學(xué)習(xí)的真正發(fā)生。

（責(zé)編 金 鈴）