橫向比較縱向聯系

朱軍

[摘 要]“用字母表示數”是代數學的發端，是學生在小學階段第一次正式接觸代數學領域的知識。在教學前，教師不僅要深入挖掘教材內容，引導學生將所學知識橫向比較、縱向聯系，而且要為學生的后續學習做鋪墊、滲透，使學生真正理解所學知識。

[關鍵詞]字母 備課 思考 符號意識 數量關系 問題情境 比較 建議

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）14-014

前不久，我再一次執教“用字母表示數”一課，與之前的教學相比，這次教學設計做了較大的改動，教學側重點也有所變化。回想這幾次不同的教學，我腦中突然出現了疑問：“究竟哪次教學才是真正為學生的學習而教？”帶著這個疑問，我進行了以下思考：“‘用字母表示數是學生在小學階段第一次正式接觸代數學領域的知識，對學生來說，從具體的確定的數過渡到用字母表示數，從用生活語言到用符號語言描述關系，這是認知上的一次突破，學生理解起來有一定的難度。怎樣使學生更好地理解這部分知識，以便進一步學習后續知識，就顯得格外重要。”那么，作為教師，我們該怎樣組織教學素材和落實教學目標呢？下面，我從以下幾個方面來談談對本節課教學的思考。

一、不同版本教材的比較

蘇教版教材在“用字母表示數”一課中安排了三道例題：例1，通過用小棒擺三角形的個數逐次增加的問題，思考用一個式子來表示三角形個數與所用小棒根數之間的關系，理解字母可以表示哪些數；例2，出示汽車在一段路上行駛的問題，由于汽車所走的路程是個未知數，思考含有字母的式子表示行駛一段路程后剩下的千米數，同時結合問題情境思考該字母可以表示哪些數，初步學會代入數值求解；例3，溝通新舊知識之間的聯系，引導學生理解用字母還可以表示特定的對象和計算公式，并在此基礎上學習含有字母的乘法算式的簡寫。大家都知道用字母可以表示任何形式的數（包括自然數、小數和分數），而當我研讀蘇教版教材后發現，教材中所選擇的教學素材只涵蓋了用字母可以表示自然數、小數的知識，為什么沒有包含分數？難道是教材編者的疏忽？為此，我又翻閱了人教版、北師大版教材中關于“用字母表示數”的教學內容。雖然人教版和北師大版教材中所選擇的教學素材各不相同，但是同樣的問題卻出現在兩套教材中。而且，人教版、北師大版和蘇教版教材從例題到練習，沒有編排字母可以表示分數的情境或實例。

為什么人教版、北師大版和蘇教版這三套教材中都沒有談及用字母可以表示分數的內容呢？教材讀到這里，我豁然開朗，明白教材之所以這樣安排應該有以下幾個原因：第一，學生在前四年的數學學習中主要認識自然數和小數，對于分數的學習主要集中在五、六年級，五年級上學期的學生對于分數的認識尚不深刻，此時若在“用字母表示數”中提及用字母可以表示分數，學生未必能理解；第二，生活中很少有用分數計算的實際問題，大多都是用小數代替的；第三，從數學的角度出發，很難找到一個可以承載用字母表示數，又恰恰用分數計算的情境。為此，這三套教材對于用字母可以表示分數這一知識沒有涉及。對于用字母可以表示分數的知識，學生在學習整數運算律對于分數四則運算的推廣運用這一內容后，自然能夠理解。

二、研讀初中教材的思考

眾所周知，“用字母表示數”在小學階段只是初步學習，教材編排此內容的主要目的是為了方便學生以后學習初中的代數知識。那么，在初中數學教材中，學生將會學習哪些知識？學生在小學階段對“用字母表示數”這部分內容要達到怎樣的認識，才能對初中學習產生持續的影響？為此，我以人教版教材為主，研讀初中數學教材中的這部分內容。在初中數學教材的相關章節中，有對小學“用字母表示數”這部分內容的簡單復習，但教材更多的是對式的學習，需要學生學會用單項式（含有字母的式子）表示結果（數）。因此，如果學生對于用字母表示數的知識僅僅停留在用字母可以表示數和數量關系的認知上是遠遠不夠的，甚至隨著時間的推移，這種認識勢必對學生的后續學習造成一定的干擾。

三、問卷調查情況

那么，這節課的教學該從哪出發，最終落腳點在哪呢？教學中，學生對于用字母表示數的認識需要達到什么水平？為了解學生對“用字母表示數”這一內容的認知情況，我把相同的問卷（共有兩題）分別給五年級和六年級的學生作答。如下：

①你認為字母a能表示下面哪種含義（略）？

②你認為a+3這個式子能表示下面哪種含義（略）？

（下面三組統計圖為不同班級學生對這兩道題的回答，每組中左邊圖是第①小題的統計結果，右邊圖是第②小題的統計結果）

被調查學生的情況：五（2）班學生共68人，第一學期該班尚未學習“用字母表示數”這部分內容；五（1）班學生共52人，第一學期該班在一個月前有教師上過公開課，剛好講的是“用字母表示數”這一單元的第一課時，截止到調查時，該單元的后續內容仍然沒學；六年級學生共103人，第一學期截止到調查時，學習“用字母表示數”這部分內容有近一年時間。

從上述數據來看，學生在未學習“用字母表示數”這部分內容之前，對該知識是不太了解的，甚至他們的理解是有問題的。以上圖中的五（2）班學生為例，對于a的含義，有52.94%的學生認為它只可以表示特定的對象（如長方形的長等），這部分學生有此認識可能是受教材的編排內容影響所致。在進行問卷調查時，該班學生剛好學習“多邊形的面積”這一單元，可想而知，在前攝抑制影響下，有這么高比例的學生形成錯誤認識也就不足為奇了。對于a+3的含義，也有近一半的學生認為它僅僅是一個加法算式而已，還有13.24%的學生對這個含有字母的式子的含義產生理解上的困難。這是尚未學習的情況，那么學習過的學生的情況又會怎樣呢？

接著，我又對五（1）班的學生進行調查。從數據來看，學生對用字母表示數的認識并沒有很大的改善，我想大概有以下兩個原因：一是因為學生只學習了一節課，對于該知識的理解還有待后續的學習加以強化；二是學生學這部分知識已有月余，且這段時間大多都在學習“多邊形的面積”的相關知識，沒有得到明顯改善也是可以理解的。學習“用字母表示數”這部分內容后，學生對該知識的理解究竟會怎么樣呢？帶著這個疑問，我再次對我校六年級的學生進行問卷調查。從調查的數據來看，學生對這部分知識的理解較之剛學習時確實有了很大的改善，可仍然暴露出兩個問題：一是學生對用字母表示數這一數學思想較之以前用具體的數表示仍有認知上的障礙；二是六年級學生通過方程等相關內容的學習后，對用字母表示數的含義的理解確實得到了進一步的強化，但由于學生經常用方程解決實際問題，導致他們更多的以為字母a表示一個未知數、a+3表示一種數量關系。學生有此認識，應該是學習方程和列方程解決實際問題這一部分知識的“后遺癥”。另外，學生對于a+3這個式子也可以表示一個數或運算結果的認識較之五年級剛學的時候，并沒有隨著學習時間的推移而得到強化。

四、關于“用字母表示數”一課的教學建議

1.抓住“用字母表示數”這個根，培養符號意識

不論是用字母表示數，還是用字母表示數量關系，都是建立在學生能理解并主動運用字母表示數的基礎之上。為此，在本課教學中，教師應該抓住“用字母表示數”這個根，只有將這個根扎得越深，學生將來或后面的學習才有可能枝繁葉茂。此外，用字母還可以表示任意數和未知數，這些都是學生在以往學習中沒有探究過的。要讓學生理解這些知識不難，但要讓學生由被動接受轉為主動的選擇，就需要借助合理的情境，尋求新的思維方式，培養學生的符號意識。

2.借助數量可變的問題情境，理解用含有字母的式子表示數量關系所具有的一般性

之所以用字母表示數，是為了更進一步用代數式來構建等量關系，這是學習后續知識的基礎。用字母表示數量關系較之以前的算式，最大的區別在于含有字母的式子所表示的數量關系更具一般性，就需要讓學生在一個熟悉的且數量會隨著條件變化而變化的情境中進行感知和理解。如人教版教材中的父女年齡問題，引導學生用一個式子來表示任何一年爸爸的年齡，使學生經歷了從特殊到一般的過程，體會到用一個含有字母的式子可以表示父女兩人任何一年的年齡，因而這樣的式子更具有一般性。

3.借助數量關系的支撐，引導理解含有字母的式子也可以表示一個數或一個運算結果

我在翻閱人教版初中數學教材后發現，如果學生對于用字母表示數僅停留在用字母可以表示數和數量關系的認識上，到了初中學習式與方程時，對于理解a+3可以表示一個數（運算結果）會有比較大的認知障礙，這一點從上述調查六年級學生的數據就可以看出來。為此，我在教學之前一直思考這樣一個問題：“我們是否可以借助情境中數量關系的支撐，逐步引導學生理解含有字母的式子也可以表示一個數或一個運算結果呢？”

總之，作為數學教師，我們在教學前應充分思考，既要挖掘教材本身蘊含的知識內容，又要為學生的后續學習做好鋪墊、滲透。

（責編 杜 華）