看透古典概型，做生活智者

周倩竹

古典概型源于實際問題，在生活中有著非常廣泛的應用，屬于概率論的基礎內容之一.從實質來說，概率論只是將普通的隨機事件精煉為計算，它使我們可以準確地確定某個事件發生的可能性大小，也就是讓我們的“估計”更加準確.

一、古典概型簡介

隨機試驗E，如果具有如下特征：

（1）有限性：試驗的樣本空間由有限個樣本點構成；

（2）等可能性：試驗中的每個樣本點的發生是等可能的.

具有以上特征，則稱E為古典型隨機試驗.這類試驗是概率論最早研究的隨機現象，通常把這類隨機現象的數學模型稱為古典概型.

二、古典概型的解法

1.定義法

由古典概型的概念，我們可以歸納出計算古典概型的解題步驟：

（1）根據題目要求，確定基本事件的個數和基本事件的總數；

（2）設出所求概率的事件A，首先要注意A是由哪些基本事件組成的；

（3）確定基本事件的總數與A中包含的基本事件的個數，計算P（A）.

例.在標準化的考試中，選擇題一般包括單選題和多選題兩種，多選題是從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案，很多學生會覺得，如果不知道正確答案，多選題更難猜對，這是為什么呢？

2.構造最優樣本空間，以簡化解題過程

在解古典概型的相關問題中，都會涉及基本事件總數和有利事件數這兩個問題.選取樣本空間成為計算的關鍵，從不同的角度考慮得到的樣本空間也不同，進而解題的難易度也不同.古典概型樣本空間的選取要滿足兩個條件：（1）樣本空間中基本事件的個數是有限的；（2）所組成樣本空間的各個基本事件是等可能發生的，并且基本事件的總數和有利事件數的相關計算要在同一個樣本空間中進行.

例.袋子中共有m+n個球，其中m個黑球，n個白球.現把球隨機一個個地取出不放回，求第k次取出的是黑球的概率（1≤k≤m+n）.

分析：（1）普通解法

考慮取球的順序，題目要求第k次取出的是黑球的概率，其實相當于從m+n個球中任取k個球的排列，所以基本事件的總數為Akm+n.設事件A為第k次取到黑球，因為第k次取到黑球可以是m個黑球中的任一個，故有m種取法，其余k-1個球可以順次從m+n-1個球中任意取出，有Ak-1m+n-1種取法.所以，事件A所包含的基本事件數為m·Ak-1m+n-1.

從上面可以看出，在某些情況下，樣本空間的選取可以簡化計算.

3.利用轉化的思想，將非古典概率的問題轉化為古典概率

有些求概率問題中所要求的是連續的事件，而非離散的情形，不滿足古典概型的條件.若要使問題簡單化，我們就要采用連續時間狀態離散化的方法，將非古典概率的問題轉化為古典概率，從而打破固定的思維.

例.小明和小麗約定在上午9時到10時之間到某站乘公共汽車，這段時間內有四班公共汽車，它們的開車時刻分別為9：15、9：30、9：45、10：00，小明和小麗約定：（1）見車就乘；（2）最多等一輛車.求小明、小麗同乘一輛車的概率.假定小明、小麗兩人到達車站的時刻是互不牽連的，且每人在9時到10時的任何時刻到達車站都是等可能的.

三、應用舉例

1.免費抽獎活動

在日常生活中，我們經常可以看到免費抽獎的活動，人們往往會覺得中獎的機很大.事實卻不是想象的那樣.這是為什么呢？用一個簡單的例子來說明.

在圣誕節來臨之際，某經營洗滌用品的商場推出一個非常具有吸引力的促銷活動：為了答謝廣大顧客對本商場的大力支持與厚愛，凡是進入商場的顧客都有機會免費參加抽獎活動.

抽獎方式：箱子里有20個球，10個紅色球代表10分，10個黑色球代表5分，從箱子里（無放回）摸出10個球，把各個球上的分數加起來得出總分，按總分設置獎項如下：

一等獎：100分，某品牌變頻空調一臺，價值8 000元；

二等獎：50分，某品牌全自動洗衣機一臺，價值5 000元；

三等獎：95分，豆漿機一臺，價值500元；

四等獎：55分，電飯煲一個，價值200元；

五等獎：90分，某洗發套裝兩套，價值100元；

六等獎：60分，某洗發套裝一套，價值50元；

七等獎：85分，某沐浴液一瓶，價值30元；

八等獎：65分，護手霜一支， 價值5元；

九等獎：80分，牙刷一支， 價值2元；

十等獎：70分，洗衣粉一小袋，價值1元；

在實際生活中，我們平時遇到的很多概率問題是古典概率問題.由于條件的限制，我們不可能在判斷某個事件的概率時都計算一番.但為了盡可能地減少判斷錯誤，我們應當仔細領會概率論的原理，透過現象看本質，作出合理的“估計”.

編輯 薄躍華