二次函數y=ax2的圖像和性質教學設計

☉湖北省宜昌市十六中學　李煥　胡建萍

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二次函數y=ax2的圖像和性質教學設計

☉湖北省宜昌市十六中學李煥胡建萍

數學教學需要設計，一是學生的發展依賴于符合科學規律的有目的、有計劃、有指導、有系統的教學培養才能實現；再是教學活動需要規劃藍圖，通過教學設計整體上把握教學過程，使學生以比較少的時間、精力、學習負擔獲得更好的學習效果，實現教學過程最優化.

隨著初中數學課程改革的發展，對教學設計的研究越來越被重視，而行為主義下的“以教為主“和建構主義下的”以學為主“的教學設計理論更是有了深入發展，筆者在準備宜昌市公開課“二次函數y=ax2的圖像和性質（九年級上學期）”中，試圖將兩者有機結合起來進行教學設計，吸收各自長處達到優勢互補、學教并重的教學效果.

一、教學設計的前置分析

1.教學內容分析

二次函數的圖像——拋物線是人們最為熟悉的曲線之一，生活中的應用相當廣泛.本節課是在學生掌握了二次函數的概念下，對最簡單的二次函數y=ax2（a≠0）的圖像和性質進行研究，既是前面所學知識的延續，又是探究其他二次函數的圖像及性質的基礎，起到了承上啟下的作用.在初中數學還是第一次研究曲線，其中由直線到曲線的數形結合思想在整個初中都是最突出的.

2.教學目標

（1）知識目標：會用描點法畫出二次函數y=ax2（a≠0）的圖像，能根據圖像觀察、分析出二次函數y=ax2（a≠0）的開口方向、對稱軸、頂點坐標等有關性質.

（2）技能目標：通過函數圖像進一步理解二次函數和拋物線的有關知識，提高學生的對比、發現、概括能力；培養學生觀察和分析問題的能力，滲透數形結合的數學思想方法.

（3）情感目標：通過作函數圖像，體會數學中特殊與一般的辨證關系；培養學生的動手能力、勇于探索創新及實事求是的科學精神.

3.教學重點、難點

教學重點：根據圖像觀察、分析二次函數y=ax2（a≠0）的性質.

教學難點：二次函數y=ax2（a≠0）圖像的形成；數形結合的數學思想方法.

4.學情分析

九年級學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發展，開始有了數學抽象思維和一定的分析、歸納能力，具備學習本課的認知心理基礎.

學生對直線做過研究，在生活實際中接觸了一些曲線，有的還知道拋物線，但這些認識都只是感性的，對點和線、函數與圖像的認識比較模糊，尤其是函數圖像為什么是平滑曲線說不清道不明.

這個階段學生的幾何直觀能力有了很大發展，教學中應深入淺出地引導分析，利用幾何畫板直觀動態的演示使學生認識圖像、觀察圖像，降低學生理解和歸納的難度.

另外，授課班級學生程度參差不齊，兩極分化嚴重，教學中要面向全體，因材施教.

二、教學設計思想的選擇

如何確定本節課的教學設計思想？我們思考了多種方案.

1.以教為主的講授法

在教學時，教師通過“講”來突出畫函數圖像的主題，學生則通過“傾聽”（當然在傾聽中也有自己的思考和理解）來接受知識.課堂上常常見到這種教法：由新函數——二次函數，回憶與一次函數一樣，要研究它的圖像，從繪制函數圖像的一般步驟“列表、描點、連線”入手，讓學生得到了曲線，再根據圖像把函數性質歸納出來.

這樣講授，學生學習的內容程序化、模式化、清晰化，若教師表達清楚可以節約學習時間，提高學習效率，有更多的時間去訓練解題.

我們認為采用講授法，其信息傳輸方向是由外向內的，學生總體都是接受式的，對函數圖像的本質和函數圖像的直與曲難以理解，只會依葫蘆畫瓢，浪費了這么好的學習素材，不利于學生思維的發展.

2.以學為主的教學設計思想

（1）小組合作學習.

就是在教學中運用小組合作使學生共同活動，以最大程度地促進他們自己及他人學習.小組合作解決的問題要有一定的挑戰性，否則學生能自己獨立思考學習解決，何必小組合作呢？而小組合作的內容，入口一般要寬，讓多數人都能感受到自己在小組內的貢獻，并且小組解決的問題，一般有多種解決的途徑，還要便于表述與交流.

而“二次函數y=ax2的圖像和性質”，要求學生在操作的過程中感受直與曲，從而理解函數圖像的本質，而學生的畫圖動手操作是不需要相互研討的.數學強調要獨立思考，選擇合作學習“畫函數圖像和觀察圖像猜想性質”似乎不妥當，應該讓學生經歷動手操作數學的過程和保證每個學生都有自己的思考.

（2）自學法.

就是教師提前給學生準備一定的素材，要求學生自主學習，自學中教師給予一定的指引與要求，并對學生進行檢測.

學生閱讀課本中有關材料，在閱讀過程中思考下列問題，并回答和交流.作函數圖像的一般步驟有哪些？二次函數的定義范圍有什么要求，列表時應注意些什么？為什么要用光滑的曲線順次連接各點，用折線連接各點可以嗎？說明理由.函數y=ax2的圖像有哪些特點？等等.

雖然這種方法能發揮學生學習的自主性，促進學生自學能力的提高，但是信息傳輸方向都是由外向內，是一種書面的接受式，特別是目前的教科書列出了很多應該探索的結論，故學生自主發現的成分將相對過少.

我們實際的教學設計對上述各種教法優勢互補，采取了“引導探究，學教合一”的教學思想.

三、教學過程及其設計意圖

根據教材的結構特點，緊緊抓住新舊知識的內在聯系，運用類比、數形結合、從特殊到一般的思想方法把整個的教學過程分為四個環節.

環節1：溫故知新

（1）一次函數的圖像是____________；

（2）畫函數圖像的一般步驟是：____________；

（3）二次函數的一般表達式是_____________，圖像會是什么樣子呢？

設計意圖：開課提出這三個問題，喚起學生對舊知識的回憶，為學習本課時內容夯實基礎.同時提出疑問，二次函數的圖像又是什么樣子呢？

點評：在激起學生的探索欲望的同時，明確本節課要研究的內容，以此來引入課題，讓學生以飽滿的熱情投入到下一環節合作探究中去.

環節2：合作探究

通過兩個活動讓學生主動參與其中，在活動中感悟，在問題中創造，在討論中生成、發展，獲取新知.

活動1：初識拋物線.

你會用描點法畫二次函數y=x2的圖像嗎？想一想它的形狀.

觀察y=x2的表達式，選擇適當的x值，并計算相應的y值，完成下表.

x　…　-3　 -2　 -1　 0　 1　 2　 3　…y=x2…　…

作函數y＝x2的圖像.

要求：在坐標紙上作最簡單的二次函數y=x2的圖像.教師巡回搜集畫圖中出現的各種問題展示出來.

提出問題：你們認為哪個是二次函數y=x2的圖像呢？說說理由.

討論中教師適時分析指出：我們確定一個變量x的值，相應地就可利用解析式求出另一個變量y的值，即得到一組解；而一組解就是一個點的坐標，實際上二次函數的圖像就是由無數個這樣的點構成的圖形，叫拋物線.

借助幾何畫板演示取點、連線、點數由少到多，讓學生直觀地看出隨著點的變化，圖像越來越接近曲線，深入理解圖像的本質，知道為什么作圖要用平滑的曲線來連接.

提出問題，思考：我們在作圖時，還應該注意些什么問題？你有什么好的技巧和方法？

學生分組討論，全班交流，歸納出作圖的方法，自我評價并糾正所畫的圖像.

提出問題，思考：你發現拋物線有什么特征？你是怎樣判斷函數圖像有上述特征的？指名讓學生作答，老師根據學生發表意見的層次，同時演示課件上的相關內容，讓學生進一步認識二次函數圖像的基本性質.

接下來再引導：我們不可能將圖像的全部作出來，因此作圖時要選擇合適的點，合適的單位，通過局部去反映整體，但不能將圖畫得走了樣.那么，請同學們結合拋物線的樣子思考：我們在作圖時，還應該注意些什么問題？你有什么好的技巧和方法？學生分組討論，全班交流，歸納出作圖的方法，進一步明確規范的作圖方法，并糾正之前自己畫的圖像，小組內檢查交流，關注學生的個體差異.

設計意圖：在坐標紙上作二次函數y=x2的圖像，在于呈現學生探究的自然過程，暴露可能存在的問題.事實上，出現了學生畫成折線、畫成半個拋物線、沒畫出延伸的趨勢、沒有取原點、有的描了幾個點不知該如何連線等多種情形.教師收集并將這些具有代表性的（有規范的，也有不規范的）圖像貼到黑板上，讓學生辨析并升華自己對二次函數圖像的理解，這就把自主探究與合作學習有機地統一起來了.

這個過程中，教師適時分析并借助幾何畫板演示取點、連線、點數由少到多，讓學生直觀地看出隨著點的變化，圖像越來越接近曲線，提出拋物線的概念.這一部分主要是通過教師講述讓學生明了二次函數圖像的意義.

點評：整個活動1，從自主學習探究畫圖像開始，自然進入共同辨析探究結果的合作學習，而教師適時分析引導和歸納的“講”不僅提高了學習效率，對學生理解二次函數圖像也是必要的.設計“自主作圖——引導分析——明理糾錯”，從而發現拋物線“基本圖像和性質”的學習過程，符合學生的認知規律，學生可以在輕松自然的過程中完成這一階段的任務.

活動2：觀察探尋拋物線y=x2的特征.

觀察圖像，思考：你發現拋物線y=x2有什么特征？你是怎樣判斷出來的？指名讓學生作答，老師根據學生發表意見的層次，同時演示課件上的相關內容，讓學生進一步認識y=x2圖像的基本性質.

結論：這條拋物線關于y軸對稱，y軸就是它的對稱軸，對稱軸為x=0.對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點，頂點坐標為（0，0）.

設計意圖：讓學生觀察y=x2的圖像，探尋其幾何特征，輔之以課件動畫演示，增強幾何直觀能力.而且引入對稱軸方程和頂點坐標，初步地把形（對稱性、特殊點）與數（對稱軸方程、頂點坐標）結合起來，為下一步對y＝ax2（a≠0）的圖像的探究作出鋪墊.

點評：觀察圖像探尋性質，并把代數和幾何特征統一起來，要求具備較高的數學抽象思維和綜合（符號意識、幾何直觀、模型思想等）能力，若采取完全放手的“學”對很大一部分學生來說是不可取的；忽視數學過程的“講”即把對稱、頂點的結論直接拿出來，又相當于深入寶山空手而歸，既不利于數學能力的提高，也失去了對下一步學習的幫助.

活動3：再識拋物線y＝ax2（a≠0）.

（1）作函數y＝ax2（a≠0）的圖像.

如果我們改變二次項的系數，它的圖像會如何變化呢？帶著這個問題，引導學生舉例，從中選擇y＝2x2、y＝-2x2、y＝0.5x2、y＝-0.5x2這四個簡單的、具有代表性的函數，在四人小組內分工作圖，各組選取優秀作品展示到黑板上匯報說明.

（2）討論交流.

觀察單個圖像，你能發現什么特征？對比幾個圖像，你還能發現什么？

在這個過程中運用幾何畫板工具，讓學生直觀地看到當a變化時，圖像的變化規律，驗證學生的發現.（

3）歸納：拋物線y＝ax2（a≠0）的性質.

①填表：

y=ax2（a≠0）圖像（草圖）開口方向頂點對稱軸最高點或最低點最值a＞0　當x＝____時，y有最____值，是_____. a＜0　當x＝____時，y有最_____值，是_____.

②拋物線y＝x2與y＝-x2關于______對稱，因此拋物線y＝ax2與y＝-ax2關于_______對稱，開口大小_____.

③當a＞0時，a越大，拋物線的開口越______；當a＜0時，a越大，拋物線的開口越_______.因此，|a|越大，拋物線的開口越____，反之|a|越小，拋物線的開口越_______.

設計意圖：組內完成作圖后分步觀察：先看單個的圖像，能發現什么？再將幾個圖像放在一起對比觀察，還能發現什么？這樣不僅使學習更具有主動性，同時也使個人的想法得到糾正和補充.接下來各組代表上臺對黑板上展示的圖像交流說明，促進小組學習的積極性.而恰到好處地運用幾何畫板工具驗證學生的發現，符合課堂上及時反饋、評價、調控的教學要求，降低了學習難度.

點評：通過觀察“一個圖像”和對比“幾個圖像”完成知識從特殊到一般的歸納，而且整個過程避免了“注入”式的知識傳授方式，讓學生利用已有的知識、經驗，從開口方向、大小、對稱軸、頂點、最值等方面得出二次函數y=ax2（a≠0）的性質，再次認識拋物線，使本節課的難點得到化解，強化了學習重點.

環節3：鞏固新知

獨立完成，小組內交流與評價.

（1）填表：

開口方向　頂點對稱軸最高點或最低點　最值y＝5x2當x＝____時，y有最____值，是_____. y＝-8x2　當x＝____時，y有最_____值，是_____.

（2）拋物線y=ax2（a≠0）與y=x2的開口大小、形狀一樣、開口方向相反，則a=________.

（3）如圖，①y＝ax2，②y＝bx2，③y＝cx2，④y＝dx2.

比較a、b、c、d的大小，用“＞”連接：_______________.

（4）函數y=kx2和函數y=kx+k的圖像，在同一坐標系中的圖像大致如圖中的（）.

設計意圖：安排4道非常精練的小練習，及時鞏固所學知識，使學生品嘗到成功的喜悅.（1）和（2）直接復習了二次函數y=ax2的圖像特征，簡單易懂、面向全體.（3）和（4）蘊含“數形結合”的數學思想.對于（3），只要對開口大小理解了就不難解決.對于（4），可以由學生講解完成.先簡單回顧一次函數的相關性質，再小組內分析討論.

點評：在探究得到本節課的新知識后安排鞏固運用新知的小題是必要的，這四個題難度恰當，預處理設計可行.

環節4：課堂小結

通過本節課的學習：

（1）我知道了_______________________________；

學會了_____________________________________.

（2）本節課你還有什么收獲或體會？

設計意圖：課程結束前，讓學生從以下方面總結歸納：

我們是怎樣來作函數y=ax2（a≠0）的圖像并研究其性質的？

作圖像過程中，經歷了類比列表、描點、連線的過程，由有限個點進行猜想并驗證得到拋物線，連線的時候要用光滑的曲線.

函數y=ax2（a≠0）圖像和性質與a有關.（投影圖像的性質）

點評：通過課堂回眸，讓學生在品嘗成功的同時增強理解概念的信心，在發現不足的同時調整努力的方向，從而讓不同的學生得到不同的發展.

四、教學設計反思

本課是一節數形結合、探索理解性的典型的數學知識新授課.

1.教學過程之自我評價

（1）整堂課采用“引導直觀觀察、獨立探究思考、小組合作交流”的教學思想，沿著“借助信息技術，突出數學直觀，強調形數結合，發展思維能力”的思路展開.

（2）本節課的教學過程圍繞著核心概念和思想方法展開，以恰時恰點的問題引導數學活動，知識（形成與發展過程）線和思想方法（訓練）線兩線交織融合，讓學生在潛移默化中掌握本節課的核心概念和數學思想方法.

知識線（主線）：問題情境（生活中的實例）→數學模型（拋物線）→解釋（畫二次函數的圖像）→拓展（拋物線的對稱性、單調性、頂點、開口）

思想方法線（暗線）：猜想（二次函數的形狀）→類比（一次函數的畫法）→數學一般化（借助幾何畫板直觀認識拋物線）→觀察與歸納（結合a的取值，分類再觀察拋物線）→抽象與慨括（數形結合探索拋物線的性質）.

（3）本節課的教學方法符合學生的認知規律.

①類比作一次函數的圖像，讓學生動手作二次函數的圖像，“做中學”體驗了知識的探索過程.

②讓學生獨立觀察y=ax2的圖像，用層層推進的問題串啟發學生深入思考，主動獲取知識，通過小組合作，討論交流，在教師引領下從圖像發現規律，理解函數圖像的性質.

③讓學生經歷直觀觀察—分析判斷—歸納驗證的數學過程，有利于培養學生的合情推理能力和積極的情感態度.

④用幾何畫板輔助函數圖像教學，化靜為動、直觀形象，演示改變a的取值由圖像驗證學生猜想得到的性質，體現了由特殊到一般的數學思想，較好地解決了學生難以理解二次函數的圖像為什么是曲線和“函數圖像就是點的集合”的問題.

2.預設與生成之問題反思

本節課的教學設計和教學目標協調一致，充分做到以學生的發展為本，符合學生的思維規律，整堂課上在知識形成過程中既有學生的觀察與思考，又有學生的操作與表述；既有小組的合作交流，又有學生的自主探究；還有教師恰當的引導點撥.

3.課堂重建之再思考

①適時地歸納小結是數學課的魂.本節課有三處需要適時地歸納小結（二次函數的圖像是拋物線；a>0和a< 0時二次函數的圖像、性質），課堂結束前的歸納小結如何做得更好，怎樣進行小結才是一種升華而不顯重復，這是值得研究的問題.

②本節課內容比較多，這里采取了與課本相同的處理方式：先整體認識知識，再鞏固運用知識，這樣做符合課標強調對知識的整體認知的要求，有利于培養學生的能力；還可以先探究a>0時二次函數的圖像和性質，第二節課再討論a<0時二次函數的圖像和性質，在有些薄弱學校授課時按這種方式處理較好，有利于學生經歷知識的形成過程.

參考文獻：

1.顧繼玲.中學數學教學設計［M］.北京：北京師范大學出版社，2015.

2.章飛.數學教學設計的理論與實踐［M］.南京：南京大學出版社，2009.