一道模擬題的加強與改編*
——兼談零點存在定理應用的新視角

?

一道模擬題的加強與改編*
——兼談零點存在定理應用的新視角

廈門大學附屬實驗中學(363123)田富德

對數學試題的探究、改編可以有效促進數學教師的自身解題能力，提高數學教師的解題教學水平．解題與命題相互促進，其一，命題者可謂知其然又知其所以然，故命題者可以站在解題的至高點進行解題;其二，只有通過一定量的解題和對試題的深入探究思考，才能促進數學教師的命題水平．因些，中學數學教師對一些精彩的模擬試題、高考試題進行深入探究思考，方能提高自身的命題能力，站在解題的至高點引領學生破解各類創新試題．

1.原題及參考答案展示

試題來源徐州、淮安、宿遷、連云港四市2015屆高三第一次模擬考試第20題．

(Ⅰ)(Ⅱ)略;

參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)略;

2.試題的加強及解法

于是，我們可以將試題進行加強，得到如下：

我們可以進一步提高試題的難度，得到如下：

分析：本題等價于求x1+x2的取值范圍，我們可以設x1+x2=t，然后利用零點存在定理研究方程解的問題，來分析符合題意的t值．

3．解題策略

雙變量滿足某函數方程，求解雙變量線性表達式的范圍問題，我們可以歸納如下幾步：

第一步，設雙變量x1,x2的線性表達式αx1+βx2=t;

第二步，將其中一個變量x1(或x2)用另一個變量表示，代入雙變量所滿足的函數方程;

第三步，視t為常量，x1(或x2)為變量構造函數g(x)，轉化為研究函數g(x)的零點問題．解題的本質是引入參數，消去變量之一，構造函數，利用零點存在定理來解題．

4．策略應用

例(2010年高考數學天津卷理科第21題改編)已知函數f(x)=xe-x(x∈R)．

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間及極值;

(Ⅱ)略;

(Ⅲ)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，求x1+x2的取值范圍．

分析：利用文[1]、文[2]的解法均可以輕松證明x1+x2>2，但均未能說明2為x1+x2的下確界，以下利用零點存在定理來求解x1+x2的取值范圍．

解析：(Ⅰ)(Ⅱ)略;

(Ⅲ)不妨設x11．由條件知f(t-x2)=f(x2)，即x2e-x2+(x2-t)ex2-t=0(max{(t-1),1}

參考文獻

[1]邢友寶．極值點偏移問題的處理策略[J]．中學數學教學參考：上旬，2014(7)：19-22．

[2]賴淑明．極值點偏移問題的另一本質回歸[J]．中學數學教學參考：上旬，2015(4)：49-51．

*本文系2015年度漳州市基礎教育課程教學研究立項課題《高中數學解題教學現狀與優化》階段性研究成果.