一道拋物線定直線問題的再探究

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一道拋物線定直線問題的再探究

福建省莆田第五中學(351100)鄭劍暉

《數學通訊》2014年第5、6期(上半月)文[1]由2014年《福建省高考“集結號”最后沖刺模擬卷》中的一道壓軸題給出了拋物線焦點與準線的關聯性質及推廣，即結論1、2、3、4，并發現了拋物線另一優美性質，即結論5、6. 讀后頗受啟發，但覺意猶未盡.本文擬對這些結論進行推廣，并進一步探究拋物線在這一相同條件下的另一些優美性質. 先把結論1～6抄錄如下：

已知點A、B為拋物線C：y2=2px(p>0)上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限，直線l1、l2分別過點A、B且與拋物線C相切，點P為直線l1、l2的交點.

結論1 若直線AB過拋物線C的焦點F，則動點P在拋物線C的準線上.

結論2若動點P在拋物線C的準線上，則直線AB過拋物線C的焦點F.

結論3 若直線AB過定點Q(a,0)(a>0),則動點P在定直線x=-a(a>0)上.

結論4若動點P在定直線x=-a(a>0)上， 則直線AB過定點Q(a,0).

結論5若直線AB過拋物線C的焦點F，則以AB為直徑的圓過點P.

結論6若以AB為直徑的圓過點P，則直線AB過拋物線C的焦點F.

以上結論揭示了拋物線C的焦點與準線、類焦點與類準線的關聯性質，下面對以上性質進行推廣和再探究.

一、再探究1：探究結論的推廣

上述結論1、2分別是結論3、4的特殊情況，而結論3與結論4、結論5與結論6互為逆命題 .能否把結論3、4，結論5、6推廣到更一般的情形？

先看結論3、4，若把其中直線AB所過的“定點Q(a,0)”推廣為“定點Q(a,b)”，那么動點P是否在某定直線上？

設動點P(x0, y0)，則切點弦AB所在直線的方程為y0y=p(x+x0). 若直線AB過定點Q(a,b)(b2<2pa)，則有by0=p(a+x0)，即p(x0+a)-by0=0.這表明動點P(x0, y0)在定直線p(x+a)-by=0上； 反之，若點P(x0, y0)在定直線p(x+a)-by=0(b2<2pa) (在拋物線外部(不含焦點的區域)的部分)上，則有p(x0+a)-by0=0,即px0=by0-ap.代入直線AB的方程y0y=p(x+x0)，得y0y=px+by0-ap，即y0(y-b)=p(x-a).這表明直線AB過定點Q(a,b).由此可把結論3、4推廣為：

已知點A、B為拋物線C：y2=2px(p>0)上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限，直線l1、l2分別過點A、B且與拋物線C相切，點P為直線l1、l2的交點.

結論7直線AB過定點Q(a,b)(b2<2pa)，則動點P在定直線p(x+a)-by=0上.

結論8若動點P在定直線p(x+a)-by=0(b2<2pa)上,則直線AB過定點Q(a,b).

特別地，當b=0時，結論7、8分別為結論3、4.

對于結論5、6 ，其中“以AB為直徑的圓過點P”，即兩切線l1、l2的斜率k1、k2滿足k1k2=-1.若把其中直線AB所過的“焦點F”推廣為“類焦點Q(a,0)”，那么兩切線l1、l2的斜率k1、k2應滿足什么條件？

綜上，可把結論5、6推廣為：

已知點A、B為拋物線C：y2=2px(p>0)上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限，直線l1、l2分別過點A、B且與拋物線C相切，點P為直線l1、l2的交點.

二、再探究2： 探究新結論

在上述結論的條件下，拋物線C還具有哪些優美的性質？經探究，拋物線C還具有如下一些優美的性質：

已知點A、B為拋物線C：y2=2px(p>0)上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限，直線l1、l2分別過點A、B且與拋物線C相切，點P為直線l1、l2的交點.

結論11若直線AB過拋物線C的焦點F，則分別以PA、PB為直徑的圓均過拋物線C的焦點F.

結論12若分別以PA、PB為直徑的圓均過拋物線C的焦點F，則直線AB過拋物線C的焦點F.

結論15若直線AB過定點Q(a,0)(a>0)，且直線l1、PQ、l2的斜率k1、k2、k3均存在，則k1、k3、k2成等差數列,即k1+k2=2k3..

結論16若直線l1、PQ、l2的斜率k1、k3、k2均存在且成等差數列,即k1+k2=2k3.，則直線AB過定點Q(a,0)(a>0).

顯然，結論11、12是結論13、14的特殊情況，下面只證明結論13、14、15、16.

至此，我們完成了對文【1】的結論的推廣和再發現.

參考文獻

[1]卓文隆.一道拋物線定直線問題的推廣[J].數學通訊，2014(5、6)(上半月).