例說數學解題的思維過程

林瑞云

【摘 要】數學解題的重點在于培養學生的思維，運用數學思維方式去思考問題。文章通過具體例子談談數學解題的思維過程。

【關鍵詞】數學表象 數學直感 數學想象 邏輯證明 解題過程

數學常常被稱為“思維訓練的體操”，數學的這種思維價值可以通過有序的數學教學過程發揮出來，數學教學的目的應該在于培養學生的思維能力、解題能力和運用數學能力，從而運用數學思維方式去思考問題、分析問題、解決問題。在數學教學中揭露思維過程引起了人們的廣泛關注，揭露概念的形成過程，揭露命題的發現過程，揭露證明的探索過程，以及揭露這些過程中出現的錯誤等。本文從解題分析的角度舉一個簡單的例子，展示解題的思維過程。先給出題目：

已知平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，求證：EB=DF。

一、呈現數學表象

通過認真閱讀題目所提供的信息，首先在意識里呈現出一個幾何圖形，伴隨著這個幾何圖形的是一個代數問題：由位置與數量關系去確定另一個數量關系。如圖1。

在問題的引導下，思路開始運轉，腦子里出現一個平行四邊形的基本圖形，以及與此圖形有關的性質，如：平行四邊形對邊平行，對邊相等，對角相等，對角線互相平分，等等。所以由四邊形EBFD為平行四邊形→EB=DF。

由這個命題的基本圖形，在我們腦海里逐漸浮現出來：由條件E、F分別是AD、BC中點所想起的問題有：（1）E、F分別是AD、BC的中點能得到什么？（2）由平行四邊形ABCD能推導出什么結論？

一開始，“由平行四邊形ABCD這個條件能推導出什么結論”是一個開放性問題，我們似乎無從入手，不知道該往哪個方向去思考，但從要求證明的結論來看，隨著對結論的思考，思路慢慢清晰起來。

根據結論EB=DF，題目是否提供了相應的條件？如果沒有直接提供，那么是否間接提供了？等等。由此想起相關知識，從而聯想起更多的儲存知識：（1）平行四邊形對邊相等；（2）四邊形EBFD是平行四邊形嗎？（3）由已知條件能推導出“四邊形EBFD為平行四邊形”嗎？這是表象的一個有序深化的過程。

二、產生數學直感

上述三個方面的思考，促使我們更注意圖形，圖中有△ABE，△DCF，平行四邊形ABCD。哪些信息對于我們解題有用？哪些是多余的呢？當然，一開始我們并不知道，但是結論證明兩線段相等促使我們去考慮邊的關系。因為兩線段相等可從平行四邊形的性質得出，也可從兩個三角形全等或等腰三角形等角對等邊去判定，而已知給出了平行四邊形這個條件，所以我們的思路就集中到：從圖形中找邊所在的三角形或邊所在的平行四邊形。

這時，隨著問題的需要，圖1被分解出一系列的部分圖形，并呈現在我們眼前：

（1）圖（2）中△ABE與△CDF會全等嗎？四邊形EBFD是平行四邊形嗎？

（2）若△ABE≌△CDF，則需哪些條件？題目給出條件了嗎？由此我們又想到三角形全等的判定方法。

（3）若四邊形EBFD為平行四邊形，則需哪些條件？由此我們又想到了平行四邊形的五種判定方法，由題目給的條件，用哪種方法來判定四邊形EBFD為平行四邊形？

三、展開數學想象

對具體的感知和判別，使我們又看到AE=FC，AB=CD，∠A=∠C，從而可以判定△ABE≌△CDF。

由平行四邊形ABCD可得AD∥BC，AD=BC，由E、F為AD、BC中點，可導出ED∥BF，ED=BF，故四邊形EBFD為平行四邊形，從而產生新表象BE=DF。于是在數量關系AE=ED，BF=FC與BE=DF之間，在缺少聯系的畫面上，添上了幾個數量或位置關系：AD∥BC，AD=BC，ED=AD，BF=BC，ED∥BF，ED=BF。如圖3，則四邊形EBFD為平行四邊形。它們形成自然的邏輯關系，從而得出證明。

四、給出邏輯證明

證明1：

四邊形EBFD為平行四邊形EB=DF

證明2：

在ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C

∵E、F分別為AD、BC中點

∴AE=AD，FC=BC

∴AE=FC

在△ABE與△CDF中

AE=FC

∠A=∠C

AB=CD

∴△ABE≌△CDF中

∴EB=DF

這些證明是抽象思維的過程，表達得清楚，簡捷而嚴謹。而取得這些結果卻經歷了“表象—直感—想象”的形象思維過程，在得出EB=DF之前，平行四邊形是一個結論發散的開放題。為了與簡捷的邏輯證明相對照，我們將思考過程（證明）圖示如下：

五、反思解題過程

上述的思維過程，把“題”作為考察對象，把“解”作為研究目標，我們注重“解題思路分析”，并不是停留在解題研究這一階段上，而是把上述思維活動（包括問題和解題）作為研究對象，探究解題規律，學會如何思考，如何探究，分解每個解題過程具體的探究方法。

當然，證明過程也是一個思維過程，也需要我們去展示思維過程，并且這種展示比前一階段的揭露有更高的層次，需要更強的主動性，是培養思維批判性與深刻性較好的方法。下面對證明的書寫作出具體結構的分析。

（一）首先，將證明1分成三步

第一步，從平行四邊形ABCD中可以得出AD∥BC，AD=BC，這是由已知條件推出AD與BC位置與數量關系的過程；

第二步，把另一條件用上，即E、F為AD、BC中點，得出ED=AD，BF=BC，與AD∥BC，AD=BC結合起來，得出ED∥BF，ED=BF，這是由數量與位置關系推出新的數量與位置關系的過程；

第三步，由上述關系得出四邊形EBFD為平行四邊形，從而推出EB與DF的等量關系。

（二）其次，根據上面的思路分析，將證明1的過程加以充補

（三）解題中給出哪些條件，用到了哪些知識（或方法），先用哪些條件，后用哪些條件，哪些條件相關聯。只需將其再作補充，便可更直觀地看到，解題過程是這樣一個有用捕捉、有關提取、有效組合的“三位一體”的工作。通過分析解題思維過程，這個題目在解決過程中的知識結構與邏輯關系，進一步歸納出“什么叫解題”：從理解題意中捕捉有用的信息，從記憶儲存中提取有關的信息，并將這兩組信息組成一個和諧的自然的邏輯關系。

以上例題所示，經歷了“表象—直感—想象—論證—反思”的思維過程，前半部分主要是形象思維，后半部分主要是邏輯思維，在敘述中注重解題思維活動的再認識。

【參考文獻】

[1]羅增儒，鐘湘湖.直覺探索方法[M].鄭州：大象出版社，1999.

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