數學教學要關注學生的“真正理解”

王念利

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在其教學建議中指出：“數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。”還指出：“學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化。”同時又進一步指出：“為了幫助學生真正理解數學知識，教師應注重數學知識與學生生活經驗的聯系、與學生學科知識的聯系，組織學生……引導學生……”[1]這就凸顯了“理解”在學生掌握數學知識中的重要作用。“理解”一詞在歷次的課程標準（教學大綱）中都有陳述，而這樣濃墨書寫“理解”，將“理解”突出上升至“真正理解”的地步，著實值得我們思考。

一、 何為“真正理解”

日常教學中教師都非常重視學生對知識的理解。然而，什么才是學生的“真正理解”，或許下面的例子會給我們一些啟發。

案例：“兩位數乘三位數的筆算乘法”。

這是筆者批改小學生作業時遇到的案例。一般情況下，教材把三位數在前、兩位數在后的乘法算式編做例題。教師示范列豎式時，也常把三位數寫在上面，兩位數寫在下面，然后講解如何計算。如果練習中出現形如13×125的算式，而教師又沒做提示，學生會表現出以下幾種情況：第一種，空著不會列豎式，因為例題學的是三位數在上、兩位數在下，而兩位數在上、三位數在下不會算；第二種，將13×125看成125×13來計算（如圖1），這說明此類學生頭腦中有乘法交換律的意識；第三、第四種，學生按原樣書寫豎式，但計算過程卻迥然不同。第三種是學生分別用第二個乘數125的每一位上的數去乘第一個乘數13，即5×13、2×13（實際上是20×13）、1×13（實際上是100×13），再將每一次乘得的積對好位，最后將三次相乘的結果加起來（如圖2）。第四種是看著13在上面、125在下面，計算時卻當成125在上面、13在下面，先算3個125是375，再算10個125，最后把兩部分的積對應相加，思維過程等同于第二種方法（如圖3）。四種方法相比，第一種不會做，說明學生學習機械，不理解所學知識，不能靈活筆算乘法。后三種盡管選用方法不同，但實質相同——無論先用哪個數的某一位乘另一個數，都需對好積的位置，這說明學生理解算理，靈活算出了結果。細致比較一下，方法三和方法四盡管看著別扭，想著別扭，但是理解的層次卻比方法二還要有深度，因為計算的過程需要頭腦更清晰每步算的是什么，方能對位不錯。看似麻煩、別扭的方法三、方法四實質上蘊含了更復雜的思維過程，這更凸顯了學生對乘法筆算中積的對位問題的“真正理解”。

圖1 圖2 圖3

“真正理解”不僅意味著懂，還意味著能夠抓住本質，靈活應用知識，做到舉一反三、觸類旁通。

二、 如何在教學中讓學生“真正理解”

教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。教師教的方式影響著學生學的方式，也自然影響著學生的學習效果。要讓學生真正理解數學知識，就要做到以下幾點。

1.突出本質，幫助學生打通知識間的內在關聯

所謂數學理解，是學生對數學本質的深刻把握，對數學知識聯系的深刻洞察。學生不能靈活應用所學，往往是沒有溝通知識間的內在聯系，沒有把握住知識的內涵。所以，教師在教學中要有意識地讓學生在比較分析中，梳理知識間的關系，突出對數學知識本質的理解。

一位教師教學“整十數加、減整十數”（人教2013版小學數學一年級下冊），這是“100以內加減法”單元的第一課時。學生根據情境列出算式“10+20=”后，教師讓學生說說如何算。

生1：我蓋住0，先算1+2=3，再在3后面添一個0。

師：這是一種方法，還有嗎？誰會結合“數的組成”算算？

生2：10表示1個十，20表示2個十，1個十加2個十是3個十，10+20=30。

師：這兩種方法都可以，下面用你喜歡的方法做幾道練習。（出示習題：20+60= 30+10= 40+50=）

……

實際上，此片段教學中，無論是“蓋0法”還是“組成法”，其實質都是“相同數位的數相加減”。教師沒有關聯兩種算法，打通二者關系，將其共性“相同數位上的數相加”凸顯出來，而只是認可多樣化的方法，喜歡哪種算法就用哪種方法算。相對來說，學生喜歡“蓋0法”，因為簡單省事。“組成法”雖然也好，但說著麻煩，所以后續教學中，學生喜歡用“蓋0法”，運用“組成法”的人越來越少。

這則片段，單從練習正確率看似乎沒有問題，學生算得又快又準，效果多好啊！實際分析，我們會發現這兩種計算方法“隱性價值的缺失”。這節課作為“100以內加減法”的起始課，因為忽視梳理兩種算法的共同本質，因而一開始，“相同數位的數相加減”的道理就沒有在學生頭腦中留下深刻的印象。學生關注的是“怎樣算著快，方便，而沒有進一步思考這樣算的共同之處”。作為“100以內加減法”的第一課時，它的計算方法對后續學習起著奠基作用。

所以，數學教學中教師讓學生交流不同的想法，可以打開學生的思維。但還要有意識地幫助學生梳理不同想法，找出共性的東西，幫助學生認清事物的本質，促使學生的思維從表面走向深刻。

2.少些練習，讓學生充分經歷知識的探究過程

練習是鞏固知識、形成技能的必要環節。不少教師遵循“精講多練”的原則，把練習放到重要地位，通過大量練習讓學生掌握知識，熟練技能。比如，一位教師講解“面積單位間的進率”（人教2014版小學數學三年級下冊）。這節課分為四個環節：復習引入—新知學習—鞏固練習—課堂小結，各環節所用的時間比重分別是3分鐘、15分鐘、20分鐘以及2分鐘。其中，新知識的學習內容是：1平方分米=100平方厘米，1平方米=100平方分米。學習1平方分米=100平方厘米，教師采用的教學方法是，學生借助屏幕上的邊長為1分米（10厘米）的正方形，運用“問—答”的方式，使學生看到邊長是1分米的正方形，就知道其面積是1平方分米。如果這個正方形的邊長以厘米為單位，那么該正方形也可以看做邊長為1厘米的100個小正方形的面積，從而推導出：1平方分米=100平方厘米。接著讓學生自己類推出：1平方米=100平方分米。然后就轉入了練習環節，盡管練習題目類型多樣，針對性強，但仍有學生混淆面積單位及長度單位的進率。這是因為學生在老師的“引領”下，循著教師的講解、演示，總結出了1平方分米=100平方厘米，然后依葫蘆畫瓢地推導出了1平方米=100平方分米。而實際上，學生的頭腦中并沒有形成1平方分米=100平方厘米，1平方米=100平方分米的清晰認知。

通常情況下，學生做面積單位換算類的題目，有個復雜的思維過程。他們要明白1平方分米是什么樣子，頭腦中要有1平方分米的正方形模樣。此外，他們頭腦中還要有邊長為1厘米的小正方形的模樣。接著，還要想象到或親自動手擺擺畫畫。借助這樣的想象、擺畫、觀察過程，學生頭腦中關于“1平方分米=100平方厘米”的關系才會清晰起來。經歷了這么詳細的思考過程，學生就容易把面積單位間的進率與長度單位之間進率區別開來。所以，1平方分米為何等于100平方厘米的過程要慢，要給予學生充分的思考、探究時間。學生經歷了1平方分米=100平方厘米的來龍去脈，不但對1平方米=100平方分米知其然，也知其所以然。

經驗告訴我們，學生體驗深刻，對知識的理解就透徹，就不容易遺忘。因此，少做一些習題，不會撼動學生對知識的理解和應用。學生探究充分，理解深刻就能抵消不少練習活動[2]。因此，若想使學生更好地獲得體驗、理解概念、建構知識，教師就要確保學生有“充分的探索時空”，讓學生在新知識學習階段充分經歷探究的過程。

3.抓住關鍵，讓學生在困惑處頓悟

學生不能真正理解知識，有時就是邁不過一個坎兒。教師遇到學生出錯，很著急，反反復復地講，講了很多遍，學生依然不明白，依舊老錯重犯。不是教師講得不清楚，也不是教師沒抓住學生的錯處講解，而是學生說不清楚自己哪兒糊涂，不能將老師所講和自己的經驗對接，認同老師所講。這就需要教師抓住學生的困惑處，幫助他們發現自己的問題，改變已有的錯誤認知，將教師的“講解”積極地內化到自己的認知結構中。

筆者曾經給某生講過一道“雞兔同籠”問題。學生解決“全班一共有38人，共租了8條船，每條船都坐滿了。大船每條坐6人，小船每條坐4人，大小船各租了幾條？”（人教2014版小學數學五年級上冊）。該生會用列表法解答此問題，但嫌麻煩，就用假設法。她的書寫過程如下：

假設8條全是小船

4×8=32（人）

38-32=6（人）

大船：6÷6=1（條）

小船：8-1=7（條）

我讓她驗算一下，“大船1條，小船7條”是否符合題意。她驗算后發現不對。接著，筆者讓她說出她寫的每步算式的意思。她能說出前兩步的意思，也發現第三步列式不對，可是不知道怎么列正確的算式。我問她有什么疑惑，她說，每次遇到假設法時，總在這一步出錯（即第三步開始出錯）。筆者明白了她的癥結，就順著她的思路往下講解：你把8條船都假設成了小船，一條小船坐4人，8條小船就坐了4×8=32（人），可是全班有38人，還剩6人沒船坐。這是因為你把大船都當作小船，每條大船少坐2人，那幾條大船少坐6人呢？講至此，學生忽地說：“我明白了”，并很快列出正確算式。之后她又指著算式逐一解釋，思路一清二楚，看來理解了假設法的含義，再做后面的習題就不費吹灰之力了。因此，教師別急著給學生講清楚，先讓學生說出自己的困惑，再針對其困惑處講解才可以事半功倍。

數學理解是構成學生有意義學習的基礎，無論是對數學概念、法則、公式、定律的學習， 還是對數學知識的應用，只有理解了，才能對數學知識進行正確的表征，學生才能靈活應用所學知識。所以，教師在數學教學中要關注學生的“真正理解”。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2] 岳德明，何雪芳.關于小學數學教師“過程與方法”實施情況的調研報告（下）[J].小學教學，2010（3）.

【責任編輯：陳國慶】