關于“反比例函數的應用”課例及分析

翁海仁

[摘 要] 《義務教育數學課程標準》（2011版）倡導過程教育，但在以“反比例函數的應用”為載體的研修活動中筆者發現，課堂教學普遍與過程教育存在偏差，鑒于此，筆者在重復觀課與反思的基礎上，對這節課的教學進行了重構，改進后的教學得到了同仁的認可.

[關鍵詞] 過程教育；反比例函數的應用；教學方法；教學分析

■ 背景介紹

《義務教育數學課程標準》（2011版）（以下簡稱《課標（2011版）》）倡導過程教育，以全面發揮數學的育人功能，但筆者在以浙教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第六章第3節“反比例函數的應用”為載體的“多人同課異構”式的研修活動中發現，課堂教學普遍與過程教育存在偏差，也沒有體現以學為中心的中心思想. 筆者網上查閱同類課例后也發現了類似現象，鑒于此，筆者在重復觀課與反思的基礎上，對這節課的教學進行了重構，改進后的教學過程與效果得到了同仁的認可，現將其整理出來，以饗讀者.

■ 教學實錄

環節1：經歷回顧并提出問題的過程——明確要研究的問題

師：我們知道，若問題中的變量x，y滿足“xy=k（k為常數且k≠0）”，則可直接列出反比例函數的關系式. 對于簡單的“確定性”問題（根據條件能直接確定兩個變量的變化關系是反比例函數），我們已有給定一個變量的值或范圍求另一個變量的值或范圍的經歷與經驗，那么怎樣解決“不確定性”問題（有些問題只提供部分數據，不能直接確定其函數解析式）和帶有多個限制條件的問題呢？本節課就來研究解決這類問題的方法. （揭示課題）

環節2：回顧解決“確定性”問題的方法，體會“數”與“形”方法的優缺點

師：現在我們一起來分析并解決下列問題1.

問題1？搖 設△ABC中BC邊的長為x（cm），BC邊上的高為y（cm），△ABC的面積為常數，且y關于x的函數圖像經過點（3，4）.

（1）y關于x的函數表達式是什么？

（2）自變量x的取值范圍是什么？函數值y的取值范圍是什么？

（3）當x=4時，y的值是多少？當2

師：根據題意，y關于x是什么類型的函數？為什么？

生1：y關于x是反比例函數，因為“△ABC的面積”是常數.

師：好的. 誰來回答第（1）問？

教學分析

“反比例函數的應用”是認識反比例函數應用的繼續——從解決簡單的“確定性”問題到解決“不確定性”問題和有多個限制條件的較復雜的實際問題. “根據問題提供的條件建立反比例函數模型→用待定系數法求出反比例函數表達式→用反比例函數的表達式或其圖像解決給定一個變量的值或范圍求另一個變量的值或范圍的問題”的過程具有普適性，也有能力發展點、個性和創新精神培養點，其蘊涵的建模思想、數形結合思想、變化與對應思想、函數問題轉化為方程問題的思想等是數學中的重要思想. 求實際問題變量的取值范圍的經驗、用“數”與“形”兩種方法解決函數問題的經驗、解決帶有多個限制條件的實際問題的經驗，這些對發展學生的智力有積極的影響. 《課標（2011版）》（課程內容）對反比例函數的應用提出的教學要求是“能用反比例函數解決簡單的實際問題”，目前，在這節課的教學中，普遍存在建立反比例函數模型的認知過程短暫和解決問題之后反思過程缺失等問題，導致不能滿足學生內化思維和思想的需要，也不利于發展學生的能力與個性. 本課例根據《課標（2011版）》提出的教學要求和教材意圖，將其教學立意于“感悟思想，積累經驗，發展能力與個性”，并以教材提供的題材為載體，從學生已有的知識與經驗出發，運用具體到抽象的思維方法及教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式，引導學生經歷了完整的認知過程. 在問題1的教學中，既有“分析→列式→求解→作答”的過程，又有解決問題之后的反思，以積淀求實際問題自變量取值范圍的經驗和感悟“數”方法與“形”方法的優缺點. 在問題2的教學中，既有“分析→畫圖→估計→列式→驗證→求解→作答”的過程，又有解決問題之后的反思，以感悟建模思想方法. 在問題3的教學中，既有“分析→列式→求解→作答”的過程，又有解決問題之后的反思，以感悟“通解”到“特解”的思維策略. 這體現了過程教育和以學為中心的思想，也遵循了問題解決教學的基本規范，能全面發揮其育人功能.

因此，問題解決教學，要選擇有代表性的問題，要引導學生經歷“分析→列式→求解→檢驗→作答→反思”的過程，使學生在良好的學習氛圍中，理解和掌握數學的知識與技能，體會和運用數學的思想與方法，積累數學活動經驗，發展發現問題與提出問題的能力和分析與解決問題的能力，及形成敢想、敢說、敢于創新的良好個性.