探究一次函數模型的應用

陳曉燕

[摘 要] “來源于生活，應用于生活”是數學本質所在. 將生活中的問題抽象為數學模型，進而利用數學模型來解決問題是數學應用于生活的重要體現. 本文抽象出地鐵票價、乘客量與盈利之間的關系，通過變式引導學生對數學模型的應用展開探究，使得數學知識在生活中有了用武之地.

[關鍵詞] 一次函數；模型應用；地鐵票價；盈利；虧損

在學習某一數學知識的過程中，學生經常會提出這樣的問題：老師，學了這個知識有什么用？如果我們回答：為了解題，為了考試. 顯然沒有說服力. 就目前我們所學的知識，難道真的找不到它的用武之地嗎？本文以筆者所上的一節“一次函數模型應用”課為例來說明函數的應用.

在本次課之前，筆者所教授的班級已經學習了正比例函數與一次函數，教學片段展示如下.

問題1：你能用我們學過的函數模型近似地描述“某地鐵線路的盈利額與乘客量之間的關系”嗎？

生：首先應確定票價，設票價為a，設盈利額為y，乘客量為x，則可用正比例函數模型，即y=ax來描述.

師：大家同意該生的觀點嗎？

生：結合實際情況來看，地鐵運營要有固定的成本，所以當乘客數x=0時，利潤y應為負值，所以它應該是一次函數模型，即y=ax+b.

師：好，我們來回顧一下一次函數的相關知識.

生：一次函數的關系式是y=kx+b，其圖像是一條直線. 當k>0時，y隨x的增大而增大. 若b>0時，則直線過第一、二、三象限，如圖1所示；若b<0時，則直線過第一、三、四象限，其圖像如圖2所示.

當k<0時，y隨x的增大而減小，若b>0時，則直線過第一、二、四象限，如圖3所示；若b<0時，則直線過第二、三、四象限，其圖像如圖4所示.

師：在這里k起到什么作用？

生：反映了直線的傾斜程度，當k>0時，k越大，直線越陡峭；k越接近于0，直線越平緩. 當k<0時，k越小，直線越陡峭；k越接近于0，直線越平緩.

師： 那么這個函數的圖像大致形狀是什么樣的？

生：如圖2所示.

師：同學們是否有異議？

生：函數是有定義域限制的，乘客量應是正整數，而且是有限的，所以該函數的圖像應為在某條線段上的一些整點.

師：非常好！為了研究方便，我們就近似地用直線來表示這個函數的圖像.

評析：通過問題的引入，引導學生聯系所學知識與生活問題建立關聯. 但要注意生活問題因有其實際意義，故不能直接套用所學數學模型，應根據實際問題對函數模型進行相應的調整. 將生活中的數學問題構造出的模型，大多為一種符號模型，即把題目中的已知量、未知量、常量、變量分別列出，再添加題目的各種約束條件，進而得出相應的數學結論.

問題2：如果目前這條線路處于虧損狀態，你們有什么辦法令其扭虧為盈嗎？

生：提高票價.

師：雖然簡單粗暴，但確實是行之有效的辦法. 如果提高了票價，那么函數的圖像有什么變化？

生：提高票價，即直線的傾斜程度變得更陡峭，如圖5所示.

師：當然，票價提高多少，還需要做科學的調查，我們在此先不做深入研究. 還有沒有其他的辦法？

生：降低成本.

師：你很有奉獻精神. 如果降低了成本，函數的圖像又會有什么變化？

生：票價不變，說明直線的傾斜程度不變，直線向上平移，如圖6所示.

師：當然實際情況可能不像我們所想象的那樣簡單，地鐵公司可能有更科學的定價方案.

評析：通過對問題1進行變式，由函數模型與實際問題的關系，利用函數模型實現對實際問題的處理，從而提出有針對性的策略.

問題3：請同學們思考一下，如果我們也近似用一次函數模型來表示，那么隨著票價的增加，乘客量會有什么變化？

生：票價越高，乘坐地鐵的人就會越少. 設票價為x，乘客量為y，則y=kx+b（k<0）.

師：若票價與乘客量之間的關系如圖7所示，則票價為多少時，盈利額最大？

生：由圖知，當票價x=1時，y=10；x=5時，y=2.將其代入直線方程y=kx+b，得k+b=10，5k+b=2， 解得k=-2，b=12.所以函數關系式為y=-2x+12.

師：能否求出盈利額的最大值？以及當盈利額最大時，票價應定為多少？

生：設盈利額為L，成本為B，則有L=x（-2x+12）-B. 因此當票價x=3時，盈利額最大，最大值為18-B.

師：函數模型確定以后，我們就可以用于決策方案的確定. 當然具體問題的處理不像我們所設想的這樣簡單.

評析：把生活問題轉化為相應的數學模型后，再根據要求對該模型進行求解.通常情況下，把實際應用問題數學化之后，生活問題便成為普通的數學問題了.

問題4：該地鐵公司決定實行按照乘車里程分段計價. 方案如下：

乘坐地鐵方案6公里（含）內3元；

6公里至12公里（含）4元；

12公里至22公里（含）5元；

22公里至32公里（含）6元；

32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.

已知在某段線路上，任意一站到A站的票價不超過5元，現從那些只乘坐該線路地鐵，且在A站出站的乘客中隨機選出120人，他們乘坐地鐵的票價統計如圖8所示. 如果從那些只乘坐該線路地鐵，且在A站出站的乘客中任選1人，試估計此人乘坐地鐵的票價小于5元的概率.

生：記事件A為“此人乘坐地鐵的票價小于5元”. 由統計圖可知，得120人中票價為3元、4元、5元的人數分別為60，40，20.

所以票價小于5元的有60+40=100（人）.

故120人中票價小于5元的頻率是=.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

所以估計此人乘坐地鐵的票價小于5元的概率P（A）=.

師：使用市政交通一卡通刷卡，每自然月內每張卡支出累計滿100元以后的乘次，價格給予8折優惠；滿150元以后的乘次，價格給予5折優惠；支出累計達到400元以后的乘次，不再享受打折優惠.

某同學上學，需要乘坐地鐵15.9公里到達學校，每天上下學共乘坐兩次，每月按上學22天計算. 如果該同學每次乘坐地鐵都使用市政交通一卡通，那么他每月第21次乘坐地鐵里時，他刷卡支出的費用是________元；他每月上下學乘坐地鐵的總費用是_______元.

生：該生每天的上下學的費用分別為5元，即每天10元. 10天后花費100元，第21次乘坐地鐵時，價格給予8折優惠，此時花費5×0.8=4元.

10天后的費用為100元，再過6天后花費8×6=48元，此時合計花費148元.

第17天上午累積花費148+4=152元，從第17天的下午開始車費為5×0.5=2.5元. 此時到22天結束還需要要乘車11次，需要花費2.5×11=27.5元.

故合計152+27.5=179.5元.

答案為4；179.

評析：通過仔細審視題目信息，弄清題目中的每一個詞語的含義，深入挖掘其中所涉及的隱含信息；再將題目中生活、生產中的語言準確地用我們所學數學語言表達出來，分清條件和結論，理順題目中各種數量之間的關系，聯想歸結為自己所熟悉的某種基本數學關系.

總之，應用函數模型解決實際問題時可遵從如下步驟：首先，對實際問題進行模型概括：探究實際生活問題中各變量間的關系，并用x，y分別表示問題中的變量；其次，確立函數模型：將變量y表示為x的函數，建立的函數模型即為函數的解析式；最后，求解函數模型：根據實際生活問題所需要解決的目標及函數式的結構特點，準確選擇相應的函數知識求模型的解，并將所得結論應用到實際問題中.

當然，數學模型的應用不僅局限于此. 數學來源于生活，應用于生活，我們要善于觀察身邊的事物，用所學的知識去解決生活中的問題，讓數學變得不再枯燥. 筆者在此拋磚引玉，希望對讀者有所啟發，共同探究應用數學知識解決生活問題，真正實現學有所用、學以致用.