如此解題，我有“異”見(jiàn)

彭小永

[摘 要] 沒(méi)有研究就沒(méi)有好的教學(xué)，好的解法會(huì)令學(xué)生終生難忘，但如果我們教師不小心將一些錯(cuò)誤解法作為完美的數(shù)學(xué)模型傳授給學(xué)生，卻可能給學(xué)生的終身發(fā)展帶來(lái)極大障礙. 本文在分析兩種典型的錯(cuò)誤解法的基礎(chǔ)上，提出了兩個(gè)可供大家參考的建議.

[關(guān)鍵詞] 創(chuàng)新；核心素養(yǎng)；最短路徑；勾股定理

“十三五”規(guī)劃提出了教育要堅(jiān)持優(yōu)先發(fā)展、育人為本、改革創(chuàng)新的思想. 作為掌握著祖國(guó)未來(lái)命運(yùn)且戰(zhàn)斗在一線的人民教師，應(yīng)該嚴(yán)格奉行陶行知先生“千教萬(wàn)教教人求真”的理念，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）的指引下，堅(jiān)持“有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂(lè)意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、有探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去”的方針，以提高全民的核心素養(yǎng)為使命，積極投身教育教學(xué)改革，使人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育.

在參加骨干教師脫產(chǎn)國(guó)培期間，筆者介紹了學(xué)生在數(shù)學(xué)作業(yè)中經(jīng)常犯的兩個(gè)錯(cuò)誤，結(jié)果引起一陣騷動(dòng)，因?yàn)楹芏鄶?shù)學(xué)教師在此之前都沒(méi)有對(duì)這兩個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論做過(guò)深入研究，長(zhǎng)期按照錯(cuò)誤的方法對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行批改，學(xué)生對(duì)此卻深信不疑，并把它當(dāng)作最好的數(shù)學(xué)模型加以廣泛運(yùn)用. 因此，筆者認(rèn)為很有必要與大家進(jìn)行分享.

關(guān)于求解最短距離的問(wèn)題

1. 距離之和最短的問(wèn)題

在學(xué)習(xí)“兩點(diǎn)之間線段最短”這部分內(nèi)容時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到這樣一類問(wèn)題：

例1：A，B兩村在公路EF的同側(cè)，A村離公路的距離AD為1千米，B村離公路的距離BC為2千米，C，D之間的距離為4千米. 如圖1，現(xiàn)要在公路邊修建一個(gè)倉(cāng)庫(kù)P，使它到A，B兩村的距離之和最小.

解答這類題時(shí)，我們常常作A點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，再作A′M∥EF，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖2.

由勾股定理得：A′B==5.

由對(duì)稱性可得：PA+PB=PA′+PB=A′B=5.

結(jié)論是：將倉(cāng)庫(kù)建在點(diǎn)P處，它到兩個(gè)村莊的距離之和最小.

（備注：如果作點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)B′，可得到同一個(gè)P點(diǎn)）

發(fā)現(xiàn)這種解答方法后，很多教師便將“作對(duì)稱點(diǎn)”作為一種經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型灌輸給學(xué)生，學(xué)生在求解“最短路徑”這類問(wèn)題時(shí)，生搬硬套，造成失誤而不自知.

2. 最短路徑問(wèn)題

例2：如圖3，A，B兩個(gè)村莊離公路EF的距離AD與BC分別為1千米和3千米，CD=3千米. 現(xiàn)要在河岸EF邊建一個(gè)水廠向兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管所需的費(fèi)用為每千米20000元. （1）請(qǐng)?jiān)贓F上選擇水廠的位置，使得鋪設(shè)水管所需費(fèi)用最省；（2）鋪設(shè)水管的最低費(fèi)用是多少？

在解答這類習(xí)題時(shí)，很多人按照例1的解答方式：

如圖4，由勾股定理得：A′B==5.

由對(duì)稱性可得：PA+PB=PA′+PB=A′B=5.

最后得出此題的結(jié)論是：將水廠建在點(diǎn)P處時(shí)，所需鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，為100000元.

不僅有很多同學(xué)這樣解答，而且很多知名的解題網(wǎng)站提供的解答方法也是如此，很多數(shù)學(xué)教師也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.

其實(shí)，這一結(jié)論是錯(cuò)誤的，我們不妨做如下探討：

如圖5，若水管為DA和AB，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于N，由勾股定理得：AB==.

因此，水管長(zhǎng)度為（+1）千米，這個(gè)長(zhǎng)度比5千米短，更節(jié)省費(fèi)用.

3. 錯(cuò)因分析及對(duì)策

究其例2解答錯(cuò)誤的原因，主要是照搬例1的解法，而沒(méi)有注意到例1中有“使它到A，B兩村的距離之和最小”的語(yǔ)句，而例2實(shí)際上只需求出“最短路徑”就行了，兩者存在重大差距.

也就是說(shuō)，大家今后遇到這類問(wèn)題，不能生搬硬套資料上或課堂上教師講解的方法，而應(yīng)該首先審清題意，再確定合理的解題方法. 對(duì)例2這種只需求出最短路徑的題型，上述兩種情況都應(yīng)考慮，得出具體數(shù)據(jù)后，再進(jìn)行比較才能得出結(jié)論.

關(guān)于螞蟻怎樣走最近的問(wèn)題

1. 教材引例

“北師大版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)”第13頁(yè)的引例：

例3：如圖6，有一個(gè)圓柱，它的高等于12 cm，底面圓的周長(zhǎng)為18 cm，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？

這個(gè)問(wèn)題的解答，通常是把圓柱沿著它的一條母線剪開(kāi)，展開(kāi)成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖7，從而把曲面上的路線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上A，B兩點(diǎn)間最短距離問(wèn)題. 由勾股定理，很容易得出螞蟻沿著圓柱側(cè)面爬行的最短距離為15 cm.

有了這個(gè)例3的示范，很多學(xué)生（包括部分教師）根本不管題目的描述是否有變化，都將上述解法作為唯一模式而廣泛應(yīng)用.

2. 變化后的習(xí)題

很多習(xí)題刪掉了“沿圓柱側(cè)面爬行”這幾個(gè)最關(guān)鍵的字，那結(jié)果還會(huì)一樣嗎？

例4：如圖8，有一個(gè)圓柱，它的高等于4 cm，底面半徑為5 cm，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的B處的食物，螞蟻爬行的最短路程是多少？

按例3的思路，我們很容易得出螞蟻從側(cè)面爬行的最短距離為：

≈16.2（cm）.

但如果螞蟻按A—C—B的路線爬行，只需要爬行4+2×5=14（cm），這個(gè)爬行距離小于從側(cè)面爬行的距離.

所以，在習(xí)題中如果沒(méi)有指明爬行的方法，例4的兩種算法都有必要，在計(jì)算出結(jié)果后，通過(guò)比較才能得出正確答案.

3. 爬行方法的探討

如圖9，若一個(gè)圓柱的底面半徑為r，高度為h，一只螞蟻從點(diǎn)A到點(diǎn)B，到底是選擇沿側(cè)面爬行，還是沿著A—C—B爬行才是最短距離呢？

我們不妨假設(shè)兩條路線的距離相等，找出它的臨界點(diǎn)：

即=2r+h.

兩邊平方得：π2r2+h2=4r2+4rh+h2.

整理得：=≈.

也就是說(shuō)，圓柱的半徑與高度之比略為2 ∶ 3時(shí)為臨界點(diǎn)（具體比例如上）. 若圓柱的半徑與高度之比大于這個(gè)臨界值時(shí)，從直觀上看，這時(shí)的圓柱為矮胖型的，按圖中A—C—B的路線爬行的距離更短；反之，若圓柱的半徑與高度之比小于這個(gè)臨界值時(shí)，從直觀上看，這時(shí)的圓柱為瘦長(zhǎng)型的，沿圓柱側(cè)面爬行的距離更短.

在具體解題時(shí)，有時(shí)還要分析空心與實(shí)心、內(nèi)外表面等情境；在解答長(zhǎng)方體的表面兩點(diǎn)間的最短距離時(shí)，還要考慮多種展開(kāi)方式，再通過(guò)計(jì)算與對(duì)比分析，才能得出正確的結(jié)論. 作為學(xué)生，要有認(rèn)真審題的習(xí)慣，要有不唯書、不唯上的批判精神.同時(shí)，要學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.

兩點(diǎn)建議

1. 給教師的建議

沒(méi)有研究就沒(méi)有好的教學(xué)，創(chuàng)新是引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力. 在我們的日常教學(xué)中，我們只有努力成為一個(gè)研究型教師，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度治學(xué)，認(rèn)真深入地鉆研教材，防止在講解中出現(xiàn)知識(shí)性錯(cuò)誤，而給學(xué)生的終生發(fā)展帶來(lái)障礙.同時(shí)，教師應(yīng)積極營(yíng)造研究的氛圍，合理地使用教材，創(chuàng)新地使用班級(jí)的優(yōu)秀資源，如讓學(xué)生當(dāng)小老師等，讓他們?cè)谡n堂內(nèi)外充分闡述自己的觀點(diǎn)和看法，讓更多學(xué)生體驗(yàn)解決問(wèn)題的方法的多樣性，發(fā)展全體學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). “授人以魚，不如授人以漁”，我們教師的主要任務(wù)應(yīng)該是教會(huì)他們?cè)鯓訉W(xué)，并盡量讓他們掌握一些分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，提升其核心素養(yǎng)和競(jìng)爭(zhēng)力.

2. 給教材編寫者的建議

《新課標(biāo)》提出：在整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過(guò)程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，綜合實(shí)踐活動(dòng)是培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)很好的載體. 由于一些知識(shí)性錯(cuò)誤有可能給孩子的終生發(fā)展帶來(lái)巨大的影響，所以建議教材的編寫者應(yīng)盡量收集這方面的素材，將“螞蟻怎樣走最近”等內(nèi)容納入“綜合與實(shí)踐課”的范疇，或通過(guò)在教參中設(shè)置多個(gè)例題，提示教師引導(dǎo)學(xué)生去探討與分析. 通過(guò)師生互動(dòng)學(xué)習(xí)，達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng)的目的.