如此解題，我有“異”見

彭小永

[摘 要] 沒有研究就沒有好的教學，好的解法會令學生終生難忘，但如果我們教師不小心將一些錯誤解法作為完美的數學模型傳授給學生，卻可能給學生的終身發展帶來極大障礙. 本文在分析兩種典型的錯誤解法的基礎上，提出了兩個可供大家參考的建議.

[關鍵詞] 創新；核心素養；最短路徑；勾股定理

“十三五”規劃提出了教育要堅持優先發展、育人為本、改革創新的思想. 作為掌握著祖國未來命運且戰斗在一線的人民教師，應該嚴格奉行陶行知先生“千教萬教教人求真”的理念，在《全日制義務教育數學課程標準》（2011版）（以下簡稱《新課標》）的指引下，堅持“有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現實的、有探索性的數學活動中去”的方針，以提高全民的核心素養為使命，積極投身教育教學改革，使人人都能獲得良好的數學教育.

在參加骨干教師脫產國培期間，筆者介紹了學生在數學作業中經常犯的兩個錯誤，結果引起一陣騷動，因為很多數學教師在此之前都沒有對這兩個錯誤結論做過深入研究，長期按照錯誤的方法對學生的作業進行批改，學生對此卻深信不疑，并把它當作最好的數學模型加以廣泛運用. 因此，筆者認為很有必要與大家進行分享.

關于求解最短距離的問題

1. 距離之和最短的問題

在學習“兩點之間線段最短”這部分內容時，經常會遇到這樣一類問題：

例1：A，B兩村在公路EF的同側，A村離公路的距離AD為1千米，B村離公路的距離BC為2千米，C，D之間的距離為4千米. 如圖1，現要在公路邊修建一個倉庫P，使它到A，B兩村的距離之和最小.

解答這類題時，我們常常作A點關于EF的對稱點A′，再作A′M∥EF，交BC的延長線于點M，如圖2.

由勾股定理得：A′B==5.

由對稱性可得：PA+PB=PA′+PB=A′B=5.

結論是：將倉庫建在點P處，它到兩個村莊的距離之和最小.

（備注：如果作點B關于EF的對稱點B′，可得到同一個P點）

發現這種解答方法后，很多教師便將“作對稱點”作為一種經典的數學模型灌輸給學生，學生在求解“最短路徑”這類問題時，生搬硬套，造成失誤而不自知.

2. 最短路徑問題

例2：如圖3，A，B兩個村莊離公路EF的距離AD與BC分別為1千米和3千米，CD=3千米. 現要在河岸EF邊建一個水廠向兩村輸送自來水，鋪設水管所需的費用為每千米20000元. （1）請在EF上選擇水廠的位置，使得鋪設水管所需費用最?。唬?）鋪設水管的最低費用是多少？

在解答這類習題時，很多人按照例1的解答方式：

如圖4，由勾股定理得：A′B==5.

由對稱性可得：PA+PB=PA′+PB=A′B=5.

最后得出此題的結論是：將水廠建在點P處時，所需鋪設水管的費用最少，為100000元.

不僅有很多同學這樣解答，而且很多知名的解題網站提供的解答方法也是如此，很多數學教師也沒有發現問題.

其實，這一結論是錯誤的，我們不妨做如下探討：

如圖5，若水管為DA和AB，過點A作AN⊥BC于N，由勾股定理得：AB==.

因此，水管長度為（+1）千米，這個長度比5千米短，更節省費用.

3. 錯因分析及對策

究其例2解答錯誤的原因，主要是照搬例1的解法，而沒有注意到例1中有“使它到A，B兩村的距離之和最小”的語句，而例2實際上只需求出“最短路徑”就行了，兩者存在重大差距.

也就是說，大家今后遇到這類問題，不能生搬硬套資料上或課堂上教師講解的方法，而應該首先審清題意，再確定合理的解題方法. 對例2這種只需求出最短路徑的題型，上述兩種情況都應考慮，得出具體數據后，再進行比較才能得出結論.

關于螞蟻怎樣走最近的問題

1. 教材引例

“北師大版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級上冊”第13頁的引例：

例3：如圖6，有一個圓柱，它的高等于12 cm，底面圓的周長為18 cm，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點A相對的B處的食物，沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？

這個問題的解答，通常是把圓柱沿著它的一條母線剪開，展開成一個長方形，如圖7，從而把曲面上的路線問題轉化為平面上A，B兩點間最短距離問題. 由勾股定理，很容易得出螞蟻沿著圓柱側面爬行的最短距離為15 cm.

有了這個例3的示范，很多學生（包括部分教師）根本不管題目的描述是否有變化，都將上述解法作為唯一模式而廣泛應用.

2. 變化后的習題

很多習題刪掉了“沿圓柱側面爬行”這幾個最關鍵的字，那結果還會一樣嗎？

例4：如圖8，有一個圓柱，它的高等于4 cm，底面半徑為5 cm，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點A相對的B處的食物，螞蟻爬行的最短路程是多少？

按例3的思路，我們很容易得出螞蟻從側面爬行的最短距離為：

≈16.2（cm）.

但如果螞蟻按A—C—B的路線爬行，只需要爬行4+2×5=14（cm），這個爬行距離小于從側面爬行的距離.

所以，在習題中如果沒有指明爬行的方法，例4的兩種算法都有必要，在計算出結果后，通過比較才能得出正確答案.

3. 爬行方法的探討

如圖9，若一個圓柱的底面半徑為r，高度為h，一只螞蟻從點A到點B，到底是選擇沿側面爬行，還是沿著A—C—B爬行才是最短距離呢？

我們不妨假設兩條路線的距離相等，找出它的臨界點：

即=2r+h.

兩邊平方得：π2r2+h2=4r2+4rh+h2.

整理得：=≈.

也就是說，圓柱的半徑與高度之比略為2 ∶ 3時為臨界點（具體比例如上）. 若圓柱的半徑與高度之比大于這個臨界值時，從直觀上看，這時的圓柱為矮胖型的，按圖中A—C—B的路線爬行的距離更短；反之，若圓柱的半徑與高度之比小于這個臨界值時，從直觀上看，這時的圓柱為瘦長型的，沿圓柱側面爬行的距離更短.

在具體解題時，有時還要分析空心與實心、內外表面等情境；在解答長方體的表面兩點間的最短距離時，還要考慮多種展開方式，再通過計算與對比分析，才能得出正確的結論. 作為學生，要有認真審題的習慣，要有不唯書、不唯上的批判精神.同時，要學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力.

兩點建議

1. 給教師的建議

沒有研究就沒有好的教學，創新是引領發展的第一動力. 在我們的日常教學中，我們只有努力成為一個研究型教師，用嚴謹的態度治學，認真深入地鉆研教材，防止在講解中出現知識性錯誤，而給學生的終生發展帶來障礙.同時，教師應積極營造研究的氛圍，合理地使用教材，創新地使用班級的優秀資源，如讓學生當小老師等，讓他們在課堂內外充分闡述自己的觀點和看法，讓更多學生體驗解決問題的方法的多樣性，發展全體學生的創新意識. “授人以魚，不如授人以漁”，我們教師的主要任務應該是教會他們怎樣學，并盡量讓他們掌握一些分析問題和解決問題的方法，提升其核心素養和競爭力.

2. 給教材編寫者的建議

《新課標》提出：在整個數學教育的過程中都應該培養學生的應用意識，綜合實踐活動是培養應用意識很好的載體. 由于一些知識性錯誤有可能給孩子的終生發展帶來巨大的影響，所以建議教材的編寫者應盡量收集這方面的素材，將“螞蟻怎樣走最近”等內容納入“綜合與實踐課”的范疇，或通過在教參中設置多個例題，提示教師引導學生去探討與分析. 通過師生互動學習，達到教學相長的目的.