數學分析與復變函數論的類比教學研究

王宏宇　孟憲吉

[摘要]在數學體系里，數學分析與復變函數看似是兩門不同的學科，但是這兩者之間緊密相聯。對兩者之間的聯系進行研究，更好地對這兩類知識體系進行了解，應用類比的方法將二者的相同點和不同點細致區分。由此得出，解決復變函數的問題時可將其轉換為數學分析里的解決方法，但由于二者的不同之處，所以在此過程中要注意二者的不同。在教學過程中合理利用二者間的聯系，以達到更好地教學目的。

[關鍵詞]復變函數論；數學分析；教學

[基金項目]遼寧省普通高等學校本科教育教學改革研究項目（UPRP20140526）

相對于數學分析而言，復變函數是在其之后接觸的課程，是數學分析的拓展。二者在很多概念和理論上有共通之處，這就為我們在教學上提供了很好的便利。我們可以利用二者之間的聯系，對復變函數論的教學有一個更好的切入點。

從總體來看，數學分析與復變函數最大的區別就是：數學分析所研究的范圍是實數，而復變函數研究的自變量則是復數。單從這一方面來看，我們可以狹義的認為復變函數比數學分析所適用的范圍要更廣泛。這也正是在學習過程中學生感到二者之間相似所在。學習復變函數這門課程的同時更是提升數學分析的理論基礎的最好時段。正是由于實數到復數的拓展，才使得在實數范圍內不能解決的問題而在復數范圍內能用復數的理論解決，例如在實數范圍內x2+1=0無解，但是在復數范圍內卻有解。這也正是學習復變函數論的用途，同時這也從側面反映出數學分析與復變函數論二者的聯系。

一、相同之處

1。連續性

復變函數的連續性與數學分析里的函數連續性一致，都是說在一點的極限值與其函數值相等。例如，f（x）=sinx在數學分析里是連續函數；f（z）=sinz在復變函數里也連續。

2。可微性

在鐘玉泉所編撰的《復變函數論》一書里，第二章的解析函數中對復變函數的導數及微分的定義與數學分析里導函數的定義形式上相同，都是應用極限的思想對變量比值的極限取值，并且兩者的幾何定義都是一樣的。例如，f（x）=x在數學分析里是可微的，f（z）=z。

在復變函數里也可微。

二、不同之處

1。自變量

在鐘玉泉所編撰的《復變函數論》一書里，從第一章對復數及復變函數介紹的開始所引入的數域中，對復數的闡述與高中所接觸的知識重合，其中所涉及的復數的模和三角不等式都是我們在此之前說接觸過的。但從數學分析的整體來看，其課程的主要研究范圍是實數域，不涉及復數域。

2。初等多值函數

在數學分析的學習中，我們接觸的函數是單值函數。而在復變函數里，初等多值函數占據著舉足輕重的地位，對應關系是從一個集合的幾個元素對應到另一個集合的多個元素的問題，所以對于多值函數的研究是必要的。例如根式函數w=nz在w平面上是多值函數，并且不是解析函數。對于z=reiθ，ω=nz=nreiθ+2kπn，（k=0，1，…，n-1）。文獻[3]指出，根式函數w=nz出現多值性的原因是：當z確定后，其輔角并不唯一確定。為了得到單值解析分支，將z平面割破，割破的z平面形成了以割線為界的區域。在此區域內，對于任意一點的一個輔角值都可由指定一點的輔角的連續變化而唯一確定。下面以w=3z為例說明。

例： 由w=3z得w3=z，令z=reiθ，則有ρ=3r，3φ=θ+2kπ，其中（k=0，1，…，n-1）

由此可得，φ1=θ3，φ2=θ+2π3，φ3=θ+4π3。

即w1=3reiθ3w2=3reiθ+2π3w3=3reiθ+4π3。

所以，w=3z是多值函數。

3。復變函數的可積性

根據復變積分的定義，對f（z）積分其實是對u（x，y），v（x，y）的積分。所以在復變函數的積分計算問題中，這是一種計算思路。但相對于后續所接觸的柯西積分定理和柯西積分公式而言，定義所涉及的方法就不是那么常用了。柯西積分定理是針對于在區域內部都是解析的，并且在此區域內沒有奇點的被積函數而言，則由一閉曲線所圍成的路徑的積分值為零。例如，以|z|=r2 為積分路徑，對f（z）=z2進行積分，積分值為零。因為在積分區域內f（z）=z2沒有奇點，并且積分路線為一個閉曲線，所以由柯西積分定理得出該積分值為零。而在數學分析里，對f（x）=x2 進行積分時，應用牛頓-萊布尼茨公式所得的積分值只與起點和終點有關，而與積分路徑無關的一個定數。

柯西積分公式是f（z0）=12πi∫Lf（z）z-z0dz，用區域的邊界值代替區域內奇點的積分值的公式。在這里，主要應用柯西-古薩基本定理。在應用柯西積分公式時應該注意它的

使用前提：（1）在區域內有且僅有一個奇點。（2）對于f（z）而言，在規定區域內必須是解析的。例如，求積分∫Lezz（z-2）dz的值，其中L是圓環1≤|z|≤3。對于這道題而言，在所給區域內只有z=2時的一個奇點，并且這里的f（z）=ezz在此區域內解析，所以此題可以直接帶入公式求得積分值。但有些題是不能直接應用積分公式求解的，例如∫Lcoszz2-1dz，其中L為圓周|z|=2。對于上述的積分而言，在所給區域內有兩個奇點：1，-1。這時我們需要將原式因式分解，應用復周線的柯西積分定理將被積函數轉化為在區域內僅有一個奇點進行計算。所以正確解答為：

∫Lcoszz2-1dz=12（∫Lcoszz-1dz-∫Lcoszz-1dz）=12（2πicoszz=1-2πicoszz=-1）=0。

雖然兩者有本質上的差別，但在復變函數論的學習過程中，我們可以看出解決復數的問題時，很多都講其轉化為實數范圍內的問題。而當問題變到實數上求解時，我們自然的就想到數學分析里的知識體系，實際上也確實如此。例如，在證明復函數項級數收斂時，就將復數列的收斂證明轉化到實數列的證明，即實部和虛部的收斂證明。在連續性的問題上，二者雖然定義是共通的，但在證明上，我們將復變函數里的連續性轉化為實數范圍里的連續性，即實部與虛部的連續性，這也同樣變為數學分析里的連續性的證明。再如，證明復數列級數一致收斂的問題時，所應用的優級數判別方法是同樣也是將復數列轉化為實數列的證明，因為在這種方法下所取的收斂的正項優級數只與n有關，不涉及復數問題。而談到這里，我們也該想到數學分析里正項級數的一系列的證明方法，在這里就不一一說明了。

復變函數論和數學分析即緊密相聯，又各有不同。例如，在復變函數里，f（z）在區域內解析，那么就可以得出在此區域內原函數有各階導函數，并且各階導函數也解析，這在數學分析里是沒有的。再如，數學分析里的羅爾中值定理在復變函數里不能完全的套用。所以，在學習復變函數時應該仔細區分什么是能直接應用的，而什么不能。但是二者在一定程度上的相似之處正是為我們更好地了解它們的一個橋梁，所以，在教學過程中建議教師可以利用這兩者之間的聯系教學，將數學分析里的相關結論引入復分析的結論證明中。對于學生來講，舊的知識體系總要比新的知識更容易接受，同時促進新舊知識的銜接。在教學過程中必須說明兩者的區別，否者容易造成二者的混淆。