運用構造法解決三角函數題

由國清

[摘要]解決數學問題的方法很多，構造法是其中的一種基本方法。本文通過構造法，來解決三角函數問題

[關鍵詞]構造法；三角函數；應用

所謂構造法就是根據問題的條件或結論所具有的特征，通過構造一個相關的數學對象，實現問題的轉化，使轉化后的問題比原問題更易理解，更富啟發性，從而使問題得以解決。構造輔助元素的方法很多，在選擇構造方法的過程中要根據實際需要，使構造的輔助元素為問題的解決起到橋梁的作用。對于構造法也可以這樣理解：當某些數學問題使用通常的方法按定式思維去求解很難湊效時，應根據題設條件和結論的特征、性質展開聯想，即從一個目標想到曾經使用過可能達到該目標的結論、方法、手段，進而構造出解決問題的特殊模式。成功使用構造法解決問題是培養創造性思維能力的一種有效方法，并對培養學習數學的興趣有很大幫助。

構造法的方法很多，技巧性強，使用時沒有固定的模式，須根據具體問題采用相應的構造法。下面通過構造不同數學模型的例子，介紹一下構造法的應用。

一、構造三角形

例1 求cot10°-4cos10°。

解 根據三角形中的邊角關系，可構造如圖的三角形ABC，使∠C=90°，∠A=10°，BC=1，D為AC邊上的一點，且使∠BCD=30°，則BD=2且∠ABD=20°。

在△ABD中，由正弦定理得ADsin20°=BDsin10°。∴AD=BDsin20°sin10°=4cos10°。

又AC=cot10°，∴cot10°-4cos10°=AC-AD=3。

二 、構造方程

例2 已知ABC是△ABC的三個內角，且sinA≠sinB，（sinC-sinA）2 -4（sinA –sinB）（sinB-sinC）=0，求證：0

證明 ∵sinA≠sinB，∴可構造一元二次（sinA–sinB）x2+（sinC-sinA）x+sinB-sinC=0。

∵方程各項系數之和為0，∴1是方程的一個根。

又∵Δ=0，∴方程的另一個根也是1。

∴根據韋達定理得：sinB-sinCsinA-sinB=1。

2sinB=sinA+sinC。2sinB2cosB2=sinA+C2cosA-C2=cosB2cosA-C2。

∴sinB2=12cosA-C2≤12，∴0

三、構造函數

例3 已知x，y∈-π4，π4，a∈R且，

x3+sinx-2a=0

4y3+sinycosy+a=0

，求cos（x+2y）的值。

分析 看到這個題目，會有一種陌生感，這個題目既有代數式又有超越式，還有參數。通過題設消去參數a，可得x3+sinx=（-2y）3+sin（-2y）。因此，可構造函數f（x）=t3+sint，此函數在[-π4，π4]上遞增，又f（x）=f（-2y），∴x=-2y，即x+2y=0，cos（x+2y）=1。

四、構造橢圓

例4 已知cos4αcos2β+sin4αsin2β=1，求證：cos4βcos2α+sin4βsin2α=1。

證明 條件和橢圓方程很相似，構造橢圓x2cos2β+y2sin2β=1，

顯然P1（cos2α，sin2 α）P2（cos2β，sin2β）都在橢圓上，又過點P2的切線方程是x+y=1，而點P1也在直線x+y=1上，由切點的唯一性知P1和P2重合，故

cos2α=cos2β，sin2α=sin2β，∴cos4βcos2α+sin4βsin2α=cos2 β+sin2 β=1。

總之，從以上的例題（構造法不只限于上述提到的幾種），中容易看到：構造法在中學數學中應用十分廣泛，在解決問題中顯得靈活簡單，但也有思維跨度大的缺點，只要我們具備扎實的數學基本功，掌握基本的構造法解題技巧，對待問題能夠透過表面看本質，適當有效的進行知識的遷移和重組構造，就能理解構造法的內涵，靈活運用構造法去解題。激發學生的學習的興趣，豐富學生的想象力和思維的創造力，從而培養學生的構造意識和探索精神。