基于彈性基礎的多級并聯調諧質量阻尼器設計

賀小龍，張立民，屈晶晶，郭力榮，周　輝(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，成都610031)

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基于彈性基礎的多級并聯調諧質量阻尼器設計

賀小龍，張立民，屈晶晶，郭力榮，周輝
(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，成都610031)

摘要：基于結構彈性基礎假設，建立多級并聯調諧質量阻尼器數學模型，獲取彈性基礎阻抗特性，推導主系統振幅無量綱表達式。研究發現地基彈性振動對主系統的影響不可忽略，結合多級并聯調諧質量阻尼器對振動衰減的優勢，提出對考慮彈性地基的多級并聯系統進行優化設計的必要性。分析梁的連接位置距端部長度u對主系統影響規律：u值越小，梁的彈性振動對主系統的影響程度就越小；當u≤1 m，梁第1階固有頻率與主系統第1階固有頻率不發生耦合振動，中間位置（u=2 m時）影響最大。并對此情況下2級并聯和4級并聯系統參數進行優化設計，優化結果表明：不考慮彈性地基的多級并聯系統優化結果對于彈性地基下多級并聯系統不再適用，考慮梁的彈性結合數值優化法對多級并聯系統進行優化能很好削弱梁的彈性振動對主系統的影響。最后研究連接點動剛度對主系統的影響：當連接點動剛度K≥40 kd時，梁第1階固有頻率對主系統前三階固有頻率影響較小；當K≥70 kd時，可忽略彈性梁對調諧質量阻尼器設計的影響。

關鍵詞：振動與波；彈性梁；多級并聯；調諧質量阻尼器；優化設計

調諧質量阻尼器（dynamic vibration absorber，DVA）作為一種在穩定振動情況下簡單有效的振動控制裝置，在工程中得到廣泛應用[1]。調諧質量阻尼器包含質量、剛度和阻尼等設計參數，與被減振物體相連接，吸收振動能量，從而達到衰減被減振物體強迫振動響應的目的。自Den Hartog[2]提出了調諧質量阻尼器最優設計方法以來，很多學者都對更為復雜結構的調諧質量阻尼器參數設計進行研究。日本學者背戶一登對n級并聯調諧質量阻尼器（multiple tuned mass dampers，MTMD）參數進行設計[3]，代林建立剛性基礎下n級并聯調諧質量阻尼器的通用模型[4]，但是都未考慮地基彈性連接對主系統振動的影響；姚斌輝考慮了基礎彈性情況下單調諧質量阻尼器（Tuned Mass Dampers, TMD）設計[5]，左秋陽分析了MTMD對彈性基礎隔振系統性能的影響[6]，但是都未研究彈性地基下多級并聯調諧質量阻尼器系統的優化設計規律。

本文給出彈性地基下多級并聯調諧質量阻尼器的建模與計算方法，聯合彈性梁的阻抗特性，推導主系統振幅放大系數無量綱表達式。研究發現地基彈性振動對主系統的影響不可忽略，結合多級并聯調諧質量阻尼器對振動衰減的優勢，提出對考慮彈性地基的多級并聯系統進行優化設計的必要性，利用數值優化法對多級并聯系統進行了優化設計：對比了考慮彈性地基和不考慮彈性地基條件下多級并聯系統的優化設計結果對主系統的影響，結果表明對考慮彈性地基下的多級并聯系統進行整體優化設計可以較好地控制梁的彈性振動對主系統的影響。分析彈性梁的不同連接位置對主系統的影響：連接位置越靠近梁的兩端，梁的彈性振動對主系統影響就越小，連接在梁中間位置可使主系統振動幅度放大4倍。最后分析連接點動剛度對系統的影響：當K≥40 kd時，梁的第1階固有頻率對主系統的三個固有頻率沒影響；當K≥70 kd時，此時可忽略彈性梁對調諧質量阻尼器設計的影響。數值優化法在多級并聯系統優化設計中具有一定工程實用性。

1　彈性地基下n級并聯調諧質量阻尼器系統建模

1.1系統建模

圖1為彈性地基下n級并聯調諧質量阻尼器系統，以簡支梁作為模型的彈性基礎。ms、ks、cs和xs為主系統質量、剛度、阻尼以及位移。xd為簡支梁的位移，mi、ki、ci和xi分別為第i級調諧質量阻尼器的質量、與主系統連接的剛度和阻尼以及位移，激勵力F=F0sin ω t。

圖1　彈性地基下n級并聯調諧質量阻尼器系統

該力學模型的運動方程式為

第i級調諧質量阻尼器微分方程為

彈性地基受力微分方程為

式中kd、cd、md分別表示彈性地基在連接點上等效剛度系數、阻尼系數和質量參數。

將以上式寫成矩陣的形式

將式（4）由時域轉換到頻域，可得

由式（5）得到系統振幅放大矩陣，即

將上述定義變量帶入式（6）可得

其中無量綱的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣分別為

其中剛度矩陣[ ] K中變量Kd為主系統與梁連接點的阻抗。

主系統的振幅放大系數為

1.2彈性梁連接點阻抗計算

由簡支梁理論可知，梁中部的位移阻抗（動剛度）計算公式為[6]

其中m為梁的質量，l為梁的長度，u為梁連接點距梁左端的距離，ωi為梁的第i階固有頻率，ω為激勵頻率。梁的第i階固有頻率為

其中E為梁的彈性模量，I為截面慣矩，ρ為材料密度，A為梁截面面積，l為梁長度。

1.3多級調諧質量阻尼器參數優化

當調諧質量阻尼器數量為1個，無阻尼主系統位移幅值曲線上存在與吸振器阻尼系數大小無關的點，因此可以通過定點理論來求解。但是對于n級并聯調諧質量阻尼器的設計，這里采用數值優化方法進行優化[7]。優化目標函數描述為

其中優化參數為頻率比λi和阻尼比，為主系統振幅放大系數無窮范數。通過粒子群數值優化算法可以得到其最優解[8]。

2　彈性地基連接多級并聯系統振動特性分析

圖2為剛性地基下不同數量調諧質量阻尼器主系統振幅放大系數圖。

圖2　不同數量吸振器主系統振幅放大系數

由圖2可知，與單級調諧質量阻尼器相比，2級并聯系統振動幅值有很大衰減；4級并聯系統比2級并聯系統有更好的振動控制效果。增加吸振器數量能有效控制主系統振動。圖3為考慮基地彈性連接時2級并聯主系統振幅放大系數圖。

圖3　考慮彈性地基2級并聯系統振幅放大系數

由圖3可知，考慮地基彈性時，主系統第1階固有頻率幅值較地基剛性連接時第1階固有頻率放大了5倍，前兩階固有頻率略有減小。地基的彈性振動對主系統振動影響較大，在調諧質量阻尼器參數設計中地基彈性振動對主系統振動的影響不可忽略。因此考慮對彈性地基連接條件下多級并聯調諧質量阻尼器進行參數設計。

3　彈性地基連接多級并聯系統設計

設計的多級并聯調諧質量阻尼器系統中主系統質量ms=100 kg，剛度，阻尼比ζs= 0.05。彈性梁的基本參數為：長l =4 m，寬b =0.3 m，高h =0.4 m，彈性模量E=2.1×109Pa，密度ρ=7 800 kg/m3。主系統受外界激勵頻率為0～30 Hz。由式（10）計算得梁的前5階固有頻率如表1所示。由表可知，梁的第1、2階固有頻率在激勵頻率范圍內。

表1　梁前5階固有頻率

圖4為梁在0～30 Hz激勵頻率范圍內的阻抗特性。

圖4　梁連接點阻抗分布規律

圖4中峰谷對應彈性梁的固有頻率，u為系統與梁連接位置距梁端部的距離。因梁的阻抗關于中間位置具有對稱性，圖中u=1 m和u=3 m阻抗曲線重合。在梁的固有頻率處，其阻抗出現極小值，且u=2 m時在梁的第1階固有頻率處阻抗最小，由此可能帶來梁的彈性振動較大。因此，將連接位置u=2 m作為參數優化的極限工況進行考慮。

圖5描述了不同連接位置下梁彈性振動對主系統的影響規律。

圖5　不同連接位置對振幅放大系數的影響

由圖5可知，當連接位置從中部移動到端部，梁與被減振物體構成的耦合系統的第1階頻率逐漸增大，第1階頻率對應幅度逐漸降低，梁的彈性振動對耦合系統的振動影響程度逐漸降低。當u≤1 m時，耦合系統振動特性與不考慮彈性地基情況一致。當連接在梁中間位置時，耦合系統在第1階固有頻率處振幅最大，即中間位置處彈性梁對耦合系統振動影響最明顯。因此，下文將考慮對梁中部連接（u=2 m）情況下的多級并聯系統進行優化設計。

結合以上分析內容對2級和4級并聯系統進行參數優化設計。優化設計過程中以主系統的振幅放大系數的無窮范數為目標函數。多級并聯系統的優化問題可表述為如下數學模型

其中i =1,2，...，n為調諧質量阻尼器數量，λl、λu為第i個調諧質量阻尼器與主系統頻率比的上下限，ζl、ζu為第i個調諧質量阻尼器阻尼比的上下限。優化方法采用粒子群優化法。表2為剛性地基連接時多級并聯調諧質量阻尼器系統優化結果，表3為考慮地基彈性連接時多級并聯調諧質量阻尼器系統優化設計結果。

2級并聯系統中質量比u1=u2=0.12，4級并聯系統中質量比u1=u2=u3=u4=0.06，多級并聯系統中調諧質量阻尼器總質量相等。將優化結果分別代入彈性地基多級并聯系統中，圖6、圖7為2級并聯和4級并聯系統振幅放大系數曲線，其中虛線表示不考慮彈性地基情況下耦合系統振幅放大系數曲線，實線表示考慮彈性地基時耦合系統振幅放大系數曲線。

表2　地基剛性連接優化結果

表3　地基彈性連接優化結果

圖6　二級并聯系統振幅放大系數

圖7　四級并聯系統振幅放大系數

由圖6可知，主系統振動幅值在第1階固有頻率處放大了12倍，考慮為梁的第1階固有頻率（5.89 Hz）與主系統第1階固有頻率（5.93 Hz）發生耦合振動所引起的。結果表明：在不考慮彈性地基情況下多級并聯系統的優化結果參數對于彈性地基多級并聯已不再適用，彈性梁與被減振物體構成的耦合系統產生的耦合振動并未得到有效控制。對此，在對主系統進行參數優化時，應該把彈性梁的振動納入考慮范圍。圖6中實線為考慮彈性地基時對主系統進行優化后主系統振動特性曲線。在主系統第1階固有頻率處，其振幅由原來的12倍降低為4倍，系統振幅得到了很好控制，梁的彈性振動對主系統的影響程度得到了削弱。圖7為對4級并聯系統進行重新優化后主系統振動特性曲線，其影響規律與2級并聯系統類似，這里不再贅述。

圖8為彈性地基連接動剛度K對主系統振動的影響。其中K為連接點的動剛度，kd為初始條件下連接點的動剛度。由圖可知，隨著連接點動剛度增大，梁第1階固有頻率逐漸增大，梁彈性振動對主系統影響逐漸減小，當動剛度增加到50倍時，梁第1階固有頻率對主系統振動影響消失，梁第1階頻率會在主系統頻率范圍外產生小峰值；當動剛度增加到70倍時，彈性梁對主系統的影響可忽略不計。實際計算發現當K≥40 kd時，梁的第1階固有頻率對主系統前3階固有頻率沒影響，當K≥70 kd時，彈性梁和剛性梁的振幅放大系數基本重合，此時可忽略彈性梁對調諧質量阻尼器設計的影響。

圖8　不同連接動剛度對振幅放大系數的影響

4　結語

通過研究，得到以下結論：

(1)梁的彈性振動對于多級并聯調諧質量阻尼器系統振動影響較大，不可忽略。在吸振器總質量相等情況下，多級并聯系統比單級調諧質量阻尼器系統有更寬的減振頻帶，具有更好的減振效果。因此很有必要對彈性地基連接下多級并聯系統進行優化設計。

(2)梁第1階彈性振動頻率易與主系統第1階固有頻率發生耦合振動，導致梁和被減振物體構成的耦合系統振動放大。梁的不同連接位置u對主系統影響不同，結果表明：連接位置越靠近梁端部，梁的振動對主系統影響程度就越小。在連接中間位置時梁的振動對主系統影響最大。

(3)分別對多級并聯系統在剛性連接和彈性連接情況下進行數值優化設計，并將結果代入彈性地基多級并聯系統，結果表明剛性連接優化結果參數對于彈性連接系統已不再適用，有必要對彈性地基條件下系統進行重新優化設計。優化結果表明重新優化后梁的彈性振動對主系統的影響得到了削弱。

(4)研究梁的彈性模量對主系統振動影響，結果表明：當連接點動剛度增大到初始動剛度40倍時，梁第1階固有頻率對主系統沒有影響，增加到70倍時，此時可忽略彈性梁對調諧質量阻尼器設計的影響。數值優化方法在多級并聯調諧質量阻尼器優化設計中具有實用性。

參考文獻：

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Design of Multi-grade Parallel Dynamic Vibration Absorbers on an Elastic Foundation

HE Xiao-long , ZHANG Li-min , QU Jing-jing , GUO Li-rong , ZHOU Hui
( Traction Power StateKey Laboratory, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract:Themathematical model of themulti-gradeparallel dynamic vibration absorber on an elastic foundation was established. The dimensionless expression of the amplitude magnification factor and the impedance of the elastic foundation were gained. It was found that the influence of the elastic foundation on the main system cannot be ignored. Considering its advantage of vibration decay, the necessity to optimize the multi-grade parallel system was proposed. The influence of the distanceu between theconnection and theend of thebeam on themain system wasanalyzed. It wasfound that thelessu will lead to the smaller influence of the beam elastic vibration on the main system. The first frequency vibration of the beam will not couplewith thefirst frequency vibration of themain system when u≤1 m, and theu hasthelargest influenceon themain system when u=2 m. The numerical optimization method was used to design the parameters of 2-grade parallel and 4-grade parallel systems. The result shows that the result of the rigid connection system is not applicable to the elastic system. The elastic connection system can effectively optimize the multi-grade parallel system and reduce the influence of the beam’s elastic vibration on the main system. Finally, influence of the dynamic stiffness of the connection on the main system was studied. It showsthat thefirst natural frequency of thebeam hasno effect on thefirst threenaturefrequencieswhen K≥40 kd, andtheinfluenceof thebeamonthemainsystemcanbeneglectedwhenK≥70kd.

Key words:vibrationandwave; elasticbeam; multi-gradeparallel; dynamicvibrationabsorber; optimumdesign

作者簡介：賀小龍（1989-），男，四川省蒼溪縣人，博士生，主要研究方向為高速列車車體振動控制。E-mail:hexiaolong_vip@163.com

收稿日期：2015-09-21

文章編號：1006-1355(2016)02-0035-05

中圖分類號：O422.6

文獻標識碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.008