談談定比分角

易先型

一、定理描述

定比分角定理1：任意三角形ABC，以一條BC的平行線與AB的延長線相交的點D、以A為圓心，AC為半徑的圓弧與BC的平行線相交的點E、點A形成三角形ADE。

重復步驟：以∠FGH=∠ABC的三角形FGH，得到三角形FIJ。如果xBC=GH，xDE=IJ，那么就有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ。

定比分角定理2：仍然以定理1的圖形，如果sin∠BAC/sin∠DAE=sin∠GFH/sin∠IFJ，且∠BAC∠DAE∠GFH∠IFJ均為銳角，那么有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ。

定理1證明：據圖1可得，2BC=GH，2DE=IJ，

BC=ACsin∠BAC/sin∠ABC，DE=AEsin∠DAE/sin∠ADE=ACsin∠DAE/sin∠ABC GH=FHsin∠GFH/sin∠FGH=2BC=2ACsinBAC/sinABC ，IJ=FJsin∠IFJ/sin∠FIJ=2DE=2ACsin∠DAE/sinABC，得sin∠GFH=sin∠BAC*2ACsin∠FGH/FHsin∠ABC，sin∠IFJ=sin∠DAE*2ACsin∠FGH/FHsin∠ABC；令∠BAC=x∠DAE，則有∠GFH=x∠IFJ，即∠BAC/∠DAE=∠GFH∠IFJ=x，證畢。

定理2證明：BC/DE=sin∠BAC/sin∠DAE=GH/IJ=sin∠GFH/sin∠IFJ，由定理1可知，如∠BAC、∠DAE、∠GFH、∠IFJ為銳角，則有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ，證畢。

二、三等分角證明

任意角∠A，在兩條邊的延長線上各取點B、C，使AB=AC，連結BC。

在BC上取中點D，連結AD，AD為三角形ABC的角平分線。取與BC等長的EF、FG做直角邊為EF、FG的等邊直角三角形EFG。在三角形EFG上做以EH、HI為直角邊，且∠HEI=1/3∠FEG=15°的直角三角形EHI，H在EF的延長線上，EI=EG。取與HI等長的JK，J在AD的延長線上，與AJ、AK做直角三角形AJK，AK=AC。在KJ的延長線上取點L，使KJ=JL，連結AL。

運用定比分角定理解決尺規作圖三等分任意角，據圖得：CD=FG，HI=JK，∠FEG/∠HEI=1/3。

由定比分角定理1可得：∠CAD/∠JAK=1/3

∴∠BAL=∠LAK=∠KAC=∠BAC/3，證畢。

三、二倍立方證明

任意立方體ABCDEF（圖省略），AB=1。取兩倍AB長度的GI，做GI為斜邊，GH、HI為直角邊的等邊直角三角形GHI。在三角形GHI上做以GJ、JK為直角邊的三角形GJK，且∠JGK=1/3∠HGI=15°，GK=GI。在HI的延長線上取三倍JK長度的HL。做以IL為直角邊、長度為AB的IM為斜邊的直角三角形MIL。分別做以JK、JN為直角邊，NK為斜邊的直角三角形JNK和以HI、HO為直角邊、IO為斜邊的直角三角形HIO，且∠JNK=∠HOI=∠IML。取長度為IO的QR為直角邊、長度為8的PR為斜邊做直角三角形PQR，在QR的延長線上取長度為ML的線段RS。做以長度為NK的TU、PT為直角邊、PU為斜邊的三角形PTU，T在PQ的延長線上，PU=PR。取PU的中點V與PT的中點W，連結VW。以VW的長度為依據，做立方體A'B'C'D'E'F'，作圖過程省略。

運用定比分角定理解決尺規作圖二倍立方，據圖3得：IL=3JK-HI=IL=3GIsin∠JGK-GIsin∠HGI=3GIsin∠JGK-GIsin3∠JGK=4GIsin ∠JGK^3

由定比分角定理得：∠QPR=3∠TPU

RS=3TU-QR=3JK/sinψ-HI/sinψ=IL/sinψ

又3TU-QR=3PUsin∠TPU-PRsin∠QPR=3PRsin∠TPU-PRsin3∠TPU=4PRsin∠TPU^3

∴4PRsin∠TPU^3=IL/sinψ=1，即sin∠TPU^3=IL/ 4PRsinψ=1/32∴sin∠TPU=[2^（1/3）]/4

又有三角形PWV相似于三角形PTU，PV=PU/2

∴PVsin∠TPU=2^（1/3）

∴立方體A'B'C'D'E'F'的體積=[2^（1/3）]^3=2=兩倍立方體ABCDEF的體積，證畢。