數值計算思想在“線性代數”課程教學中應用

景何仿 徐曉芳 蔡銀娟

【摘要】在“線性代數”課程的傳統教材及傳統教學過程中，重理論而輕實踐，重筆算而輕機算，使學生無法將所學知識應用到解決實際問題中，從而產生厭學情緒。作者在多年教學實踐過程中，有意識地滲透數值計算思想，針對典型計算問題，構造了相應算法，并進行了數值實驗， 在計算機上利用Matlab軟件進行編程計算。通過實驗化教學過程，極大地提高了學生的學習興趣，增強了學生用線性代數知識分析解決實際問題的能力，同時也培養了學生的編程能力。

【關鍵詞】線性代數 數值計算方法 數值實驗 Matlab軟件

【基金項目】國家自然科學基金項目（11361002）；寧夏自然科學基金重點項目（NZ13086/NZ14110）；北方民族大學教改項目（JYYB201415 ）；北方民族大學研究生創新項目。

【中圖分類號】G642.0 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0128-02

1.引言

線性代數是研究有限維空間中線性關系的理論和方法的一門數學分支，許多科學與工程問題都可歸結為線性代數問題。“線性代數”課程已成為高等學校理工科類、經濟管理類專業的一門重要的數學基礎課程。然而，“線性代數”課程具有高度的概括性、抽象性，學習起來難度較大。傳統的“線性代數”課程體系構建得不太合理，教學內容抽象，計算方法落后，缺少與相關數學分支的橫向聯系，沒有及時反映現代科技尤其是數學軟件對該課程的影響。因此，必須轉變傳統教學觀念，樹立新的教學理念，對現有的“線性代數”課程的教學體系、教學內容和教學方式進行深刻的改革。

近年來，關于“線性代數”課程教學改革的學術研究成果較多。關于有關知識點的應用方面，主要研究成果可參考文獻[1-2]； 關于教學內容、教學方式、教學方法及考核手段上的一些改革建議的研究成果可以參考文獻[3-4]；在數學實驗方面的改革成果有[5-6]。

上述研究成果的取得，使得“線性代數”在課程體系、教學手段等諸多方面發生了較大變化，在一定程度上能夠調動學生的積極性。然而，查閱已有的參考文獻可知，已有的關于“線性代數”課程的實驗教學方案，只是簡單地調用數學軟件（如MATLAB）中的一些命令解決線性代數中的有關計算問題。而實際工程問題，規模一般都比較大，問題也千變萬化，許多情況下是無法直接調用現有的命令所能解決的。再者，如果在實驗教學中僅僅機械地調用現有命令，無法培養學生邏輯思維能力和動手能力，學生走到工作崗位后將無法靈活運用所學知識解決實際問題。

為此，作者所在項目組承擔了一個教改項目，擬在“線性代數”課程教學中加入數學實驗，但與以往數學實驗不同的是，除了調用現有命令，還有意識的將數值計算思想引入教學中，對一些典型問題，使學生不僅學會筆算，還要理解并掌握計算機解決有關問題地具體思路和算法，并能就簡單問題編程進行計算。

2.典型問題實驗化教學的設計

由于“線性代數”課程內容較多，不可能一一列舉，這里僅就兩個典型問題設計實驗化教學方案，其中第一個為矩陣乘法運算，第二個為線性方程組的求解。

2.1 矩陣的乘法運算

由于矩陣的三角分解算法相對比較復雜，鑒于在學習《線性代數》時，大多數學生尚未學過程序設計語言。因此，這部分內容不做要求，可通過調用Matlab命令直接實現。以下僅介紹求解下三角形和上三角形方程組的算法及其程序實現。

算法2 （求解下三角形方程組，前代法）：

對于下三角形方程組（5），可用以下前代法來實現其求解過程：

第一步，分別定義n階矩陣L、n維列向量b和y；

第二步，輸入矩陣L和向量b的值；

第三步，求解方程組（5）中第一個方程，得到y1=b1/l11；

第四步，假設已經由（5）中前i-1個方程以次求出y1，y2，…yi-1，將其代入（5）中第i個方程，則得

第五步，按公式（7）依次求解（5）中剩余的方程，即可得到方程組（5）的解向量y.

算法3 （求解上三角形方程組，回代法）：

對于下三角形方程組（6），可用以下回代法來實現其求解過程：

第一步，分別定義n階矩陣U、n維列向量x和y；

第二步，輸入矩陣U和向量y的值；

第三步，求解方程組（6）中倒數第一個方程，得到xn=yn/unn；

第四步，假設已經由（6）中后面i個方程依次求出xn，xn-1，…，xn-i+1，將其代入（6）中倒數第i+1個方程，則得

第五步，按公式（8）依次求解（6）中剩余的方程，即可得到方程組（6）的解向量x。

3.數值算例

本節針對第二節中的典型算法，給出兩個典型算例，利用Matlab軟件編程進行計算。

算例1. 某家公司向三個商店發送四種產品的數量如表1所示：

4.結語

作為數學教學教學的三大基礎之一的“線性代數”，對于培養學生邏輯思維能力和提高學生的綜合素質都有非常重要的意義。在“線性代數”教學中引入數值計算方法思想，并將Matlab軟件融入教學中來，加深了學生對抽象的數學概念的理解，使一些復雜的計算和推導過程在計算機上得以實現，極大地提高了學生的學習積極性，激發了學生的學習興趣。同時，培養了學生的編程能力及應用所學知識解決實際問題的能力，開發了學生的創造性思維能力，為其后續課程的學習奠定了堅實的基礎。

參考文獻：

[1]Stuart J L. Linear Algebra and its Applications： A Geometric Approach Introduction to Linear Algebra[J]. American Mathematical Monthly， 2005， 112（3）： 281-288.

[2]郭文艷，趙鳳群.數學建模及Matlab軟件在矩陣運算教學中的應用[J]. 大學數學， 2013， 29（4）：87：90.

[3]孟麗娜，范廣慧，曲紹平.線性代數教學改革的實踐與探索[J]. 數學教學研究，2009， 28（8）： 57-59.

[4]李小平. 關于《線性代數》教學改革的一些思考[J].大學數學，2011，27（3）：22-25.

[5]楊雯靖.“線性代數”實驗化教學的構想.中國電力教育[J].2009，137： 136-137.

[6]王軍霞， 黃娟. 將數學實驗融入線性代數的教學[J]. 數學教學研究，2011， 30（2）： 48-51.

[7]同濟大學數學系主編. 線性代數（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[8]由同順. 數值代數[J].天津：天津大學出版社，2006.

作者簡介：

景何仿（1970-），男，甘肅岷縣人，副教授， 博士，主要從事計算數學及河流動力學方面研究。