小學數學計算教學算理的結構分析及教學策略

蔣敏杰

（常州市局前街小學，江蘇 常州 213003）

計算是學生數學素養中最基本的技能和最基本的素質，在學生數學學習中占有重要的地位，甚至有人將其與思維并稱為“數學的本質”。德國教育學家赫爾巴特說：“所有比較確定的知識，都必須從計算開始。”在小學階段，運算能力（技能）的形成，主要通過“理解算理”“構造算法”“解決問題”三個層面，體現在整數、小數和分數的口算和筆算中。其過程發展體現兩個顯著特點：一是集中學習與綜合應用相融合，“理解算理”“構造算法”的過程經驗成為學生初步應用數學的方式，是理解、分析、解決現實（數學）問題的基礎；二是“理解算理”與“構造算法”的螺旋交互，學生運算技能的形成，一般均經歷從算理直觀到算法抽象的過程，由解決具體問題的方法內化，實現對計算技能、內容本質的內涵理解，同步形成豐富運算建模的方式及一般方法，為后續數學認知及基本思想方法的形成奠定基礎。

新課程推進以來，數學教師對于運算能力提升的認識，經歷了簡單“算法”、技能“訓練”向“算理”“算法”協同發展的教學思維轉變，教學研究的側重點同步聚焦在“算法”與“算理”的融合，力圖講清“算理”，還原形式化“算法”的本質。但具體運算的“算理”是什么？如何“講清”“算理”？“算理”與“算法”如何螺旋交互，如何綜合地體現于具體的計算學習過程……一系列的問題也是現實中困擾一線教師的現實問題，思考不清、定位不準、方式不活，使得有些時候計算教學仍停滯于具體計算的“技能”形成層面，而無法觸及或較少涉及基于“算理”解讀的“算法”提煉與應用。如何在幫助學生理解“算理”的基礎上，提升運算能力，是小學計算教學的基本任務。

一、小學數學計算中“算理”的認識

“算理”在數學的定義上，是指四則計算的理論依據，它是由數學概念、性質、定律等內容構成的數學基礎理論知識，其內涵包括數和運算的意義，運算的規律和性質。如果說算法是解決“怎樣計算”的問題，是一種經過壓縮的、一般化的計算程序，那么算理則是說明“為什么這樣算”的數學原理，其為學生形成可操作化的計算提供了正確可靠的數學依據與思維過程，是學生運算能力形成與提高的有力支撐。“計算教學既需要讓學生在直觀中理解算理，也要讓學生掌握抽象的法則，更需要讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程。”[1]厘清算理、對其進行整體的深層理解，才能真正促進學生對具體算法產生、發展、應用的綜合認識。

從數學學習心理的角度來看，學生的數學學習是一個不斷探究、不斷提高思維能力的過程。對“算理”的理解與表述，除了作用于具體計算“算法”的形成與提升，更是學生數學思維活動的外顯形式，是學生提升數學思維方式的有效平臺。從數學知識獲得的過程上分析，“算理”探究與理解，可幫助教師與學生共同聚焦于抽象的形式化的數學問題解決，并在分析“為什么”的過程中實現由經驗表述到形式化原理認識具體算法。從數學建模的角度來講，“算理”認知的過程是“材料感知，提出問題——探究感悟，理解算理——聚類抽象，形成算法——相互轉化，意義內化”[2]過程的重要一環，其本質也是學生對計算本質內涵的理解、逐步生成與應用的過程。如此，小學數學計算教學中的算理理解與內化除了一般意義上服務于構造算法外，還需要關注算理本身對于“計算”的本質認識，從而達到循“理”入“法”，以“理”馭“法”。

二、小學計算教學中“算理”認識的整體分析

小學數學教學中計算主要涉及三個領域、四種運算，即整數、小數、分數的加、減、乘、除運算及四則混合運算。閱讀分析小學階段各年級計算學習的結構體例，“算理”的體驗與理解主要體現在以下三個方面：

1.“算理”的呈現方式

低年級側重借助實物圖、主題圖、數學工具（小棒、計數器等）以及生活經驗與簡單數學活動經驗，經歷操作活動，直觀理解算理，比如通過操作小棒的“合并”“分拆”“重組”理解百以內加、減法計算。中年級側重以學生原有的計算經驗，借助概念、定律等，通過“優化”“再構”等初步數學認識，理解算理，比如二位數乘一位數豎式的理解。高年級側重于數與形的結合，以數量關系為突破，引導學生進行簡單的抽象與歸納，比如分數乘法計算中分數乘分數的算理認識。

2.“算理”的引導發現方式

低年級整數加、減法計算，主要借助于學生生活經驗的再現與應用，引導學生將生活化經驗提煉成數學化的表達與應用，幫助學生在建立“位值制”原則的基礎上進行引導發現，注重基于自我經驗的數學化方式。中年段整數乘、除法的學習主要以具體的簡單實際問題為載體，引導學生將“位值制”原則進行整合與再構，注重基于自我“再創造”基礎上的理解。高年段“小數、分數（百分數）”計算中則側重于借助知識的有效遷移與類比，注重“算理”“形”與“質”的溝聯式理解。即從計算過程的具體形象思維逐步過渡到抽象思維。

3.“算理”理解與“算法”形成的結構關系

低年級“算理”以操作為主，結合數的意義和四則運算意義的概念學習，同步于具體的“算法”，即將“算理”與“算法”融合于計算技能的形成過程之中。中年級“算理”的認識是半抽象的過程，以“位值制”為基礎，結合豎式的抽象產生過程，形成基于“算理”認識上的“算法”構造與應用。高年級“算理”的理解則圍繞數學思想及基本原理的應用，體現個人“算法”建構中的知識遷移、類比與發現，“算理”與“算法”呈現多次的螺旋交互。

因此，從橫向計算類型（口算、估算、筆算）豐富性上分析，無論是簡單的整數加、減法口算還是復雜的整數四則運算計算，“算理”理解中，數學概念、性質、定律始終融于具體的運算能力的形成過程中（參見圖1）。[3]

圖1 整數加、減法結構圖

從圖1中可以看出，整數加、減法中“位值概念”與“運算意義”[4]是整數加、減法運算“算理”的基礎，同樣，整數乘法“算理”的認識也遵循此過程。

從縱向計算的拓展性（整數、小數、分數）上分析，“算理”的理解呈現結構化特征。即“算理”的理解不是對孤立的某個運算的理解，而是與其他內容相融合，并呈現循環向上的結構特征，把握結構，將有助于引導學生對“算理”的深化理解與主動剖析。

從圖2中可以看出，小數、分數的四則運算的“算理”一方面來源于對數概念的意義引申，借助“形”與“式”的結合，幫助學生直觀理解，另一方面數學思想有機融于“算理”的分析中，學生的“算理”分析借助化歸思想、類比思想、推理能力等的滲透，綜合體現于具體問題的分析解決之中。

三、小學計算教學中“算理”理解的教學策略

1.融合“數概念”“運算意義”的意義認識，為理解“算理”提供基礎保障

計算技能、運算能力的形成依賴于學生對于“數”“數的意義”的認識。因此，蘇教版教材在編排中將計算教學與數概念、運算意義的教學融為一體，體現“算理”與“算法”的無縫對接。數概念是按照10以內、20以內、100以內、萬以內……的方式編排的，計算也是按照10以內數的計算、100以內數的計算、萬以內數的計算……的方式編排。這樣，夯實對“數概念”“運算意義”的清晰認識，有助于使計算教學融于具體的問題解決情況中，實現兩者雙向通達式的互為補充，使學生對它們有整體性的認識，形成較完整的知識系統。比如“9加幾”的教學，是學生在學習了20以內數后組織的學習活動，教材主題圖呈現了如下情境：盒子里放著9個紅蘋果，盒子外放了4個綠蘋果，啟發學生思考“一共有多少個？”學生通過主題圖的認識，借助“加法意義”理解，認識到“一共有多少個”，就是將兩種蘋果合并起來，用加法計算。“9+4”可以從加法的基數意義理解，從第一個開始依次數完；也可以從加法的序數意義入手，即從9個開始數起，依次數完盒子外的蘋果。數一數的方法與加法意義相融合，同步揭示“9+4”的算理。然后，教師進一步引導學生思考，“可以有更快捷的方法嗎？”這樣學生就需要對計算方法進行優化，教師引導學生進一步觀察盒子里一共有10個格，再放1個正好放滿，正好是10個，再加上剩下的3個，一共是13個蘋果，學生借助對“合并”過程的理解，體驗到具體數數過程中“湊十法”的原理與意義，這也是學生后續進行計算中的重要“算理”體現。其后再進行形式化的“分解”，即用算式來表達算理，結合“滿十進一”的計數原則，進一步提升學生對于“湊十法”的理解與應用。如此，“理解算理”與“構造算法”有機結合，20以內進位加法的“算法”，建立在整數概念、加法運算意義的“算理”理解中，數的概念與計算原理的交互融合，對于學生形成合理的認知結構、方法結構是十分有益的。

圖2 小數四則運算結構圖

2.完善“直觀操作——表象操作——抽象分析”的過程提升，為理解“算理”提供思維支撐

小學階段，尤其是低年級小學生的思維特點以具體形象思維為主，有意注意時間短，記憶主要是短時記憶。因此，計算教學中“算理”理解應充分考慮學生的年齡特點，引導學生結合具體的情境，觀察具體的學習對象，調動學生手、腦、口等各種感官參與，借助“小棒”“計數器”等數學工具，通過直觀操作活動將抽象的算理形象地顯現出來，為算法的構建提供原型支撐。比如整數除以分數學習中，教師以直觀的操作結果啟發學生發現和“4×2”之間的聯系，在學生初步感悟分數除以整數與乘法之間的聯系后，進一步指導學生在圖形中分一分，經歷平均分的操作活動，利用直觀的操作結果發現從而在具體的操作中初步形成形象化的算理認識。

直觀操作可幫助學生“感悟”算理，但對于“算理”的理解卻不能僅停于直觀操作，還要向“表象操作”“思維表征”過渡。即算理理解需要逐步深入，“直觀”的成分應逐步減少，逐步引導學生擺脫對具體形象的依賴，在豐富的數學活動中，經歷數學化的過程中，不斷提高思維的水平，學會抽象地思考問題。比如“13-9”的直觀“去一去”的動手操作后，要引導學生變化不同20以內的數減9情況，嘗試用計數器、數學語言、抽象算式來表達算理；在“整數除以分數”教學中，教師要引導學生繼續思考，“如果除數是這樣的非分數單位又如何來說清算理呢？”啟發學生聯系上面的計算經驗，用畫圖、數學驗證、表達等方式再次進行觀察與分析，進一步明確整數除以分數的算理，同步形成算法。

從直觀操作到表象操作再到抽象分析，在算理剖析的過程中，一方面要以操作的過程與經驗推理，促進學生對算理的直觀理解；另一方面，也要重視由算法向具體操作的“反思”，這樣雙向互通式的“形象”與“抽象”的結合，可以幫助學生真正理解算理，構建算法。

3.激活已有知識、經驗，橫向意義聯結，為理解“算理”提供動力源泉

“算理”的認識、理解與分析，應注重激活學生已有的知識經驗，并將新計算的“算理”理解與解析建立在與原有相關知識發生、發展與聯系的基礎之上，使得新舊知識得以在多角度、多側面共通，并在靈活應用中，形成意義聯結，理解新產生的“算理”，使得“算理”“扎根”。比如口算是在“位值制概念”與運算意義的基礎上直接形成的“算理”認識與應用，筆算的“算理”則是由口算演化形成的“規范”過程，復雜筆算又是在簡單筆算基礎上延伸與發展的。而分數加減法算理來源于整數運算的類推，分數乘、除法的算理則來源于分數乘、除法意義。因此，從整體結構的知識網絡上分析，教師需要明確每種計算在整體計算學習中的節點地位，從整體發展的角度，在不同“算理”的認識節點激活相應的知識、經驗，通過橫向意義的聯系，使“算理”理解成為一個整體綜合的內循環過程。

（1）對已有知識、經驗的“再構”，生成“算理”的理解

“算理”的感悟、理解是學生構造算法的基礎，而算理背后的原理認識則是通過具體的認識活動逐步清晰的，因此對于“算理”的理解，教師一方面要對學生的知識、能力做全面的了解，另一方面也要對教材內容做細致的分析，巧設新舊知識的矛盾沖突，引導學生走進問題情境，讓學生在參與中找出新舊知識的連接點，感悟、理解中“再構”認識算理，并最終形成計算的新方法。

以典型的“12×3”教學為例，教師借助主題圖的觀察，引導學生主動探究，在多種引導方式中，學生形成對二位數乘一位數“算理”的逐層理解。第一層次：乘法的意義——結合操作活動，激活學生原有認知“12×3的實質就是求3個12的和是多少”；第二層次：“合并”的引入——學生借助“位值概念”，進行數的有機“分拆”，使學生理解計算“12×3”時，可以先算3個10是30，3個2是6，再把30與6合起來就是36。通過上述兩個層次的經驗激活，學生對于“12×3”的“算理”形成初步自我認識的體驗。在此基礎上，教師及時對已有分項計算過程與豎式進行意義聯結，使學生理解豎式中“位值”的表示方式，即3乘十位上的1結果是30，從而使學生明確“3為什么在十位的意義”，產生“0可不可以不寫”的思考，為進一步豎式的優化奠定認識基礎。

（2）由“算法”應用的展開，反向深化理解“算理”

當學生經歷自我學習發現體驗，直觀理解“算理”，初步抽象算法，形成認識后，并非就能形成較完整的“算理”理解，一般情況下，此時學生的“算理”理解仍處在形象化的直觀認識階段。這時，教師就需要借助一定的數學問題，幫助學生在應用中加深認識，通過“算法”應用的實踐反思，對“算理”進行綜合化提煉，在算法應用中深化理解算理。比如異分母分數加減法教學中，教師通過畫圖、折紙等方式引導學生從“統一計數單位（分數單位）”的角度得出異分母分數加法的算理后，可順應學生思維發展的線索，指導學生在解決實際問題的過程中主動探索與歸納，將算理遷移應用到異分母減法計算中，一方面用減法驗證加法，另一方面通過欣賞、改錯、估計、拓展等豐富的練習，幫助學生反向深入理解算理。因此，初步理解算理后，不應立刻進行抽象的算法演練，可以讓學生繼續通過操作、看圖，直觀地加深對算理的理解，再逐步脫離形象，形成抽象的算法，并在鞏固應用中形成問題具體化下的“算理”理解，同步實現“算理”與“算法”的深層溝通。

4.注重“算理”遷移、類比與拓展，為“算法”解構提供“再創造”平臺

北京師范大學周玉仁教授對小學生的數學學習過程曾這樣闡述：小學生數學學習是一個經驗激活、利用、調整、積累、提升的過程，是“對生活中的數學現象的解讀”，是“建立在經驗基礎之上的一個主動建構的過程”。從主動建構的過程看，計算教學同樣需要經歷過程體驗，感受知識之間的內在聯系，尤其注重“算理”中蘊含的數學思想方法的主動遷移、類比，進而實現個性化的再創造。

（1）同化順應，促進“算理”理解上的“算法”構造理解

同概念形成的一般規律一致，“算法”的認識過程也涉及形成與同化兩個方面。形成階段學生經歷對具體數學現象的觀察，對特定（特殊）問題進行分析，從而形成對操作規范的形象感知；同化階段學生經歷豐富素材的比較過程，教師聚焦不同現象中的相似性，幫助學生對“算理”進行主體性構造分析，實現具體特殊原理向一般化的轉化。因此教學中，教師要選擇具有典型特征的現象，啟發學生從多種角度（式、圖等）進行分析，借助豐富個案的溝通，幫助學生對“算理”體驗與理解。比如小數乘法教學中，“0.8（元/千克）×3（千克）”就是通過買賣問題中“貨幣單位”的轉換獲得最初的直觀認識，進而結合“位值制”原則，啟發學生借助已有經驗進行分析，并在多個例證的應用中使學生對于整數乘小數的“算理”與整數乘法“算理”相通，明晰“轉化”原理，形成意義建構。

（2）模式識別，促進學生在“算理”關聯遷移中形成“算法”

“看到一事物能聯想到那兒，有時是很奇怪的沒有規律可循的，但就理解了問題的實質……”[5]從學生運算能力的形成過程上看，主動把握具體計算的“算理”內涵，識別其主要特征，展開意義聯結，進行主動遷移、類比推理，能為學生有效地形成“新算法”、進行結構建模提供幫助。具體體現在教師要幫助學生分析不同形式算法中算理的內在聯系，實現“算理、算法”的整體認識。比如五年級小數乘法計算中，實現小數與整數乘法的聯系是學生理解算法、解構算法的重要環節。教學中教師可借助具體情境，引導學生嘗試解決相關的問題，在問題解決中進行類比、“算法”遷移，順應內在聯系，實現整體運算能力的拓展延伸。

其一，類比類型。小數乘法與整數乘法位值制一致，運算一致，即為十進制計數法。同時演化涉及加、減、除。向前與加減法聯系，向后為小數除法聯系做準備。

其二，類比算理。小數乘法與整數乘法相對應，在具體的情境解構中體現“轉化”思想，即可將小數計算轉化為整數計算。

其三，類比運算律。小數乘法與整數乘法都體現了一般運算律，在運算中可結合數據特點進行簡算。

其四，類比應用。小數乘法與整數乘法的實際問題結構一致，都可以通過相關數量關系進行關系分析。

以上四合為一，即將小數與整數乘法運算相融合，實現兩者的運算結合。同時，學生在認識中進一步強化了結構關聯，由易到難、由簡到繁，漸進地由一個小數乘法知識點，聯系到后繼計算問題的結構化，為實現“運算能力”的綜合提升提供經驗。

（3）逐層分析，從模型視角實現“算理”再創造

“算”是“思”的外衣，“算理”教學就是要引導學生撥開外衣，探尋實質。“算理”的應用不能僅停留于“會算”的階段，按照算法規則進行邏輯推理而獲得正確結果僅僅是計算的一個方面，更重要的，在計算能力中包含著對算法的構造、設計、選擇。[6]因此從形象的計算，到抽象的算理解構需要突出算理的合理性，通過逐步的漸進式的“解剖”與“深挖”，從而實現對于“算理”個性化理解后的“再創造”。

以異分母分數加減法為例，教材為學生“算理”理解提供了較豐富的實踐素材，學生通過主題圖引領下的直觀操作，在“數”與“形”協同中，獲得統一分數單位后才能進行計算的初步直觀感悟。隨后以具體分數意義、通分意義等切入“原理”，引導學生主動“創造”“化異為同”的策略。值得進一步思考的是，此時的“化異為同”，即統一計數單位（分數單位）不僅有呈現形式的異中求同，也有表達方式的異中求同。異分母分數加減法不僅是要讓學生知道“算理”后會算，還需要引導學生拓展“算理”，形成基于數據分析之上的多元計算途徑選擇，幫助學生打開思路，激發對計算本身的探究樂趣。這樣，“直觀操作式的探究”能在不同問題情境的逐層變化推理中轉變，逐步建立整體的“算理”認識。

對“算理”的“解剖”與“深挖”同樣也離不開對問題構造的數學模型逐層抽象。通常情況下，教師需要通過多種策略的轉換促進學生的深度思考。比如五年級轉化策略中典型的“”的計算，教師如果只是針對題目“教”“數形結合”，讓學生看（簡單畫）圖后直接解決問題，此時的直觀化“算理”理解僅僅成為學生解題的一個特殊的外在方法。這時教師需要思考的是，如何將靜態的方法轉化為學生動態的“算理”思維過程。如果教師能幫助學生觀察數據的特點（后一個數是前一個的），提供可供操作的圖形（正方形看作“1”），組織議一議的表示方式，啟發思考“是否可以換個角度來思考”……一系列的分析與操作的協同過程，必將引領學生對為什么需要“數形結合”，怎樣實現形與數的聯系等解決問題方式的思考，最終形成認識上的飛躍，同步實現數學活動經驗不斷豐富與遞增。如果教師能更進一步啟發操作：“如果是或又可以怎樣操作分析呢？從中可以發現哪些規律？”帶著問題引領的操作分析將帶領學生走入更為理性與規律變化的數學世界，獲得不一樣的數學思維經驗。

小學階段運算能力的形成，即是知識、技能的習得過程，更是思維發展的動態過程。具體教學中如果教師能重視學生多種方式的發現、探究、歸納，在理解算理基礎上構建算法，將為學生的后續數學學習，尤其是數學化的思維方式形成提供基礎性的核心引領。▲

參考文獻：

[1][4]侯正海.在理解算理的基礎上構建算法[J].小學數學教師，2010（7/8）.

[2]吳亞萍.中小學數學教學課型研究[M].福州：福建教育出版社，2014：252.

[3]馬立平.小學數學的掌握和教學[M].上海：華東師范大學出版社，2011：18，44.

[5]劉紹學.談談聯想[J].數學通報，1997（6）：封2.

[6]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2007：30.