數學教學“精致化”分析與“選擇性”決策的方法

鄔云德

（寧波市象山縣石浦中學，浙江 寧波 315731）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）根據數學具有過程和結果二重性特征，倡導統籌兼顧過程與結果，以全面發揮數學的育人功能。但大量課堂觀察發現，目前課堂教學普遍存在過程教育不到位的問題，特別是獲得數學結果（或解決問題）的認知過程短暫（甚至不規范）和獲得數學結果（或解決問題）之后的反思過程缺失。究其原因主要是教師選擇的教學內容、方法與過程教育理念存在偏差。筆者在初中數學“過程教育”課例研究中得到的經驗是：選擇體現過程教育理念的教學內容與方法需要經歷“精致化”分析與“選擇性”決策的過程。本文結合浙教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第二章第1節“一元二次方程”，介紹“精致化”分析與“選擇性”決策的方法，供讀者參考、研究。

一、“精致化”分析方法

（一）析出并分解章節核心概念

核心概念是指最基本、最主要的內容——其他內容是由此衍生出來的。[1]析出章節核心概念就是從涉及章節內容中分析出最基本、最主要的內容。分解核心概念就是根據概念的邏輯體系或詞匯意義進行具體分解。

根據核心概念的含義及分解核心概念的方法，課例“一元二次方程”的核心概念是“一元二次方程”，其分解后的邏輯體系可用圖1表示。

（二）厘清并解析涉及的數學結果

數學結果是具有顯性特征的數學活動成果（思維的結果、經驗的結果），它包括數學中的事實、概念、性質、定理、公式、法則、規律、方法、問題與結論等。它是數學課程內容的主要組成部分。[2]厘清涉及的數學結果就是根據數學結果的含義，從章節核心概念的概念體系中整理出涉及的數學結果。解析涉及的數學結果就是解析涉及數學結果的地位與作用——研究的背景、研究對象在數學體系中的位置、涉及數學結果在解決數學內部和外部問題中的作用、獲得涉及數學結果的方法對進一步學習數學的影響。

圖1 一元二次方程概念體系

根據數學結果的含義，從圖1中可以整理出“一元二次方程”涉及的數學結果的邏輯關系（見圖2）。

根據數學結果地位與作用的含義，“一元二次方程”的地位與作用是：一元二次方程是為滿足解決實際問題和進一步學習數學的需要提出來的，是系統研究方程的繼續。方程是數學中的核心概念，而一元二次方程是特殊方程；根據具體問題中的條件列出方程及求二次項系數、一次項系數、常數項和用方程解的概念求方程中的字母系數值是基本技能；具體到抽象和特殊到一般的研究方法及獲得一元二次方程概念的步驟對后繼學習有指導作用。

（三）論證并說明獲得數學結果的認知過程和認知條件

數學結果的形成、應用的過程和其蘊含的數學思想方法也是課程內容的有機組成部分。[3]論證認知過程和認知條件就是運用學習任務分析理論，分析獲得數學結果的步驟和認知所需要的必要條件（學習中不可缺少的條件——學習新知識必須具備的先決條件）和支持性條件（對學習起“催化劑”作用的條件——數學認知策略，數學思想方法，數學活動經驗、態度等）。[4]認知過程和認知條件就是說明認知過程和所蘊含的數學思想方法對發展學生智力、能力和個性的影響。

“一元二次方程”的認知過程和認知條件的分析及認知價值的說明如下：

1.盡管根據奧蘇貝爾的“概念獲得過程”理論，一元二次方程可以看成是從生活問題中抽象出來的，也可以看成是從方程概念中演繹出來的，又可以看成是從類比一元一次方程概念得出來的，還可以看成是從二次三項式中演繹出來的。但采用從生活問題中抽象出一元二次方程的方式，更能反映方程的數學本質，也能分解列方程的難點。所以產生一元二次方程的認知過程是“審題→分析→列方程”；其必要條件是“能分析出問題中的數量關系”；其支持性條件是“抽象思想、列式經驗”；其認知價值有：列方程的過程有能力發展點，其蘊含的生活常識、抽象思想、模型化思想等對發展學生智力有積極作用。

2.由于從生活問題中抽象出來的是特殊的一元二次方程，所以定義一元二次方程要采用歸納方式。根據奧蘇貝爾的“概念形成”理論，定義一元二次方程的認知過程和認知條件可用圖3表示。

從圖3中可以看出：定義一元二次方程的基本步驟是“觀察一元二次方程的個體特征→歸納一元二次方程的共同特征→抽象一元二次方程的本質特征→用文字語言定義和用符號語言表示一元二次方程→反思其蘊含的思維與思想”；其必要條件是“會觀察數或式特征”；其支持性條件包括觀察數或式特征的經驗，歸納思想，抽象思想，定義的經驗，反思的經驗；其認知價值為觀察所列方程特征的過程能發展學生多角度觀察事物特征的意識與能力，定義一元二次方程的思維策略與思維過程及其蘊含的歸納思想、抽象思想、符號表示思想等對后繼學習有指導作用。

圖2 “一元二次方程”涉及數學結果的邏輯關系

圖3 定義一元二次方程的步驟和認知條件

3.由于用一元二次方程有關概念求解有關問題的思維方式是演繹，所以求二次項系數、一次項系數和常數項的認知過程是“將給定的一元二次方程化為一般形式→根據二次項系數、一次項系數和常數項概念求二次項系數、一次項系數和常數項”；求給定方程字母系數值的認知過程是“將方程的解代入方程→解關于字母系數的方程（組）”；求解有關問題的必要條件是“二次項系數、一次項系數、常數項、方程解的概念”；其支持性條件是“化歸思想、演繹思想”；其認知價值為求解過程能鞏固有關概念和發展運算能力。

（四）概括并陳述涉及的學習結果

學習結果是教學目標的基本成分，也是選擇教學內容的依據。學習結果有多種分類方法，《課標》把全部學習結果分為“結果性”成果和“過程性”成果兩個維度。[5]“結果性”成果包括四種類型的知識（事實性知識、概念性知識、程序性知識、元認知知識）和四個層級的智慧技能（知識技能、理解概念、運用規則、解決問題）。“過程性”成果包括數學思考、問題解決、情感態度——在數學結果形成與應用過程中的數學抽象、數學推理、數學應用等；從數學角度發現和提出問題及分析和解決問題等；在反思學習過程和數學結果中，體會認知過程和其蘊含的數學思想，體驗解決問題方法的多樣性，體會數學的特點和了解數學的價值等；在數學活動的過程中，積極參與數學活動，有“認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑”的良好學習習慣等。概括涉及的學習結果就是按《課標》倡導的學習結果分類理論，從涉及數學結果的邏輯結構和獲得數學結果的認知結構中整理出涉及的學習結果。

根據生成學習結果的方法，“一元二次方程”的“結果性”成果有：事實性知識——一元二次方程和一元二次方程一般形式的名稱；概念性知識——一元二次方程的有關概念；程序性知識——列方程的步驟和獲得一元二次方程概念的步驟；元認知知識——具體到抽象和特殊到一般的思維策略，列方程中的抽象思想和模型化思想，定義一元二次方程中的歸納思想、抽象思想、符號表示思想等，求解有關問題中的化歸思想、演繹思想等，獲得數學結果（或解決問題）之后的反思意識。知識技能——會用符號表示一元二次方程，能在具體情境中識別一元二次方程，會辨別一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項；理解概念——能說出一元二次方程與相近概念之間的關系；運用規則——能借助已有的經驗定義一元二次方程，會用方程解的概念求方程中的待定系數，會求給定一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項；解決問題——能在觀察基礎上歸納并抽象一元二次方程的本質特征，能概括出獲得一元二次方程概念的步驟，能在求解具體問題的基礎上歸納出求解有關問題的策略、方法與技巧。其“過程性”成果有：發現一元二次方程特征和陳述一元二次方程與相近概念關系中的個性化想法；參與定義一元二次方程和求解有關問題活動中的個性化表現；反思過程中的個性化體驗和對學習一元二次方程意義的感觸等。

（五）調查并估計學生的認知基礎與認知障礙

調查并估計學生的認知基礎與認知障礙就是在充分了解學生的生理特點、心理特征、學習方式、知識儲備等方面的優勢與不足的基礎上，估計學生是否具有獲得數學結果所需要的必要條件和學生在獲得數學結果的過程中可能會遇到的困難。

調查并估計可得，學生學習“一元二次方程”的認知基礎與認知障礙是：盡管學生有根據生活問題中的條件列代數式或列方程的經歷與經驗，但根據生活問題中的條件列出一元二次方程，部分學生可能有困難，估計大部分學生對一元二次方程是刻畫實現世界數量關系的有效模型達不到感悟的程度；盡管學生有定義研究對象的經歷與經驗，但估計大多數學生沒有多角度觀察事物特征的意識，部分學生可能說不出獲得一元二次方程概念的思維過程，估計大部分學生對具體到抽象的思維策略及其蘊含的歸納思想、抽象思想等達不到感悟的程度；盡管學生有方程變形的經歷與經驗，但該課中有些方程的變形過程比較復雜，部分學生可能會感到困難。

（六）查閱并分析《課標》要求和教材意圖

查閱并分析《課標》要求和教材意圖就是在查閱《課標》學段目標和閱讀教材基礎上，分析《課標》對該課的教學要求（特別是解讀涉及目標使用的行為動詞和性能動詞的含義）及教材蘊含的教學思想，以明確教學的基本定位。

《課標》對“一元二次方程”的教學要求是“能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，了解一元二次方程的一般形式，會求二次項系數、一次項系數、常數項”[6]。章節目標中“一元二次方程”的教學目標是“理解并體驗一元二次方程概念，了解并體驗一元二次方程的一般形式，掌握并體驗一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項的概念”[7]。由此可知，該課教學的側重點是“過程”，以揭示方程的數學本質，體會一元二次方程也是刻畫現實世界數量關系的有效模型，明確一元二次方程與相近概念之間的關系及發展學生多角度觀察事物特征的意識等。

二、“選擇性”決策方法

（一）確定教學目標

確定教學目標的步驟是：先根據《課標》倡導的學習結果分類理論，從涉及數學結果的邏輯結構和獲得數學結果的認知結構中厘清涉及的學習結果；再用《課標》、教材和學生“三把篩子”對整理出來的學習結果進行過濾；然后確定能滿足學生發展需求的教學目標。

根據生成教學目標的方法，“一元二次方程”教學目標可以是：經歷列方程的過程，能根據具體問題的條件列出方程，能感悟列方程的思維過程和一元二次方程有豐富的情景；參與定義一元二次方程的活動，能多角度觀察所列方程的特征，能說出一元二次方程的本質特征，能說出獲得一元二次方程概念的基本步驟及一元二次方程與相近概念的關系，對發現所列方程的特征有個性化表現，對其蘊含的歸納思想、抽象思想、符號表示思想等有個性化體驗；參與嘗試知識應用的活動，會用方程解的概念求方程中的待定系數，會求二次項系數、一次項系數和常數項。

（二）選擇教學內容

教學內容不僅包括教學目標涉及的數學結果及獲得數學結果的過程和蘊含的數學思想方法，還包括涉及數學結果的“生長點”和“延伸點”——若學生缺乏認知所需要的必要條件，則要把學生應知而未知的有關知識與經驗列入教學內容；若給定的教學內容不能滿足學生發展的需求，則要適度補充一些引申與拓展的內容。

依據選擇教學內容的原則，“一元二次方程”教學內容可以是：根據問題的條件列方程及所蘊含的生活常識、列方程的經驗、抽象思想、模型化思想等；一元二次方程概念及獲得一元二次方程概念的步驟，多角度觀察的經驗、歸納思想、抽象思想、符號表示思想等，一元二次方程與相近概念之間的關系；一元二次方程的一般形式及其有關概念，用一元二次方程有關概念求解有關的問題，解題的過程和所蘊含的解題策略、方法和技巧等。

（三）構思教學方法

1.構思教學理念。構思教學理念就是思考教學的指導思想，引導的策略、方法與技巧，教學的手段等。“一元二次方程”的教學理念可以是：以過程教育和以學為中心作為教學的指導思想；以關注“兩段”的認知過程觀作為教學的基本策略；以有導學味的問題引導、有啟發性的語言點撥、必要的講解與歸納等作為教學的指導方法；以行為過程中的“四練”——產生對象中練、定義對象中練、嘗試應用中練、課堂小結中練作為教學的主要手段。

2.構思教學重、難點。構思教學重、難點就是根據教學重、難點的含義及上述分析結果，確定教學的重點與難點。“一元二次方程”的教學重點是一元二次方程概念，包括它的一般形式，但其側重點是“過程”，而不是“對象”。因為《課標》對一元二次方程的概念沒有提出具體的教學要求，而列一元二次方程的過程能反映方程的數學本質，概念的形成過程有能力發展點、個性和創新精神培養點。該課教學難點是將較復雜的一元二次方程化為一般形式。因為在較復雜方程變形過程中要綜合運用代數運算法則和等式的基本性質。

3.構思教學結構。構思教學結構就是思考如何將分析出的數學結果的邏輯結構和所蘊含的數學思想方法結構轉化為易于學生接受的教學順序結構。“一元二次方程”的教學結構可用圖4表示。

4.構思活動方式。《課標》根據數學學科的特點將數學活動概括成有層次的三種形式：（1）“經歷……過程”。其活動的內容是借助已有的知識與經驗從數學角度認識與研究對象有關的“生活題材”或“數學題材”；其活動的形式主要是有指導地“視”“聽”“讀”“做”等；其活動的目的是從“生活題材”或“數學題材”中抽象出研究對象，并獲得對象的一些感性認識。（2）“參與……活動”。其活動的內容是借助已有的知識與經驗認識或驗證對象的特征，解決簡單的問題；其活動的形式是主動地“視”“做”“思”等；其活動的目的是初步認識對象的特征及認識對象特征和解決簡單問題的一些經驗。（3）“探索……關系”。其活動的內容是運用推理方法研究對象的特征、性質、規律、方法、問題、結論等；其活動的形式主要是獨立或與他人合作進行“視”“做”“思”“議”等；其活動的目的是，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發現對象的特征及其與相關對象的區別和聯系，獲得一定的理性認識。構思活動方式就是依據《課標》倡導的數學活動觀、涉及數學結果的特征和學生已有的知識與經驗等選擇合適的活動方式。

圖4 “一元二次方程”數學結構框圖

依據《課標》倡導的數學活動觀及“一元二次方程”的內容特征和學生已有的知識與經驗，其活動方式可以是：產生一元二次方程的教學，可選擇經歷性數學活動，因為學生有列方程的經歷與經驗，通過教師適度指導，學生能根據問題的條件列出方程；定義一元二次方程的教學，可選擇參與性數學活動，因為學生有定義一元一次方程等的經歷與經驗，學生通過主動思維，能發現所列方程的特征；概念應用的教學，可選擇參與性數學活動，因為學生有數或式變形與運算的經歷與經驗，學生通過主動思考與實踐能解決問題；反思研究過程和所蘊含的數學思想方法及學習一元二次方程意義等的教學，可選擇探索性數學活動，因為通過交流合作，能使認識更全面、體驗更深刻。

5.構思教學方法。構思教學方法就是思考“用什么題材教”和“用什么方法教”。[8]一般地，教學載體要有助于實現教學目標、要符合“最近發展區”理論要求、要符合學生的認知規律、生活問題的情境要具有教育意義；數學活動不但有具體的操作性活動，也有理性的思維活動，同時有對認知過程進行反思的活動；教學方法不僅包括準確、清晰、富有啟發性的講解，也包括有助于學生經歷實質性思維過程的價值引導[9]——問題暗示、設置認知提示語、積極的認知干預、必要的反思與追問、適時的評價與激勵等。

依據這些觀點，“一元二次方程”的教學方法可以是：第一，首先教師在回顧基礎上提出問題以暗示研究的必要性，再提供若干有代表性的實際問題，然后采用學生獨立列方程和列方程之后交互反饋與評價基礎上反思的方法；第二，以所列方程為載體，引導學生參與“觀察→歸納→抽象→定義→表示”的活動和獲得概念之后的反思性活動；第三，以有代表性的具體問題為載體，引導學生參與獨立解答問題和解答之后的交互反饋與評價及回答教師追問的活動；第四，以“問題清單”為載體，引導學生參與自主回顧與思考基礎上的合作交流的活動，并在此基礎上讓學生欣賞一元二次方程的自述。

三、隨感隨想

盡管探索中形成的“精致化”分析與“選擇性”決策的方法，對消除當前普遍存在的“只教不研”的現象有積極的影響，對解決過程教育不到位的問題也有積極作用，但高質量的教學分析與決策仍需要教師具有一定的教學分析與決策的“實踐性智慧”。例如：厘清涉及的數學結果，需要教師具有分解章節核心概念的能力；論證認知過程和認知條件，需要教師知道學習任務分析理論；概括涉及的學習結果，需要教師明確學習結果的類型及其含義；估計學生的認知基礎與認知障礙，需要教師具有調查學生現實的方法；確定教學目標，需要教師具有用《課標》、教材和學生“三把篩子”對整理出的學習結果進行過濾的能力；選擇教學內容，需要教師明確全面、辯證的課程內容觀和涉及數學結果的“生長點”和“延伸點”等；構思教學理念，需要教師知道《課標》倡導的有關理念；構思教學重、難點，需要教師明確教學重、難點的含義；構思教學結構，需要教師知道數學的發展規律、學生學習數學的認知規律和教育的規律；構思活動方式，需要教師會根據《課標》倡導的數學活動觀選擇活動方式；構思教學方法，需要教師明確課程內容、教材內容和教學內容之間的區別和知道選擇教學載體的原則及有效指導的一些藝術。若教師能運用“邊學習、邊實踐、邊研究”的行為方式，則定能剖解如何確定體現過程教育理念的“教什么”和“怎樣教”的難題。▲

參考文獻：

[1][2][3][5][8][9]史寧中.義務教育課程標準（2011年版）教師學習指導 初中數學[M].北京：北京科海電子出版社，2011：1-5.

[4]皮連生.教學設計（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[6]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：3.

[7]金才華.義務教育教科書 數學教學參考書（八年級下冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2013.